計(jì)入關(guān)節(jié)摩擦的空間桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模及共振分析

劉福壽 徐文婷 金棟平

摘要： 關(guān)節(jié)非線性對(duì)大型可展開空間桁架結(jié)構(gòu)整體動(dòng)力學(xué)特性有著重要影響。將關(guān)節(jié)模擬為具有六個(gè)方向剛度且其中任意方向可含有非線性特性的彈簧系統(tǒng)，研究了空間桁架結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)建模與共振分析方法。采用雙線性滯回模型模擬關(guān)節(jié)的摩擦特性，基于描述函數(shù)法得到了關(guān)節(jié)等效剛度和等效阻尼的解析表達(dá)式。在對(duì)兩端含非線性關(guān)節(jié)的桁架構(gòu)件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)縮聚的基礎(chǔ)上，建立了桁架結(jié)構(gòu)在頻域下的整體縮聚動(dòng)力學(xué)模型，并采用Newton?Raphson迭代方法進(jìn)行頻域響應(yīng)求解。通過數(shù)值算例將本文方法的計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性和高效性。

關(guān)鍵詞： 結(jié)構(gòu)振動(dòng); 空間桁架結(jié)構(gòu); 非線性關(guān)節(jié); 摩擦滑移; 雙線性滯回模型

引 ?言

空間桁架結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)高強(qiáng)、結(jié)構(gòu)靈活、宜于擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn)，是目前大型空間可展開結(jié)構(gòu)及未來超大型在軌組裝結(jié)構(gòu)的一種主要結(jié)構(gòu)形式[1?3]。不論是可展開桁架還是在軌組裝桁架，都會(huì)使用大量的連接部件（簡(jiǎn)稱“關(guān)節(jié)”）來聯(lián)結(jié)桁架構(gòu)件[4?5]。在這些關(guān)節(jié)中不可避免地存在間隙，導(dǎo)致關(guān)節(jié)內(nèi)產(chǎn)生接觸碰撞、摩擦滑移等力學(xué)問題[6]，成千上萬個(gè)關(guān)節(jié)間隙可以使整個(gè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)呈現(xiàn)強(qiáng)非線性，甚至使理想結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生很大改變[7]。因此，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)關(guān)節(jié)非線性對(duì)整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，對(duì)于大型空間桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)及在軌動(dòng)態(tài)性能至關(guān)重要[8]。

由于空間桁架結(jié)構(gòu)中關(guān)節(jié)非線性特性的復(fù)雜性，精確建立關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型往往十分困難，通常需要對(duì)關(guān)節(jié)非線性模型進(jìn)行一定的假設(shè)和簡(jiǎn)化，使其反映關(guān)節(jié)最本質(zhì)的非線性特征。根據(jù)關(guān)節(jié)非線性剛度和阻尼的產(chǎn)生機(jī)理，可將其非線性模型分為接觸碰撞模型和摩擦模型兩種主要類型[7]。關(guān)節(jié)接觸碰撞模型主要包括連續(xù)接觸模型、兩狀態(tài)（接觸和分離）模型以及三狀態(tài)（接觸、自由運(yùn)動(dòng)和碰撞）模型三類[8]。關(guān)節(jié)摩擦模型主要有理想雙線性滯回模型[9]、考慮摩擦系數(shù)與速度相關(guān)性的Stribeck模型[10]、考慮微滑移的Valanis模型[11]以及能夠描述多種摩擦現(xiàn)象的LuGre模型[10，12]等。在模擬空間桁架結(jié)構(gòu)中的關(guān)節(jié)摩擦?xí)r，由于理想雙線性滯回模型具有形式簡(jiǎn)單，需要辨識(shí)的物理參數(shù)少、物理意義明確等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛采用[9，13?14]。

對(duì)于含單個(gè)或數(shù)個(gè)非線性關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性研究，解析或半解析方法得到廣泛關(guān)注[11?13]。例如，Yoshida[6]采用等效單自由度模型，研究了含單個(gè)回轉(zhuǎn)鉸鏈的懸臂梁的頻率躍遷及能量耗散現(xiàn)象。Wei等[15]基于Galerkin方法，獲得了含多個(gè)非線性關(guān)節(jié)的鉸接梁的降階動(dòng)力學(xué)方程。然而，對(duì)于含大量非線性關(guān)節(jié)的空間桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與分析，目前主要依賴時(shí)域或頻域內(nèi)的數(shù)值分析方法，解析或半解析研究尚不夠充分。時(shí)域數(shù)值方法通常采用有限元法進(jìn)行桁架結(jié)構(gòu)非線性建模和結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)計(jì)算[16?17]。為了獲取足夠精確的結(jié)果，時(shí)域方法在計(jì)算動(dòng)響應(yīng)時(shí)通常需要采用較小的時(shí)間步長(zhǎng)，導(dǎo)致計(jì)算量太大[18];頻域分析方法主要是利用諧波平衡法[19]、增量諧波平衡法[20]和描述函數(shù)法[21]等分析結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)，其本質(zhì)是將時(shí)域內(nèi)的非線性微分方程組轉(zhuǎn)換為頻域內(nèi)的代數(shù)方程組，提高求解效率。例如，宋正華等[19]采用諧波平衡法對(duì)含立方剛度鉸的四邊形桁架單元進(jìn)行了動(dòng)力響應(yīng)分析。Zhang等[21]基于描述函數(shù)法對(duì)含立方剛度鉸鏈的周期平面桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行連續(xù)體等效建模研究。上述有關(guān)頻域方法的研究中，均是將桁架中的關(guān)節(jié)模擬為單一方向的非線性彈簧，而實(shí)際空間桁架結(jié)構(gòu)中的關(guān)節(jié)的力學(xué)特性往往十分復(fù)雜，可以表現(xiàn)出多個(gè)方向的非線性特性。因此，針對(duì)空間桁架結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)建模，需要發(fā)展更加具有通用性的建模方法。

本文將桁架中的關(guān)節(jié)模擬為沿構(gòu)件局部坐標(biāo)系平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的六個(gè)彈簧單元，采用雙線性滯回模型模擬關(guān)節(jié)摩擦特性。基于描述函數(shù)法推導(dǎo)了非線性關(guān)節(jié)的等效剛度和等效阻尼系數(shù)，建立了桁架結(jié)構(gòu)在頻域下的整體縮聚動(dòng)力學(xué)模型，分析了非線性模型參數(shù)和激勵(lì)力幅值對(duì)桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響。

1 桁架結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)建模

考慮含多個(gè)非線性關(guān)節(jié)的Pratt型空間周期桁架結(jié)構(gòu)，如圖1所示。將桁架結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件模擬為空間梁模型，關(guān)節(jié)模擬為在構(gòu)件局部坐標(biāo)系下沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的零長(zhǎng)度平動(dòng)彈簧（記為kux，kuy，kuz）和繞三個(gè)坐標(biāo)軸方向的零長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧（記為kθx，kθy，kθz），如圖2所示。同時(shí)，考慮到關(guān)節(jié)的尺寸效應(yīng)，在構(gòu)件兩端分別加上長(zhǎng)度為e1和e2的剛臂，不計(jì)關(guān)節(jié)質(zhì)量。

1.1 非線性關(guān)節(jié)等效建模

考慮桁架結(jié)構(gòu)受到頻率為ω（ω接近系統(tǒng)的某階共振頻率）的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，則桁架結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)以頻率為ω的基礎(chǔ)諧波分量為主，高階諧波分量與基礎(chǔ)諧波分量相比可以忽略不計(jì)。因此，桁架內(nèi)關(guān)節(jié)在任一剛度方向上的相對(duì)位移可以近似表示為

1.2 桁架結(jié)構(gòu)模型縮聚

在獲得非線性關(guān)節(jié)的等效剛度和等效阻尼系數(shù)后，可采用有限元法或動(dòng)力剛度法建立包含空間梁?jiǎn)卧?、等效彈?阻尼單元和剛臂單元的桁架結(jié)構(gòu)頻域離散動(dòng)力學(xué)模型，然而這樣的模型將具有很高的自由度數(shù)。為此，可以采用文獻(xiàn)[23]提出的方法對(duì)上述離散模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)縮聚。以動(dòng)力剛度法模型為例，根據(jù)構(gòu)件與關(guān)節(jié)之間的位移連續(xù)性條件和動(dòng)力平衡條件，首先將圖2所示兩端含非線性關(guān)節(jié)的構(gòu)件縮聚為兩節(jié)點(diǎn)鉸?梁混合單元，該縮聚單元的動(dòng)力剛度矩陣為[23]

2 算例研究

考慮由10個(gè)基本單元組成，包含60個(gè)關(guān)節(jié)的Pratt型周期桁架結(jié)構(gòu)。桁架構(gòu)件的長(zhǎng)度為L(zhǎng)l=1.5 m（含兩端關(guān)節(jié)長(zhǎng)度），Lv=1.5 m。軸向構(gòu)件和斜向構(gòu)件兩端的關(guān)節(jié)長(zhǎng)度分別為0.02 m和0.03 m。構(gòu)件采用碳纖維管制作，彈性模量E=205 GPa，密度ρ=1720 kg/m3，外徑40 mm，內(nèi)徑34 mm?？紤]構(gòu)件材料具有弱阻尼，采用瑞利阻尼表示，瑞利阻尼系數(shù)α=0.05，β=0.001。該桁架結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)（Oxz平面內(nèi)的彎曲振動(dòng)和軸向振動(dòng)）與面外振動(dòng)（垂直于Oxz平面的彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)）相互獨(dú)立。為研究關(guān)節(jié)非線性對(duì)桁架面內(nèi)和面外振動(dòng)的影響，設(shè)關(guān)節(jié)軸向剛度kux（只影響面內(nèi)振動(dòng)）和繞z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθz（只影響面外振動(dòng)）具有雙線性滯回特性，其他方向剛度為線性。kux和kθz的臨界位移分別為5×10-5 m和3×10-4 rad。為簡(jiǎn)便起見，假設(shè)所有關(guān)節(jié)具有相同的力學(xué)特性，初始剛度如表1所示。

首先采用描述函數(shù)方法計(jì)算非線性彈簧kux和kθz的等效剛度和阻尼系數(shù)，其中kux的等效結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，隨著關(guān)節(jié)相對(duì)位移幅值的增大，等效剛度系數(shù)從初始剛度k1逐漸減小到最終趨于剛度k2，而等效阻尼系數(shù)從零開始先增大后逐漸減小。在關(guān)節(jié)相對(duì)位移幅值剛超出臨界滑移位移時(shí)，等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)變化較快，之后變化緩慢。

在獲得關(guān)節(jié)的等效剛度和阻尼系數(shù)后，便可建立桁架結(jié)構(gòu)的縮聚動(dòng)力學(xué)模型。本算例的縮聚模型共包含22個(gè)節(jié)點(diǎn)，132個(gè)自由度（由于采用動(dòng)力剛度法建模，每根構(gòu)件只需劃分為1個(gè)單元）。為了驗(yàn)證本方法的準(zhǔn)確性，同時(shí)采用ANSYS建立桁架結(jié)構(gòu)的原始有限元模型。由于ANSYS無法直接分析出非線性結(jié)構(gòu)的幅頻特性，本文通過簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的非線性時(shí)程分析，間接獲得非線性幅頻特性。ANSYS模型中，構(gòu)件采用Beam4單元模擬（為了準(zhǔn)確模擬結(jié)構(gòu)高頻響應(yīng)，將每根構(gòu)件劃分為5個(gè)梁?jiǎn)卧?，模擬關(guān)節(jié)的線性和非線性彈簧分別采用Matrix27單元和Combin40單元，剛臂采用MPC184單元模擬。整個(gè)有限元模型共包含306個(gè)節(jié)點(diǎn)，1836個(gè)自由度。

假設(shè)關(guān)節(jié)軸向非線性彈簧kux滑移后剛度k2=0.5k1，在桁架最右端A點(diǎn)上施加幅值為5 N沿z軸方向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，觀察在桁架結(jié)構(gòu)前兩階面內(nèi)共振頻率附近A點(diǎn)豎向位移幅值隨激勵(lì)頻率的變化，結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出，采用本文方法得到的桁架結(jié)構(gòu)前兩階面內(nèi)共振特性與ANSYS結(jié)果均十分吻合，由于關(guān)節(jié)滯回非線性的影響，桁架結(jié)構(gòu)的前兩階共振頻率左移，幅值明顯減小。

為研究關(guān)節(jié)非線性轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθz對(duì)桁架面外振動(dòng)特性的影響，取剛度比k2/k1=0.5，在桁架最右端A點(diǎn)上施加幅值為1 N沿y軸方向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，求得A點(diǎn)沿y軸方向位移的幅頻曲線，如圖7所示。從圖中可以看出，本文方法同樣可以準(zhǔn)確分析出關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθz對(duì)桁架結(jié)構(gòu)前兩階面外共振特性的影響。

為研究激勵(lì)力幅值對(duì)桁架結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力特性的影響，并驗(yàn)證本文方法在不同激勵(lì)大小下的準(zhǔn)確性，保持關(guān)節(jié)參數(shù)不變，將激勵(lì)力幅值從5 N增加到15 N，得到一階共振頻率附近A點(diǎn)豎向位移幅值隨頻率的變化，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯?，隨著激勵(lì)力幅值的增大，桁架結(jié)構(gòu)的共振頻率逐漸左移，說明激勵(lì)力幅值越大，系統(tǒng)的整體剛度越小。另外，從圖中可以看出，當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到15 N時(shí)，本文方法仍然可以獲得準(zhǔn)確的非線性頻響結(jié)果。

為了研究關(guān)節(jié)參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性的影響，考慮關(guān)節(jié)軸向非線性彈簧kux滑移后剛度k2=0.8k1和k2=0.2k1兩種情況，在桁架最右端A點(diǎn)上施加幅值為5 N沿z軸方向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，得到桁架結(jié)構(gòu)一階面內(nèi)共振如圖9所示。由圖中結(jié)果可見，當(dāng)k2=0.8k1時(shí)，兩種方法得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值均十分吻合;當(dāng)k2=0.2k1時(shí)，兩種方法結(jié)果稍微存在一些差別，說明當(dāng)非線性程度較弱時(shí)，采用只考慮基礎(chǔ)諧波項(xiàng)的描述函數(shù)法近似誤差很小;當(dāng)非線性程度較強(qiáng)時(shí)，只考慮基礎(chǔ)諧波項(xiàng)的描述函數(shù)法會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。

3 結(jié) ?論

本文針對(duì)含大量非線性關(guān)節(jié)的空間桁架結(jié)構(gòu)，提出一種能夠同時(shí)考慮關(guān)節(jié)在不同方向非線性特性的動(dòng)力學(xué)縮聚建模與分析方法。將關(guān)節(jié)的摩擦滑移模擬為雙線性滯回模型，采用描述函數(shù)法推導(dǎo)了關(guān)節(jié)的等效剛度和等效阻尼系數(shù)，通過將兩端含非線性關(guān)節(jié)的桁架構(gòu)件縮聚為兩節(jié)點(diǎn)混合鉸?梁?jiǎn)卧?，最終建立了桁架結(jié)構(gòu)的縮聚動(dòng)力學(xué)模型。采用本文方法對(duì)桁架結(jié)構(gòu)的共振特性進(jìn)行了分析，并與有限元方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。結(jié)果表明，采用本文方法分析得到的桁架結(jié)構(gòu)前兩階面內(nèi)和面外共振特性與ANSYS時(shí)程分析結(jié)果能夠很好的吻合，雙線性滯回模型會(huì)導(dǎo)致桁架結(jié)構(gòu)的整體剛度降低和阻尼增大。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉福壽， 金棟平， 陳 ?輝. 環(huán)形桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的等效力學(xué)模型[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2013， 26（4）：516-521.

Liu Fushou， Jin Dongping， Chen Hui. An equivalent mechanics model for the dynamic analysis of hoop truss structures[J]. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（4）： 516-521.

[2] 丁繼鋒， 高 ?峰， 鐘小平，等. 在軌建造中的關(guān)鍵力學(xué)問題[J]. 中國(guó)科學(xué)： 物理 力學(xué) 天文學(xué)， 2019， 49 （2）：024506.

Ding Jifeng， Gao Feng， Zhong Xiaoping， et al. The key mechanical problems of on-orbit construction[J]. SCIENTIA SINICA Physica， Mechanica & Astronomica， 2019， 49（2）： 024506.

[3] 張祎貝， 高冀峰， 陳務(wù)軍，等. 織物復(fù)合材料空間可展桁架模態(tài)試驗(yàn)與分析[J]. 振動(dòng)與沖擊，2018，37（17）：155-160.

Zhang Yibei， Gao Jifeng， Chen Wujun， et al. Modal tests and analysis of a weave composite space deployable truss[J]. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（17）：155-160.

[4] 姜 ?東， 徐 ?宇， 王桂倫，等. 鎖定狀態(tài)下球鉸連接桁架的剛度性能[J]. 東南大學(xué)學(xué)報(bào)， 2019， 49（5）：820- 825.

Jiang Dong， Xu Yu， Wang Guilun， et al. Stiffness property of locked truss with spherical hinge connection[J]. Journal of Southeast University， 2019， 49（5）： 820-825.

[5] Doggett W. Robotic assembly of truss structures for space systems and future research plans[C]. Proceedings of 2002 IEEE Aerospace Conference， Big Sky， MT， USA， 2002.

[6] Yoshida T. Dynamic characteristic formulations for jointed space structures[J]. Journal of Spacecraft and Rockets， 2006， 43（4）：771-779.

[7] 曹登慶， 初世明， 李鄭發(fā)， 等. 空間可展機(jī)構(gòu)非光滑力學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)研究[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2013， 45（1）：3-15.

Cao Dengqing， Chu Shiming， Li Zhengfa， et al. Study on the non-smooth mechanical models and dynamics for space deployable mechanisms[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2013， 45（1）：3-15.

[8] 胡海巖， 田 ?強(qiáng)， 張 ?偉， 等. 大型網(wǎng)架式可展開空間結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)與控制[J]. 力學(xué)進(jìn)展， 2013， 43（4）：390-414.

Hu Haiyan， Tian Qiang， Zhang Wei， et al. Nonlinear dynamics and control of large deployable space structures composed of trusses and meshes[J]. Advances in Mechanics， 2013， 43（4）：390-414.

[9] Tan G E B， Pellegrino S. Nonlinear vibration of cable-stiffened pantographic deployable structures[J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 314：783-802.

[10] Gaul L， Nitsche R. The role of friction in mechanical joints[J]. Applied Mechanics Reviews， 2001， 54（2）：93-106.

[11] Gaul L， Lenz J. Nonlinear dynamics of structures assembled by bolted joints[J]. Acta Mechanica， 1997， 125：169-181.

[12] Jaumouillé V， Sinou J J， Petitjean B. An adaptive harmonic balance method for predicting the nonlinear dynamic responses of mechanical systems—Application to bolted structures[J]. Journal of Sound and Vibration， 2010， 329： 4048-4067.

[13] Hsu S T， Griffin J H， Bielak J. How gravity and joint scaling affect dynamics response[J]. AIAA Journal， 1989， 27（9）：1280-1287.

[14] Shi G， Atluri S N. Nonlinear dynamic response of frame-type structures with hysteretic damping at the joints[J]. AIAA Journal， 1992， 30（1）： 234-240.

[15] Wei J， Cao D Q， Huang H， et al. Dynamics of a multi-beam structure connected with nonlinear joints： Modelling and simulation[J]. Archive of Applied Mechanics， 2018， 88：1059-1074.

[16] 徐 ?彥， 王琿瑋， 孫祿君， 等. 含三維非線性鉸鏈的超大尺寸展開桁架天線動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析[J]. 空間結(jié)構(gòu)， 2019， 25（2）： 46-54.

Xu Yan， Wang Huiwei， Sun Lujun， et al. Dynamic response analysis of large deployable truss antennas with three dimensional nonlinear joints[J]. Spatial Structures， 2019， 25（2）： 46-54.

[17] Luo Y J， Xu M L， Zhang X N. Nonlinear self-defined truss element based on the plane truss structure with flexible connector[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation， 2010， 15（10）：3156-3169.

[18] 尉 ?飛. 局部非線性結(jié)構(gòu)分析方法及其在航天器結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)， 2010.

Wei Fei. Analysis methods for structures with local nonlinearities and applications in space craft structure[D]. Harbin： Harbin Institute of Technology， 2010.

[19] 宋正華， 姜 ?東， 曹芝腑， 等. 含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)非線性模型修正方法研究[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2018，37（1）： 21-26.

Song Zhenghua， Jiang Dong， Cao Zhifu， et al. Nonlinear modal updating method for deployable trusses with joints[J]. Journal of Vibration and Shock， 2018，37（1）： 21-26.

[20] 張 ?靜， 劉榮強(qiáng)， 郭宏偉， 等. 基于增量諧波平衡法的含索鉸可折展桁架非線性動(dòng)力學(xué)特性[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2014， 33（7）：4-10.

Zhang Jing， Liu Rongqiang， Guo Hongwei， et al. Nonlinear dynamic characteristics of deployable structures with joints and cables based on incremental harmonic balance method[J]. Journal of Vibration and Shock， 2014， 33（7）：4-10.

[21] Zhang J， Deng Z Q， Guo H W， et al. Equivalence and dynamic analysis for jointed trusses based on improved finite elements[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part K： Journal of Multi-body Dynamics， 2014， 228（1）：47-61.

[22] Barbosa R S， Machado J A T. Describing function analysis of systems with impacts and backlash[J]. Nonlinear Dynamics， 2002， 29：235-250.

[23] Liu F S， Wang L B， Jin D P， et al. Equivalent micropolar beam model for spatial vibration analysis of planar repetitive truss structure with flexible joints[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2020， 165：105202.

[24] Richards T H， Leung Y T. An accurate method in structural vibration analysis[J]. Journal of Sound and Vibration， 1977， 55（3）：363-376.

[25] 王勖成. 有限單元法[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2003.

Wang Xucheng. Finite Element Method[M]. Beijing： Tsinghua University Press， 2003.

Dynamic modeling and resonance analysis of space truss structures with frictional joints

LIU Fu-shou1， XU Wen-ting1， Jin Dong-ping2， LIU Xiang-dong3， LU Ping-li3

（1.College of Civil Engineering， Nanjing Forestry University， Nanjing 210037， China; 2.State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China; 3.School of Automation， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract： The joint nonlinearity has an important influence on the overall dynamic characteristics of large deployable space truss structures. By modeling the joint as a combination of six spring elements which can have nonlinearity in any direction， the nonlinear dynamic modeling and resonance analysis of truss structures are studied. The bilinear hysteresis model is used to simulate the friction in the joint， and the analytical expressions of its equivalent stiffness and equivalent damping coefficients are derived based on the describing function method. The dynamic condensation of the truss member with nonlinear joints at both ends is carried out to establish the overall condensed dynamic model of the truss structure in the frequency domain， and the dynamic response is solved by the Newton-Raphson iteration method. A numerical example is given to compare the results of the presented method and the finite element method， which verifies the accuracy and efficiency of the presented method.

Key words： structural vibration;space truss structures;nonlinear joint;friction and slip;bilinear hysteresis model

作者簡(jiǎn)介： 劉福壽（1984-），男，講師。電話：（025）85427763;E-mail：liufs_nuaa@163.com

通訊作者： 金棟平（1964-），男，教授。E-mail：jindp@nuaa.edu.cn