混合修形斜齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性分析

趙百順 李娜 馬輝

摘要： 由于制造、安裝誤差和輪齒變形等因素，齒輪在嚙合過程中難免產(chǎn)生振動、沖擊和噪聲，對斜齒輪齒廓進行適當(dāng)修形可以有效改善嚙合狀態(tài)，提升傳動的平穩(wěn)性?；谳嘄X承載接觸分析理論提出含齒頂修形和齒向修形兩種方式的斜齒輪混合修形方法，建立計算考慮混合修形的斜齒輪時變嚙合剛度模型，并通過ANSYS驗證了該模型的有效性;基于提出的模型分析了不同修形參數(shù)對時變嚙合剛度的影響;在嚙合特性模型的基礎(chǔ)上建立斜齒輪副動力學(xué)模型，考慮混合修形齒輪副嚙合剛度的時變性，分析不同修形方式及修形量對齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響。研究表明，齒頂修形不僅可以避免齒輪邊緣接觸，而且在特定的頻段范圍內(nèi)可大幅減小齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動，并為斜齒輪副的修形優(yōu)化設(shè)計提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)子系統(tǒng); 斜齒輪; 動力學(xué)特性; 輪齒修形; 嚙合特性

引 ?言

齒輪在傳動時嚙合齒對數(shù)交替造成齒輪嚙合剛度的時變性，交替的臨界區(qū)會發(fā)生嚙入和嚙出沖擊，加劇系統(tǒng)的振動及噪聲[1];同時齒輪受載后會產(chǎn)生彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形以及安裝不對中等造成嚙合不對中，齒輪沿齒寬方向會造成接觸不均勻產(chǎn)生偏載現(xiàn)象[2?3]。通過去除沿齒輪齒廓和齒寬方向的一部分材料，減小齒輪傳動的嚙合沖擊而導(dǎo)致的齒輪系統(tǒng)的振動和噪聲。齒輪的修形方法主要有齒頂修形、鼓向修形、齒根修形等[4?7]。

國內(nèi)外學(xué)者在齒輪修形及嚙合剛度計算[8?14]和修形齒輪動力學(xué)[15?17]領(lǐng)域做了許多理論研究。Rincon等[8]基于承載接觸理論建立直齒輪嚙合剛度模型。Ma等[9]基于勢能法提出考慮齒頂修形的直齒輪時變嚙合剛度計算模型，考慮延長嚙合、基體修正、非線性接觸等的影響，并采用有限元方法驗證了解析模型的有效性。Rincon等[10]基于承載接觸方法建立直齒輪時變嚙合剛度計算模型，突出了其方法降低了計算量、高效率的優(yōu)點。Chen等[11]提出內(nèi)嚙合直齒輪副嚙合剛度計算模型，考慮了變位的影響并分析了變位系數(shù)對齒柔度和嚙合剛度的影響。Diez Ibarbia等[12]考慮直齒輪變位和齒頂修形并引入摩擦系數(shù)的影響，考慮齒變形、齒頂修形以及摩擦對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。Wang等[13]基于切片理論和能量法建立修形斜齒輪時變嚙合剛度計算模型，分析了齒頂修形、鼓向修形和不對中對斜齒輪嚙合特性的影響。Andersson等[14]基于解析有限元建立修形斜齒輪時變嚙合剛度模型，輪齒及基體的彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度通過有限元求解，輪齒接觸剛度采用赫茲接觸理論求解。Kubur等[15]建立了多軸斜齒輪動力學(xué)模型，并用實驗進行了驗證。Wei等[16]建立了修形斜齒輪非線性動力學(xué)模型，分析了不同修形量下的系統(tǒng)動力學(xué)特性，并通過實驗進行驗證。Yuan等[17]建立了考慮時變嚙合剛度和嚙合誤差的斜齒輪系統(tǒng)的有限元動力學(xué)模型，基于系統(tǒng)動力學(xué)特性對齒輪修形量進行優(yōu)化。

現(xiàn)有的文獻大都研究修形直齒輪副嚙合特性及動力學(xué)特性，對斜齒輪副的研究相對較少;且目前大多數(shù)文獻聚焦在齒頂修形齒輪副的動力學(xué)特性，對于齒頂和鼓向混合修形齒輪副的研究較少。本文重點討論了混合修形對于斜齒輪動力學(xué)響應(yīng)特性的影響?；诔休d接觸理論分析混合修形斜齒輪嚙合特性，考慮轉(zhuǎn)軸柔性影響，將時變嚙合剛度引入齒輪?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析不同修形量對系統(tǒng)振動特性的影響。

1 修形斜齒輪副嚙合模型

1.1 斜齒輪承載接觸分析方法

對齒面上節(jié)點采用循環(huán)加載法施加單位力獲得嚙合齒面柔度矩陣。柔度矩陣形成過程如圖1所示。

式中 ?n為嚙合位置潛在接觸點的數(shù)目;ubi，uci分別為剪切變形和接觸變形;Fi，F(xiàn)j為接觸點載荷;為接觸點j對接觸點i的彎曲剪切柔度，為i點的接觸柔度。

1.2 混合修形斜齒輪副嚙合模型

斜齒輪齒頂修形端面示意圖如圖2所示，陰影部分為齒頂修形量。DC表示理論齒廓;MC表示齒頂修形實際齒廓;γC，γD和γ分別為修形起始點、齒頂以及漸開線任意點對應(yīng)的嚙合壓力角。C點為齒頂修形起始點，Ca和La分別表示齒頂修形量和修形長度，Sa和Sr表示齒輪嚙合過程中輪齒之間的接近和分離距離[9]，包含在齒廓偏差矩陣ε的計算中。齒頂修形是最常用的齒廓修正方法，根據(jù)參考文獻[10]，齒頂修形曲線表達式為

齒頂修形可以降低齒輪系統(tǒng)的振動和噪聲，而鼓向修形可以避免邊緣接觸，對齒輪副同時進行兩種修形即混合修形并對其進行嚙合特性分析非常必要?；旌闲扌问疽鈭D如圖3所示，圖中綠色點劃線表示齒頂修形曲線，紅色虛線表示鼓向修形曲線。鼓向修形的修形量為Cβ，鼓向修形曲線為圓弧曲線，圓弧半徑R和鼓向修形曲線的表達式Cc分別為：

對于任意位置的修形量Ct和Cc，分別將Ct和Cc沿嚙合線方向投影確定齒頂修形引起的齒輪副的齒廓偏差Ept，鼓向修形引起的齒輪副的齒廓偏差Epc，齒廓偏差均表示嚙合齒輪對主、從動輪沿嚙合線方向的齒廓偏差之和。則混合修形引起的輪齒齒廓偏差可以表示為

2 混合修形斜齒輪副嚙合特性分析

2.1 齒頂修形斜齒輪副嚙合特性

本節(jié)僅考慮齒頂修形并利用有限元方法進行驗證本文方法的準(zhǔn)確性，齒輪的基本參數(shù)如表1所示。

取齒頂修形長度La=1.42 mm，分別利用本文承載接觸分析方法和有限元方法計算齒頂修形量0 和3 μm的剛度。對比兩種求解方法的結(jié)果，驗證求解準(zhǔn)確性。有限元方法采用Solid185實體單元、Conta170和Conta174接觸單元建立嚙合齒輪副的三維有限元接觸模型，對齒輪內(nèi)孔節(jié)點剛性耦合取內(nèi)孔中心點為主節(jié)點，再對主節(jié)點進行約束并只保留主動輪繞軸向的轉(zhuǎn)動自由度，從動輪全約束，如圖4所示。有限元方法與本文LTCA方法的剛度結(jié)果對比如圖5所示，隨著修形量的增大，斜齒輪嚙合剛度值逐漸減小，兩種方法呈現(xiàn)相同的趨勢。圖中本文方法與有限元方法的結(jié)果對比中出現(xiàn)的最大誤差約為3.88%，驗證了本文方法的準(zhǔn)確性。同時相比有限元方法具有較高的求解效率，有限元方法與本文方法求解時間分別為150 min和100 s。

2.2 混合修形斜齒輪副嚙合特性

如圖6和7所示分別為混合修形不同齒頂修形量Ca下的時變嚙合剛度（TVMS）對比和傳遞誤差（STE），取齒頂修形長度La=2.7 mm，鼓向修形量Cβ=2.5 μm，齒頂修形量Ca分別取2.0，2.5，3.3，3.6和4.0 μm。如圖8和9所示為不同齒頂修形長度La下的時變嚙合剛度對比和傳遞誤差，取齒頂修形量Ca=3.3 mm，鼓向修形量Cβ=2.5 μm，齒頂修形長度La分別取1.42，2.0，2.7和3.0 mm。如圖10和11所示為不同鼓向修形量Cβ下的時變嚙合剛度對比和傳遞誤差，取齒頂修形量Ca=3.3 mm，齒頂修形長度La=2.7 mm，鼓向修形量Cβ分別取1.5，1.8，2.1，2.5和2.8 μm。從圖中可以看出，適當(dāng)?shù)幕旌闲扌尾粌H減小了齒輪嚙合過程中的時變嚙合剛度，而且使剛度和傳遞誤差變化更加平緩。同時可以看出修形過大會起到相反的效果。

3 混合修形斜齒輪系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)分析

建立平行軸斜齒輪嚙合系統(tǒng)有限元模型如圖12所示，軸系采用Timoshenko梁模型并結(jié)合齒輪副的集中質(zhì)量模型。建立如下系統(tǒng)動力學(xué)方程[15]

式中 ?M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣;G為陀螺力矩;C為系統(tǒng)阻尼矩陣，采用瑞利黏性阻尼;K為系統(tǒng)總剛矩陣，包括轉(zhuǎn)軸剛度、齒輪嚙合剛度以及軸承剛度;u為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，F(xiàn)u為激振力矢量。

根據(jù)參考文獻[15]，假設(shè)齒輪在嚙合力作用線方向上所產(chǎn)生的相對位移完全轉(zhuǎn)變?yōu)榻佑|齒面的彈性變形，以保證齒面在嚙合過程中的相互接觸。設(shè)兩齒輪在嚙合線方向上的相對位移為p12（t），對于相對位移在這里假定壓為正、拉為負(fù)，則有在扭矩T1=100 N·m的情況下，考慮混合修形狀態(tài)下（齒頂修形和鼓向修形）齒輪的時變嚙合剛度進行斜齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)分析。提取輸入軸軸承處沿豎直方向的位移幅頻響應(yīng)作為研究對象。本文采用均方根來衡量系統(tǒng)振動水平[17]。

齒輪副修形量采用與2.2節(jié)相同的修形量組合。齒頂修形長度La=2.7 mm，齒向修形量Cβ=2.5 μm，齒頂修形量Ca分別取2.0，2.5，3.3，3.6和4.0 μm下主動軸右端軸承處的豎直方向位移的幅頻響應(yīng)如圖13所示。由圖可見，在任一轉(zhuǎn)速下，隨著Ca的增大，振動幅值都有一個減小?增大的過程，且在Ca=3.3 μm時振動幅值最小;同時非線性嚙合剛度激勵會引發(fā)諧波振動現(xiàn)象。齒頂修形量Ca=3.3 mm，齒向修形量Cβ=2.5 μm，齒頂修形長度La分別取1.42，2.0，2.7和3.0 mm下的主動軸右端軸承處的豎直方向位移的幅頻響應(yīng)如圖14所示，與Ca的影響規(guī)律類似，La=2.7 mm時振動幅值最小。當(dāng)嚙合頻率fm等于齒輪系統(tǒng)第1階 （f1=329.6 Hz）、第11階（f11=1565.1 Hz）和第16階（f16=2133.6 Hz）固有頻率時出現(xiàn)共振峰，當(dāng)嚙合頻率fm等于f1/2和f11/2時出現(xiàn)超諧波共振峰。在Ca，La和Cβ分別取3.3，2.7和2.5 μm，嚙合頻率fm等于f11/2時的頻譜圖如圖15所示。不同的修形參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響較大，對于一個特定的扭矩工況，對齒輪進行合理修形可以改善齒輪嚙合特性，有效降低共振峰幅值，提升齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性。

4 結(jié) ?論

本文采用承載接觸分析方法建立了考慮混合修形斜齒輪副的嚙合剛度模型，采用有限元方法驗證了本文方法的有效性，探討不同修形量下的齒輪副嚙合特性。首先建立了混合修形斜齒輪嚙合模型，引入求得的時變嚙合剛度進一步建立了斜齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，對比了不同混合修形下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。本文得到以下結(jié)論：

（1）本文斜齒輪承載接觸分析方法考慮了解析能量法很難考慮的軸向以及延長嚙合效應(yīng)的影響，同時在用ANSYS驗證本文方法的準(zhǔn)確性，嚙合剛度最大誤差約為3.88%，并且相比有限元方法具有較高的求解效率，有限元與本文方法求解時間分別為150 min和100 s。

（2）齒頂修形對降低嚙合振動的影響非常明顯，主要用于提升嚙合平穩(wěn)性，改善系統(tǒng)振動。隨著齒頂修形量的增大，嚙合剛度的波動整體呈現(xiàn)先減小達到較平穩(wěn)再增大的趨勢，修形很好地改善了齒輪副嚙合剛度的波動，進而改善系統(tǒng)的振動。但修形量也不宜過大，修形量過大會加劇系統(tǒng)的振動。

（3）通過動力學(xué)特性和嚙合特性的對比，可以看出修形量對時變嚙合剛度的波動和系統(tǒng)振動的影響呈現(xiàn)一致的趨勢，驗證了動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性;同時也說明了修形對于改善系統(tǒng)振動、提升平穩(wěn)性具有積極作用。工程上可以根據(jù)實際的工作轉(zhuǎn)速選取該轉(zhuǎn)速下較佳的修形量，降低共振峰幅值，提升動力學(xué)性能。

參考文獻：

[1] 李潤方. 齒輪傳動的剛度分析和修形方法[M]. 重慶：重慶大學(xué)出版社， 1998： 262-286.

Li Runfang. Stiffness Analysis and Modification of Gear Transmission[M]. Chongqing： Chongqing University Press， 1998： 262-286.

[2] Liu S， Song C， Zhu C， et al. Effects of tooth modifications on mesh characteristics of crossed beveloid gear pair with small shaft angle[J]. Mechanism and Machine Theory， 2018， 119： 142-160.

[3] Wang J H， Li C. Multi-contact in modified helical gear tooth pair considering misalignments[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2019， 233（11）： 4058-4075.

[4] Ma H， Yang J， Song R， et al. Effects of tip relief on vibration responses of a geared rotor system[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2014， 228（7）： 1132-1154.

[5] 馬 ?輝， 逄 ?旭， 宋溶澤， 等. 考慮齒頂修緣的齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)分析[J]. 機械工程學(xué)報， 2014， 50（7）： 39-45.

Ma Hui， Pang Xu， Song Rongze， et al. Vibration response analysis of a geared rotor system considering the tip relief[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50（7）： 39-45.

[6] 杜 ?飛. 兩級行星齒輪箱的輪齒修形方法研究[D]. 重慶： 重慶大學(xué)， 2015.

Du Fei. Research on tooth modification method of two-stage planetary gearbox[D]. Chongqing： Chongqing University， 2015.

[7] Kahraman A， Blankenship G W. Effect of involute tip relief on dynamic response of spur gear pairs[J]. Journal of Mechanical Design， 1999， 121（2）： 313-315.

[8] Fernandez del Rincon A， Viadero F， Iglesias M， et al. A model for the study of meshing stiffness in spur gear transmissions[J]. Mechanism and Machine Theory， 2013， 61（61）： 30-58.

[9] Ma H， Zeng J， Feng R J， et al. An improved analytical model for mesh stiffness calculation of spur gears with tip relief[J]. Mechanism and Machine Theory， 2016， 98： 64-80.

[10] Fernandez del Rincon A， Viadero F， Iglesias M， et al. Effect of cracks and pitting defects on gear meshing[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2012， 226（11）： 2805-2815.

[11] Chen Z G， Zhai W M， Shao Y M， et al. Mesh stiffness evaluation of an internal spur gear pair with tooth profile shift[J]. Science China Technological Sciences， 2016， 59（9）： 1328-1338.

[12] Diez Ibarbia A， Fernandez del Rincon A， Iglesias M， et al. Efficiency assessment in spur gears with shifting and profile modifications[J]. Mechanisms and Machine Science， 2017， 43： 193-201.

[13] Wang Q B， Ma H B， Kong X G， et al. A distributed dynamic mesh model of a helical gear pair with tooth profile errors[J]. Journal of Central South University， 2018， 25（3）： 287-303.

[14] Andersson A， Vedmar L. A dynamic model to determine vibrations in involute helical gears[J]. Journal of Sound and Vibration， 2003， 260（2）： 195-212.

[15] Kubur M， Kahraman A， Ziniet D， et al. Dynamic analysis of a multi-shaft helical gear transmission by finite elements： model and experiment[J]. Journal of Vibration and Acoustics， 2004， 126（3）： 398-406.

[16] Wei J， Zhang A Q， Wang G Q， et al. A study of nonlinear excitation modeling of helical gears with modification： Theoretical analysis and experiments[J]. Mechanism and Machine Theory， 2018， 128： 314-335.

[17] Yuan B， Shan C， Geng L， et al. Optimization of bias modification and dynamic behavior analysis of helical gear system[J]. Advances in Mechanical Engineering， 2017， 9（11）： 1-14.