一種跳頻信號(hào)的時(shí)頻分析和參數(shù)估計(jì)方法

馮維婷，梁 青，汪一楠

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院, 陜西 西安710121)

跳頻通信信號(hào)的頻率隨時(shí)間按偽隨機(jī)規(guī)律變化，具有不易截獲、組網(wǎng)方式靈活和抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在軍事和民用通信中得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。在通信偵察和電子對(duì)抗等領(lǐng)域中，獲得對(duì)方跳頻通信信號(hào)的跳頻頻率、跳頻周期和跳變時(shí)刻值等參數(shù)信息是破譯及干擾其通信的首要條件[3]。估計(jì)跳頻通信信號(hào)相關(guān)參數(shù)信息一直是信號(hào)處理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[4]。

跳頻信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)。由于時(shí)頻分析方法能夠表征不同時(shí)間和頻率的信號(hào)能量密度，成為目前跳頻信號(hào)特征提取的主要方法。經(jīng)典的時(shí)頻分析方法包括短時(shí)傅里葉變換[5](Short Time Fourier Transform, STFT)、小波變換[6](Wavlet Transform, WT)和魏格納-威爾[7-8](Wigner-Ville Distribution, WVD)。受限于Heisenberg原理或者存在非期望交叉項(xiàng)等原因，采用這些經(jīng)典的時(shí)頻分析方法時(shí)，存在時(shí)間和頻率分辨率不能兼得或者分辨率較低等問(wèn)題，從而影響了跳頻信號(hào)非平穩(wěn)特性的準(zhǔn)確表示。

2011年，Daubechies等提出了同步壓縮變換[9](Synchro-Squeezing Transform, SST)方法。該方法是一種高時(shí)頻分辨率的時(shí)頻分析方法，其以STFT或WT為基礎(chǔ)計(jì)算信號(hào)的線性時(shí)頻譜，對(duì)時(shí)頻譜進(jìn)行壓縮，得到新的時(shí)頻譜[10-11]。較之原時(shí)頻譜，采用SST方法得到的新時(shí)頻譜具有更高的時(shí)頻分辨率。SST方法有著廣闊的應(yīng)用前景，然而該方法也存在不足之處，如具有較差的噪聲魯棒性[12]。為此，阮婉瑩等[13]將變分模態(tài)分解引入SST，以提高SST的噪聲魯棒性。但是，該方法的推導(dǎo)過(guò)程基于瞬時(shí)頻率為連續(xù)函數(shù)的信號(hào)的情況，對(duì)瞬時(shí)頻率有跳躍點(diǎn)的跳頻信號(hào)，在跳變時(shí)刻的時(shí)頻分辨率明顯較低。

針對(duì)SST方法分析跳頻信號(hào)存在噪聲魯棒性較差和跳變時(shí)刻時(shí)頻分辨率較低的問(wèn)題，擬提出一種適合跳頻信號(hào)時(shí)頻分析的改進(jìn)SST方法。根據(jù)跳頻信號(hào)的特性重構(gòu)瞬時(shí)頻率，利用重構(gòu)的瞬時(shí)頻率對(duì)原時(shí)頻譜進(jìn)行壓縮，以提高對(duì)跳頻通信信號(hào)參數(shù)估計(jì)的精度。

1 信號(hào)模型與同步壓縮變換

t時(shí)刻的跳頻信號(hào)模型[14]可以表示為

s(t)=

(1)

其中：A表示信號(hào)的幅度；0≤t≤T,T表示信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度；fk表示第k(k=1,2,…,M)跳頻頻率；Th表示跳變周期，T0表示第一跳起跳時(shí)刻；j為虛數(shù)單位；rectTh(t)為單位門(mén)函數(shù)，其寬度為T(mén)b。

t時(shí)刻混有噪聲的接收信號(hào)可以表示為

r(t)=s(t)+w(t)

(2)

其中，w(t)為高斯復(fù)噪聲，其均值為0，方差為σ2。

采用STFT作為SST方法的基礎(chǔ)，將r(t)的STFT形式定義為

(3)

其中：f表示信號(hào)的頻率；g(τ-t)表示隨時(shí)間移動(dòng)的窗函數(shù)，τ為窗長(zhǎng)。RSTFT(t,f)表示接收信號(hào)STFT后在整個(gè)時(shí)間-頻率軸上的二維分布。

假設(shè)第一跳起跳時(shí)刻為0，跳頻頻率為fk，持續(xù)時(shí)間為T(mén)h的第k跳跳頻信號(hào)可以表示為

sk(t)=Aej2πfkt

(4)

式中，(k-1)Th

式(4)的傅里葉變換形式為

S(f)=Aδ(f-fk)

(5)

式中，δ(f-fk)是在頻率值fk處，強(qiáng)度為1的沖激函數(shù)。

式(5)表示在接收時(shí)間(k-1)Th

為了提高時(shí)頻分辨率，可利用信號(hào)STFT的結(jié)果計(jì)算二維瞬時(shí)頻率fI(t,f)的估計(jì)值。其計(jì)算表達(dá)式為[15]

(6)

式中，?tRSTFT(t,f)為RSTFT(t,f)對(duì)時(shí)刻t的一階偏導(dǎo)。

(7)

2 跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

在運(yùn)用SST方法估計(jì)跳頻信號(hào)的參數(shù)的過(guò)程中，信號(hào)瞬時(shí)頻率的獲取是算法的關(guān)鍵。只有獲取高精度的瞬時(shí)頻率估計(jì)值才能夠得到能量高聚集的同步壓縮結(jié)果。為此，提出一種改進(jìn)的SST方法并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

2.1 改進(jìn)的SST

式(6)計(jì)算瞬時(shí)頻率估計(jì)值的表達(dá)式中有求導(dǎo)運(yùn)算?tRSTFT(t,f)。求導(dǎo)運(yùn)算對(duì)噪聲敏感，也對(duì)噪聲背景下跳頻信號(hào)的跳變部分敏感，容易帶來(lái)較大的估計(jì)誤差，從而導(dǎo)致對(duì)跳變部分的時(shí)頻分析性能往往明顯弱于連續(xù)部分。跳頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率是分段連續(xù)的，存在跳變點(diǎn)，因此，式(6)并不適用于跳頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)?；谝陨峡紤]，結(jié)合跳頻信號(hào)的特點(diǎn)，改進(jìn)跳頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)方法，將這種改進(jìn)方法稱(chēng)為Hop-SST方法。對(duì)跳頻信號(hào)瞬時(shí)頻率估計(jì)采用如下思路。

對(duì)于原時(shí)頻譜RSTFT(t,f)，提取時(shí)刻t的所有時(shí)頻系數(shù)峰值對(duì)應(yīng)的頻率，得到時(shí)刻t的時(shí)頻脊線

(8)

在整個(gè)時(shí)頻譜中，時(shí)頻脊線fR(t)值為時(shí)刻t跳頻信號(hào)能量聚集的頻率點(diǎn)，高斯噪聲能量均勻分布于整個(gè)時(shí)頻譜不會(huì)聚集。因此，時(shí)頻脊線就是跳頻信號(hào)瞬時(shí)頻率的一維估計(jì)值?；趂R(t)構(gòu)造瞬時(shí)頻率的二維估計(jì)值

(9)

(10)

式中，N表示時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)。

圖1 無(wú)噪聲時(shí)和x(f)的波形圖

圖2 SNR為-5 dB時(shí)和x(f)的波形圖

(11)

圖3 重構(gòu)的波形圖

利用Hop-SST時(shí)頻分析方法得到跳頻信號(hào)時(shí)頻譜的過(guò)程，可以總結(jié)為如下具體步驟。

步驟1對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行STFT，得對(duì)應(yīng)的時(shí)頻譜RSTFT(t,f)。

相比于SST方法，Hop-SST時(shí)頻分析方法改變了瞬時(shí)頻率的估計(jì)方式，沒(méi)有進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，增加了基于時(shí)頻脊線提取的瞬時(shí)頻率預(yù)估計(jì)及二值化、各跳頻頻率聚類(lèi)，瞬時(shí)頻率的修正等運(yùn)算。增加的運(yùn)算量主要為二維平面的一次峰值搜索、沿頻率軸的一次累加和兩次比較運(yùn)算，與SST方法對(duì)比，增加的運(yùn)算復(fù)雜度不高，適合實(shí)時(shí)信號(hào)的處理。

2.2 參數(shù)估計(jì)

對(duì)于混有噪聲的跳頻信號(hào)，需要估計(jì)跳頻頻率、起跳時(shí)刻和跳頻周期等3個(gè)參數(shù)。

信號(hào)的參數(shù)估計(jì)過(guò)程的原理為，首先，基于Hop-SST方法得到的時(shí)頻譜，再提取時(shí)頻脊線，并進(jìn)行修正。修正后的時(shí)頻脊線為常量分段信號(hào)。其次，對(duì)時(shí)頻脊線進(jìn)行差分運(yùn)算。跳變時(shí)刻的差分值明顯較大，而非跳變時(shí)刻差分值為0。根據(jù)這一特點(diǎn)，檢測(cè)差分值的非0值時(shí)刻即可以檢測(cè)出跳變時(shí)刻。兩個(gè)相鄰的跳變時(shí)刻之間的時(shí)頻脊線對(duì)應(yīng)的常量即為該段時(shí)間內(nèi)的跳頻頻率估計(jì)值。最后，將接收時(shí)間T減去第一跳起跳時(shí)刻T0和最后一跳起跳時(shí)刻，對(duì)剩下的相鄰跳變時(shí)刻值兩兩作差并取平均，從而得到跳變周期Th的估計(jì)值。具體有如下4個(gè)步驟。

步驟2進(jìn)行fRIM(t)的差分運(yùn)算，記錄差分結(jié)果中非零值對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，即估計(jì)出跳變時(shí)刻。

步驟3取相鄰兩個(gè)跳變時(shí)刻的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率值，得到跳頻頻率的估計(jì)值。

步驟4剔除接收時(shí)間T的第一跳和最后一跳的跳變時(shí)刻，計(jì)算相鄰兩個(gè)跳變時(shí)刻之間的間隔并取平均得到跳變周期估計(jì)值。

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 跳頻信號(hào)的時(shí)頻譜

仿真條件為，假設(shè)接收到的信號(hào)是經(jīng)過(guò)下變頻的含噪跳頻信號(hào)，其采樣頻率fs為1 024 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)N為1 024點(diǎn)，時(shí)間長(zhǎng)度T=1 ms。假設(shè)第一起跳時(shí)刻T0=0，跳頻周期Th=0.125 ms，最小跳頻頻率值fmin=50 kHz，跳頻頻率間隔為50 kHz，共有8個(gè)跳頻頻率，最大跳頻頻率值fmax=400 kHz。選取的跳頻序列為{50, 200, 100, 300, 150, 400, 350, 250}，其單位為kHz。STFT中的窗函數(shù)采用旁瓣較低的漢寧窗，設(shè)定長(zhǎng)度為155點(diǎn)。

在信噪比為10 dB時(shí)，分別采用STFT方法、SST方法和改進(jìn)的Hop-SST方法得到的二維時(shí)頻譜圖如圖4所示。

圖4 SNR=10 dB時(shí)3種方法的二維頻譜圖

由圖4(a)可見(jiàn)，接收信號(hào)經(jīng)STFT的時(shí)頻系數(shù)展開(kāi)較寬，頻率分辨率低。圖4(b)SST方法的時(shí)頻系數(shù)更加聚集，頻率分辨率高，但在頻率跳變時(shí)刻時(shí)頻系數(shù)較分散。圖4(c)Hop-SST方法改善了頻率跳變時(shí)刻時(shí)頻系數(shù)分散的現(xiàn)象。

在信噪比為-5 dB時(shí)，分別采用STFT方法、SST方法和改進(jìn)的Hop-SST方法得到的二維時(shí)頻譜圖如圖5所示。

由圖5可見(jiàn)，在低信噪比條件下，圖5(a)STFT方法和圖5(b)SST方法的時(shí)頻譜模糊不清，受背景噪聲影響嚴(yán)重；圖5(c)Hop-SST的時(shí)頻譜清晰，且沒(méi)有背景噪聲，這是由于根據(jù)跳頻信號(hào)特點(diǎn)重構(gòu)瞬時(shí)頻率的過(guò)程中不僅聚集了能量，而且抑制了噪聲。

圖5 SNR=-5 dB時(shí)3種方法的二維頻譜圖

采用瑞利熵定量評(píng)價(jià)時(shí)頻分辨率的高低。瑞利熵值越小表示時(shí)頻分辨率越高。不同信噪比情況下3種方法的瑞利熵對(duì)比結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同信噪比情況下3種方法的瑞利熵

由圖6可以看出，不同信噪比情況下Hop-SST方法的瑞利熵比STFT方法和SST方法的瑞利熵小，并且，低信噪比情況下Hop-SST的熵變化不大，說(shuō)明該方法具有較強(qiáng)的抗干擾能力和更高的時(shí)頻分辨率。

3.2 跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

定義頻率估計(jì)相對(duì)誤差的平均值為

定義跳變時(shí)刻t估計(jì)相對(duì)誤差的平均值為

定義跳頻周期估計(jì)相對(duì)誤差值為

設(shè)定信噪比SNR在5 dB～10 dB之間，以1 dB為間隔取值，分別采用STFT、SST和Hop-SST方法分別進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)估計(jì)跳頻頻率、跳變時(shí)刻和周期。采用3種方法估計(jì)的跳頻頻率誤差曲線如圖7所示。分別采用STFT和Hop-SST方法得到的跳變時(shí)刻以及跳頻周期的誤差曲線分別如圖8和圖9所示。

圖7 3種方法跳頻頻率估計(jì)的誤差

圖8 STFT和Hop-SST方法跳變時(shí)刻估計(jì)的誤差

圖9 STFT和Hop-SST方法跳頻周期估計(jì)的誤差

從圖7(a)可以看出，不同信噪比條件下SST的頻率誤差比STFT的大，這是由于SST方法的噪聲魯棒性差，頻率估計(jì)值受噪聲影響大，SST方法雖然提高了時(shí)頻分辨率但跳頻頻率估計(jì)值精度低。從圖7(b)可見(jiàn)，在低信噪比條件下，Hop-SST的頻率估計(jì)誤差比STFT方法小，隨著信噪比的提高，兩者的頻率誤差值基本相等。這是因?yàn)镠op-SST中的頻率聚類(lèi)和迭代濾波能更好地消除噪聲的影響，因此在低信噪比時(shí)跳頻頻率估計(jì)值精度更高。但是，隨著信噪比的提高，噪聲對(duì)頻率估計(jì)結(jié)果影響減小，而Hop-SST是基于STFT的頻率重排，故在高信噪比時(shí)兩者具有相同的頻率估計(jì)精度。

從圖8可以看出，在低于-2 dB情況下，Hop-SST方法的跳變時(shí)刻誤差小于STFT方法，但在-2 dB以后兩條曲線基本重合，并且估計(jì)精度維持穩(wěn)定，不再提高，這是由于兩種方法中窗函數(shù)長(zhǎng)度相等的緣故。跳變時(shí)刻估計(jì)值的精度受限于時(shí)頻譜中窗函數(shù)的長(zhǎng)度。根據(jù)傅里葉變換理論，窗函數(shù)時(shí)域上的長(zhǎng)度和其頻域上的帶寬成反比。時(shí)域窗函數(shù)的長(zhǎng)度越短，時(shí)間分辨率越高，但不可避免地，其頻域的帶寬就越寬，頻率分辨率就越低，所以窗函數(shù)長(zhǎng)度的選擇是考慮綜合時(shí)間分辨率和頻率分辨率性能的折中結(jié)果。

圖9的跳頻周期估計(jì)誤差曲線與圖8類(lèi)似，但其對(duì)跳頻周期的估計(jì)是在跳變時(shí)刻估計(jì)基礎(chǔ)上取平均得到的，誤差有累計(jì)效應(yīng)，故跳頻周期的誤差大于跳變時(shí)刻的誤差。

綜合圖4～圖9的跳頻信號(hào)時(shí)頻分析和參數(shù)估計(jì)仿真結(jié)果可見(jiàn)，本文Hop-SST方法的時(shí)頻譜能量聚集度更高，參數(shù)估計(jì)精度在低信噪比下更高，抗干擾能力更強(qiáng)。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)跳頻信號(hào)的時(shí)頻分析和參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，提出了改進(jìn)的同步壓縮變換方法。根據(jù)跳頻信號(hào)的特點(diǎn)進(jìn)行頻率聚類(lèi)和迭代濾波，改進(jìn)了同步壓縮變換中瞬時(shí)頻率的估計(jì)方法，基于該方法得到跳頻信號(hào)的時(shí)頻譜圖和參數(shù)估計(jì)值。仿真結(jié)果表明，Hop-SST方法較STFT方法和SST方法具有更清晰的時(shí)頻譜，更有利于基于時(shí)頻譜的跳頻信號(hào)重構(gòu)，同時(shí)，在低信噪比條件下具有更高的參數(shù)估計(jì)精度。