階梯型正弦波相角量化誤差的周期性與對(duì)稱性
——階梯波研究之五

陸祖良

(中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029)

1 引 言

正弦信號(hào)的相角是重要的參數(shù)，本質(zhì)上是兩個(gè)時(shí)間量的比。單個(gè)正弦信號(hào)的相角與參考點(diǎn)的選取有關(guān)，某個(gè)觀察點(diǎn)的相角是該點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的時(shí)間與周期的比。兩個(gè)同周期正弦信號(hào)之間的相角差具有確定的含義。相角在電學(xué)計(jì)量中有廣泛應(yīng)用，如交流功率除與電流、電壓有關(guān)之外，還與它們之間的相角差有關(guān)。因此相角研究受到重視，包括相角參考標(biāo)準(zhǔn)的建立以及相角準(zhǔn)確測(cè)量方法的設(shè)計(jì)等[1～3]。相角問(wèn)題研究，涉及功率、工頻諧波、分流器[4～10]，以及阻抗等計(jì)量問(wèn)題[11～13]。

數(shù)字技術(shù)應(yīng)用于相角研究，例如通過(guò)模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)的采樣技術(shù)和不同的分析方法測(cè)量?jī)蓚€(gè)信號(hào)的相角差；數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)產(chǎn)生設(shè)定相角差的兩個(gè)信號(hào)。在一般的DAC中，量化過(guò)程使輸入的數(shù)字量與輸出的模擬量之間存在一個(gè)以LSB/2為限的誤差。這使輸出的幅值產(chǎn)生誤差，也使相角的輸出與輸入之間存在不一致。這反過(guò)來(lái)給相角的精確設(shè)置帶來(lái)困難。隨著DAC分辨率的提高，這個(gè)問(wèn)題會(huì)得到緩解。但是嚴(yán)格說(shuō)，輸入數(shù)據(jù)的量化所帶來(lái)的相角輸出是不連續(xù)的；出現(xiàn)在正弦波中，可視為波動(dòng)的一種量化效應(yīng)。它對(duì)測(cè)量尤其是精密測(cè)量的影響應(yīng)予評(píng)估。量子交流電壓出現(xiàn)之后，人們用已知的兩個(gè)電壓比組成電橋來(lái)測(cè)量阻抗比[14，15]，對(duì)于可編程量子電壓而言，這種量化所固有的不連續(xù)性，成為阻礙電橋不確定度水平提高的重要因素之一。盡管人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到[5,16，20]，這種誤差有大小的不同，存在個(gè)別特定相角，獲得的實(shí)際結(jié)果與設(shè)定值之間的偏差幾乎可以忽略，但缺乏深入的分析及內(nèi)在規(guī)律的一般性了解。

作者將此問(wèn)題歸結(jié)為階梯波的性質(zhì)加以研究。因?yàn)橥ǔ５腄AC，脈寬調(diào)制型除外，其輸出實(shí)質(zhì)上是階梯波，原因是轉(zhuǎn)換為模擬量并予保持的時(shí)間不可能為無(wú)限小。而所需要的正弦波則是階梯波的基波。進(jìn)而將獲得的結(jié)論歸結(jié)為階梯波的固有特性，供相關(guān)研究參考。

關(guān)于階梯波基波有效值量化誤差實(shí)驗(yàn)研究的初步結(jié)果已有發(fā)表[17]，認(rèn)識(shí)到這種量化誤差基本上是固定的，因而其大部分可通過(guò)補(bǔ)償克服；相角在 0 rad 附近變化時(shí)，誤差顯現(xiàn)了某種對(duì)稱規(guī)律。本文則著重于相角量化誤差內(nèi)在規(guī)律的研究。

本文定義了相角的量化誤差，提出并證明了相角量化誤差的主要特性，描述了相角量化誤差的具體分布特性，研究了相角量化誤差的零點(diǎn)分布等有關(guān)性質(zhì)，討論了其應(yīng)用。

2 相角的量化誤差

原始正弦信號(hào)y(x)=sinx，其中x=2 π t/τ(τ為周期)，在一個(gè)周期內(nèi)用N(N≥3)個(gè)等間隔的點(diǎn)離散。間隔為H=2 π /N，離散點(diǎn)的值則為：

yn=sin(nH)

(1)

式中：離散序號(hào)n=0,1,2,…,N-1。一個(gè)周期內(nèi)的離散數(shù)據(jù)，以下稱為數(shù)據(jù)列。

DAC將式(1)的數(shù)據(jù)列轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)。在零階保持(zero-order-hold)中，形成連續(xù)的階梯波形。如果DAC的分辨率無(wú)窮小，或者說(shuō)，不考慮幅值的量子誤差，則輸出結(jié)果可以寫(xiě)成：

z(x)=yn=sin(nH)，nH≤x<(n+1)H

(2)

這個(gè)階梯波中包含階次與N有關(guān)的諧波分量[18]，其中基波的幅值和相角為：

(3)

φ1=-π /N

(4)

基波幅值與原始信號(hào)的幅值相差1.6449/N2，是原始信號(hào)中的主要部分，基波相角比原始信號(hào)超前-π /N。第一個(gè)諧波位于N-1的階次上。因此可通過(guò)N值的調(diào)整使基波之外所有諧波遠(yuǎn)離基波并占很小的比例，從而方便地將諧波濾除而保留基波，生成所需要的正弦波。

當(dāng)考慮量化誤差時(shí)，式(1)表示的數(shù)值被量化：

(5)

(6)

它是實(shí)際的輸出波形，其基波的傅里葉系數(shù)是：

(7)

(8)

一般，在計(jì)算基波的傅里葉系數(shù)時(shí)，使用的基函數(shù)為cosnH和sinnH；上兩式說(shuō)明，在由N個(gè)臺(tái)階值計(jì)算階梯波的基波時(shí)，相應(yīng)的基函數(shù)為[sin(n+1)H-sinnH]和[-cos(n+1)H+cosnH]。其實(shí)這個(gè)結(jié)論也適用于量化前的情況，式(3)、式(4)就是由此獲得。

新的基函數(shù)的物理意義是，盡管分割仍然由N個(gè)均勻分布的點(diǎn)代表，但實(shí)際上是N個(gè)等寛的臺(tái)階，所處理的對(duì)象是連續(xù)的階梯波信號(hào)。

這樣式(6)所示階梯波中基波幅值和相角成為：

(9)

(10)

考察量化前后的兩個(gè)階梯波表達(dá)式(2)和式(6)，以及它們基波的相角表達(dá)式(4)和式(10)，定義：

(11)

為“階梯波基波的相角量化誤差”。為簡(jiǎn)化表達(dá)，以下簡(jiǎn)稱“相角量化誤差”。這樣定義的物理意義是，表達(dá)僅由數(shù)據(jù)“量化”而引起的誤差，而數(shù)模“轉(zhuǎn)換”、濾波等過(guò)程引起的誤差則并不包括在內(nèi)。

3 主要特性

3.1 起始點(diǎn)輪換不變性

首先說(shuō)明一個(gè)重要的現(xiàn)象，當(dāng)數(shù)據(jù)列的起始點(diǎn)在量化前階梯波式(2)和量化后階梯波式(6)中同步輪換時(shí)，相角量化誤差將保持不變。

事實(shí)上這是一個(gè)簡(jiǎn)單的現(xiàn)象，但合理性并不明顯。以下用三段論述對(duì)此作出證明。

首先，討論限于任意的正弦波和一般的DFT。信號(hào)y(x)=Csin(x+φ)，不失一般性，這里C是信號(hào)按DAC內(nèi)置電壓V歸一的無(wú)量綱相對(duì)幅值，C=c1/V(C≤1)，該信號(hào)的一個(gè)周期被N點(diǎn)均分，N符合采樣定理的要求，間隔H=2 π /N。記某個(gè)數(shù)據(jù)的序號(hào)為0，其余依次標(biāo)記。從序號(hào)為0的采樣點(diǎn)開(kāi)始的N個(gè)數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)一般DFT，按照采樣定理，記獲得的被測(cè)正弦波為y(x)=Csin(x+φ)。第1次輪換后，從序號(hào)為1的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為起始點(diǎn)，對(duì)同樣但次序變化了的N個(gè)數(shù)據(jù)，運(yùn)算獲得的波形則為y(x)=Csin(x+φ+H)，即比首次運(yùn)算的波形相角滯后H。這個(gè)結(jié)論不難從正弦波時(shí)間軸上N個(gè)均分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖像思考而得到，見(jiàn)圖1。起始點(diǎn)每后移1個(gè)點(diǎn)，新的正弦波圖像的相角滯后一個(gè)相角H。此后的輪換依次類(lèi)推。

其次，把考察對(duì)象從正弦波數(shù)據(jù)列擴(kuò)展到一般的數(shù)據(jù)列，它們同樣來(lái)自均勻分割而總數(shù)為N，所有數(shù)據(jù)相互之間不必符合正弦規(guī)律，只是需限制數(shù)值為無(wú)窮大的情況(此即傅里葉變換可積性條件的離散化形式，它對(duì)數(shù)學(xué)的完整性具有意義，一般的實(shí)際情況下均可得到滿足。但對(duì)于特殊應(yīng)用的場(chǎng)合需要注意)。

在本文的討論中，由于DAC的需要，其最大值按歸一化要求不大于1。此數(shù)據(jù)列可視為某個(gè)周期性曲線在N個(gè)點(diǎn)上的采樣；這個(gè)曲線可分解成三角級(jí)數(shù)。由于曲線的一般性假設(shè)，不排除三角級(jí)數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)的情況(例如方波)；只要N≥3，一定可以指出其中的基波，形如y(x)=Csin(x+φ)所表示。因此當(dāng)起始點(diǎn)輪換時(shí)，起始點(diǎn)每后移1個(gè)點(diǎn)，所涉及的基波相角滯后一個(gè)角度H。事實(shí)上，這里沒(méi)有改變時(shí)間軸上的N個(gè)均勻分割，改變的只是縱坐標(biāo)的大小。而本文所討論的量化操作，則正是這種縱坐標(biāo)大小的改變。

為形象地展示上述結(jié)論，用實(shí)驗(yàn)1模擬兩個(gè)信號(hào)的數(shù)據(jù)列。其中y1n=sin(nh+ π /6)表示一個(gè)規(guī)則的正弦波。y2n=(0.8R+0.6)sin(nh+ π /6)，R是位于[-0.5,0.5)之間的隨機(jī)數(shù)(平均分布)，其中包含了y1n的波形，但只占60%，其余40%是隨機(jī)數(shù)。實(shí)驗(yàn)1取DAC的分辨率為8 bit，N=20；分別計(jì)算這兩個(gè)數(shù)據(jù)列，按式(5)計(jì)算量化后的數(shù)據(jù)列；然后按(7)、式(8)進(jìn)行DFT并按式(10)計(jì)算相角。結(jié)果表示在表1中，其中“起點(diǎn)0”表示選擇序號(hào)為0的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為起始點(diǎn)。

圖1 實(shí)驗(yàn)1中的兩個(gè)數(shù)據(jù)列，規(guī)則正弦波為y1，較為任意的波形為y2，8 bit/DAC，N=20Fig.1 Two data sequence，y1,y2 and the fundamental of y2,in experiment 1 with 8 bit of DAC and N=20

表1中提供了以序號(hào)分別為0、1和2的數(shù)據(jù)點(diǎn)為起始點(diǎn)的階梯波基波的相角值。由此計(jì)算各起始點(diǎn)的相角量化誤差，y1n的相角量化誤差均為 -0.000 201 rad，而y2n的則均為0.000 619 rad，與上述結(jié)論一致。當(dāng)起始點(diǎn)輪換時(shí)，無(wú)論是量化前還是量化后，相角的步進(jìn)值均為0.314 159 rad，與H=π /10之差不大于10-11rad數(shù)量級(jí)。這在數(shù)據(jù)列y1n以及較為任意的數(shù)據(jù)列y2n中均是如此，即，與設(shè)置信號(hào)的參數(shù)(幅值C和相角φ)無(wú)關(guān)。

表1 實(shí)驗(yàn)1結(jié)果，數(shù)據(jù)列起始點(diǎn)輪換后階梯波基波的相角/rad，8 bit/DAC，N=20Tab.1 Results of experiment 1,phase angle value in rad of fundamental in staircase waveform when starting data-point is rotated,with 8 bit of DAC and N=20

這個(gè)結(jié)論的內(nèi)在機(jī)理，在于盡管起始點(diǎn)在輪換，但數(shù)據(jù)列本身(觀察對(duì)象)和DFT運(yùn)算中的基函數(shù)(觀察方法)都沒(méi)有改變。觀察對(duì)象沒(méi)有改變，是指數(shù)據(jù)列中各點(diǎn)之間相鄰關(guān)系、及各自大小沒(méi)有變化，同時(shí)N點(diǎn)均勻分割保持不變；觀察方法沒(méi)有改變，是指基函數(shù)的次序沒(méi)有輪換，同時(shí)基函數(shù)不被量化。至于式(5)所表示的量化方式對(duì)這個(gè)結(jié)論不是最重要的。

實(shí)驗(yàn)2使用真實(shí)的DAC，NI6733，分辨率16 bit，內(nèi)部參考電壓10 V，利用文獻(xiàn)[19]中的一組實(shí)驗(yàn)的采樣值。N=24，量化前的數(shù)據(jù)由數(shù)列yn=sin(nH+H/2)獲得。將其輸入DAC生成階梯波。由ADC測(cè)量其臺(tái)階值。ADC參數(shù)：NI5922，24 bit@500 kHz至16 bit@ 15 MHz，其內(nèi)部參考電壓10 V，采用2 V峰峰值量程。采樣率為1 Ms/s，將階梯波每個(gè)平臺(tái)再細(xì)分M=50。ADC采樣10組數(shù)據(jù)，每組含10個(gè)周期。

處理如下：首先將10組平均成為1組，該平均的標(biāo)準(zhǔn)偏差一般位于10-5量級(jí)，臺(tái)階轉(zhuǎn)換處個(gè)別點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)偏差稍大，但不大于(1～2)×10-4；然后將1組內(nèi)10個(gè)周期平均成為1個(gè)周期，該平均的標(biāo)準(zhǔn)偏差一般為(1～2)×10-5；由于每個(gè)臺(tái)階50個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)兩端存在過(guò)渡過(guò)程和吉布斯現(xiàn)象，按片段采樣 (13,25,12)只取中間25個(gè)采樣值平均作為該平臺(tái)的值，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差小于(3～5)×10-6。將此一個(gè)周期內(nèi)24個(gè)值作為量化后的數(shù)列。按式(7)、式(8)作DFT,并計(jì)算相角量化誤差。對(duì)應(yīng)于每個(gè)序號(hào)數(shù)據(jù)點(diǎn)作起始點(diǎn)輪換，計(jì)算結(jié)果表明，相角量化誤差均為-278.780 3 nrad，見(jiàn)表2。

表2 實(shí)驗(yàn)2結(jié)果，實(shí)測(cè)階梯波基波相角數(shù)據(jù)/rad，16 bit/DAC，16 bit/ADC，N=24，原始數(shù)據(jù)源于[19]Tab.2 Results of experiment 2,phase angle value in rad for real experimental of staircase waveform,with 16 bit of DAC，16 bit for ADC and N=24,the original data came from [19]

進(jìn)一步計(jì)算相鄰起始點(diǎn)之間相角的步進(jìn)值，并與H比較，對(duì)應(yīng)于量化前和量化后，每一個(gè)起始點(diǎn)的步進(jìn)值與H之差大部分小于2×10-12rad，個(gè)別小于1×10-11rad。

以上是對(duì)于階梯波基波相角量化誤差的基本認(rèn)識(shí)。即，對(duì)于幅值C和相角φ任意設(shè)定的原始信號(hào)y(x)=Csin(x+φ)，當(dāng)起始點(diǎn)在數(shù)據(jù)序列中輪換時(shí)，相應(yīng)階梯波基波的相角量化誤差都是相等的。為與量化后的相角區(qū)別，下文稱原始信號(hào)相角為設(shè)置(初)相角。

3.2 周期性

相角差為pH的兩個(gè)數(shù)據(jù)列

y1n=Csin(nH+φ)y2n=Csin(nH+φ+pH)

(12)

式中:p=1,2,…,N-1，所生成的階梯波基波具有相同的相角量化誤差。

這里沒(méi)有指明起始點(diǎn)，表示起始點(diǎn)序號(hào)為0。

這是第3.1節(jié)結(jié)論的一個(gè)推論。證明如下：當(dāng)y1n的起始點(diǎn)作輪換時(shí)，將生成y2n，并對(duì)應(yīng)于p的不同取值。因此y2n與y1n有相同的相角量化誤差。

其物理意義是，在設(shè)置相角為橫軸，相角量化誤差為縱軸的坐標(biāo)圖上，當(dāng)橫軸上的點(diǎn)為φ,φ+H,φ+2H,…,φ+(N-1)H時(shí)，縱坐標(biāo)都是等高的，都等于φ點(diǎn)的相角量化誤差；當(dāng)φ點(diǎn)在區(qū)間[0,H]之間變化時(shí)，這個(gè)結(jié)論仍然成立。換言之，相角在區(qū)間[0,2 π ]范圍之內(nèi)變化時(shí)，其量化誤差的分布，只要知道第1個(gè)區(qū)間[0,H]的分布就可以了。這就是相角量化誤差的周期性，周期為H。為了與通常的“信號(hào)周期”相區(qū)別，稱這種周期為“相角量化誤差周期”，按其特征，簡(jiǎn)稱為“H周期”。

實(shí)驗(yàn)3驗(yàn)證了相角量化誤差的周期性。DAC分辨率為12 bit，取N=10，在式(12)中按設(shè)置的幅值和相角，分別計(jì)算兩個(gè)數(shù)據(jù)列，并按式(5)計(jì)算它們量化后的數(shù)據(jù)列；然后按式(7)、式(8)進(jìn)行DFT，并按式(10)計(jì)算量化前后的相角，最后按式(11)計(jì)算相角量化誤差。表3提供了3個(gè)不同幅值和相角設(shè)置情況下的結(jié)果，結(jié)果表明上述結(jié)論成立。不同的p值下，y2相角量化誤差與y1的相等，兩者差值小于(1～2)×10-11rad。

表3 實(shí)驗(yàn)3結(jié)果，周期性驗(yàn)證，12 bit/DAC，N=10Tab.3 Results of experiment 3,verification for periodicity with 12 bit of DAC and N=10 nrad

3.3 對(duì)稱性

一個(gè)H周期內(nèi)相角量化誤差的分布是對(duì)稱的。具體描述以下：兩個(gè)信號(hào)的設(shè)置初相角分別位于H周期的對(duì)稱點(diǎn)上，或說(shuō)，與周期H的開(kāi)始點(diǎn)和終止點(diǎn)有相等的距離。則它們的相角量化誤差絕對(duì)值相等，符號(hào)相反。

以正弦函數(shù)信號(hào)為例，兩個(gè)數(shù)據(jù)列：

y1n=Csin(nH+α)y2n=Csin(nH+H-α)

(13)

此處不妨有0<α

(14)

對(duì)稱性來(lái)源于第3.2節(jié)周期性與三角函數(shù)本身性質(zhì)。證明如下：

y2n=Csin(nH+H-α)

=Csin(-NH+nH+H-α)

=Csin[-(N-1-n)H-α]

=-Csin[(N-1-n)H+α]

=-Csin(n*H+α)=-y1n*

這里在正弦函數(shù)符號(hào)內(nèi)增加項(xiàng)-NH，是因?yàn)镹H=2 π 。最后引入了新的序號(hào)n*=N-1-n，表示反向排序，因?yàn)楫?dāng)n=0,1,2,…,N-2,N-1時(shí)，有n*=N-1,N-2,…,2,1,0。

因此式(13)實(shí)際上是這樣的兩組采樣列，一個(gè)是另一個(gè)的反符號(hào)反向排列(反符號(hào)指相應(yīng)數(shù)據(jù)值絕對(duì)值相等而符號(hào)相反)。

按式(7)、式(8)計(jì)算數(shù)據(jù)列y2n的傅里葉系數(shù)a1(y2)和b1(y2)，此處符號(hào)中不加序號(hào)n，是強(qiáng)調(diào)傅里葉系數(shù)是整個(gè)數(shù)據(jù)列的特征值，需要指出的關(guān)鍵是，在DFT計(jì)算中，相乘的數(shù)據(jù)列與基函數(shù)數(shù)據(jù)列應(yīng)該有相同的序號(hào)。

a1(y2)=y2n[sin(n+1)H-sinnH]

=-y1n*[sin(N-1-n*+1)H-

sin(N-1-n*)H]

=-y1n*[sin(-n*H)-sin(-n*-1)H]

=-y1n*[sin(n*+1)H-sinn*H]

=-a1(y1)

b1(y2)=y2n[-cos(n+1)H+cosnH]

=-y1n*[-cos(N-1-n*+1)H+

cos(N-1-n*)H]

=-y1n*[-cosn*H+cos(n*+1)H]

=y1n*[-cos(n*+1)H+cosn*H]

=b1(y1)

因此,φ1(y1)=-φ1(y2)。

現(xiàn)計(jì)算數(shù)據(jù)列y2的相角量化誤差

這就是需要證明的式(14)。

余弦函數(shù)信號(hào)可同樣證明。

一個(gè)需要說(shuō)明的情況是，在正弦函數(shù)信號(hào)情況下，兩個(gè)反符號(hào)的數(shù)值，經(jīng)過(guò)式(5)的量化之后，是否會(huì)產(chǎn)生絕對(duì)值相差1個(gè)LBS的情況？注意到Microsoft Excel所提供的INT(x)函數(shù)是“將數(shù)值向下取整為最接近的整數(shù)”。因此，式(5)中函數(shù)INT(x+0.5)，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)值x的小數(shù)部分絕對(duì)值[x]嚴(yán)格等于0.5時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生所擔(dān)心的情況，如：INT(2.5+0.5)=3,而INT(-2.5+0.5)=-2。

在[x]=0.5的基礎(chǔ)上，增加(或減少)1×10-14，都使反符號(hào)的兩個(gè)數(shù)值量化之后成為絕對(duì)值相等的整數(shù)，如：INT(2.500 000 000 000 01+0.5)=3而INT(-2.500 000 000 000 01+0.5)=-3；

INT(2.499 999 999 999 99+0.5)=2,而INT(-2.499 999 999 999 99+0.5)=-2。

因此所擔(dān)心的情況是小概率事件。但存在這樣的情況，兩個(gè)絕對(duì)值本應(yīng)相等的數(shù)值，由于計(jì)算誤差，在模擬實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)相差10-11量級(jí)的不一致，大多數(shù)情況下這不會(huì)引起問(wèn)題。但如果運(yùn)算值[x]恰巧位于0.5的兩側(cè)，盡管相差很小，也會(huì)導(dǎo)致INT(x+0.5)相差1個(gè)LBS。

當(dāng)C的分辨力與LBS可比時(shí)，上述情況會(huì)出現(xiàn)。如C=1-γLSB，α=0；N=24，在離散點(diǎn)對(duì)(90°，270°)，sinnH絕對(duì)值等于1，考慮數(shù)據(jù)列(1-γLSB)sinnH，其中γ={0.5，1.5，…}，在這對(duì)離散點(diǎn)上有[x]=0.5，這是[x]嚴(yán)格等于0.5的情況。而在離散點(diǎn)對(duì)(30°，330°)和(150°，210°)，sinnH絕對(duì)值等于0.5，數(shù)據(jù)列(1-γLSB)sinnH，其中γ={1，3，…}，此時(shí)[x]很可能橫跨0.5。在這些情況下應(yīng)用式(5)，會(huì)相差1個(gè)LBS(絕對(duì)值)。

這是式(5)本身的缺陷。面臨類(lèi)似情況，可使其中的一個(gè)等于另外一個(gè)，從而使絕對(duì)值相等的數(shù)據(jù)量化之后仍然相等。

實(shí)驗(yàn)4驗(yàn)證對(duì)稱性。

式(13)中的設(shè)置值取C=0.907 8，α=5/17H，N=24，DAC的分辨率取為16 bit。其余與實(shí)驗(yàn)3相似。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。表4的結(jié)果證實(shí)了對(duì)稱性(準(zhǔn)確到2×10-11rad)及其證明中提到的中間結(jié)論，兩個(gè)數(shù)據(jù)列的基波相角絕對(duì)值相等而符號(hào)相反，量化前后都是這樣。

表4 實(shí)驗(yàn)4結(jié)果，對(duì)稱性驗(yàn)證，N=24，16 bit/DAC，C=0.907 8，α=5/17HTab.4 Results of experiment 4,verification for symmetry,with 16 bit of DAC,N=24,C=0.907 8 and α=5/17H

4 一個(gè)H周期內(nèi)相角量化誤差分布

下面進(jìn)一步研究相角量化誤差在一個(gè)H周期之內(nèi)的分布情況。

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)5以式(13)中信號(hào)y1=Csin(x+α)(余弦函數(shù)同樣實(shí)驗(yàn))為基礎(chǔ)，DAC的分辨率取為16 bit，不失一般性，取幅值C=1，將H細(xì)分10等分，分別取α=0.0H,0.1H,…,1.0H為設(shè)置初相角，分別取N=24、23、22、21。實(shí)驗(yàn)過(guò)程與實(shí)驗(yàn)3相似。實(shí)驗(yàn)5的結(jié)果表示在圖2中。

以設(shè)置初相角α與H之比為橫軸，以相角量化誤差為縱軸，將結(jié)果標(biāo)注在圖上。由于周期性，只報(bào)告了相角在一個(gè)H周期，即[0.0H,1.0H]上的分布。前述對(duì)稱性結(jié)論在圖中得到反映，如α=0.1H與α=0.9H，它們的相角量化誤差絕對(duì)值相等符號(hào)相反，其余類(lèi)推。

圖2 實(shí)驗(yàn)5結(jié)果，相角量化誤差在一個(gè)周期H內(nèi)的對(duì)稱分布，16 bit/DACFig.2 Results in experiment 5,symmetry distribution of quantization error of phase angle in one H-period,with 16 bit of DAC

圖2中，點(diǎn)與點(diǎn)之間的虛連線僅僅表示它們屬于同一種函數(shù)(正弦或余弦)；并不表示它們之間真實(shí)的分布，實(shí)際上兩點(diǎn)之間的分布不是線性的。

從圖2可見(jiàn)進(jìn)一步的特性。敘述并證明如下。

(1)初相角α=0.5H時(shí)，相角量化誤差與α=0.0H相等，且為零。

首先，當(dāng)α=0H時(shí)，相角量化誤差是0，事實(shí)上這是最早被認(rèn)識(shí)到的一個(gè)事實(shí)[5,16]。這里給出證明如下。

在第3.3節(jié)對(duì)稱性的證明中，結(jié)合周期性，可以看到，在設(shè)置初相角為0的兩側(cè)，相角量化誤差是對(duì)稱的，即絕對(duì)值相等符號(hào)相反。因此α=0.0H時(shí)，其相角量化誤差既應(yīng)為正，又應(yīng)為負(fù)；而這一點(diǎn)的量化誤差存在，因此其值必須是0(這是由對(duì)稱性而不是線性決定的)。

同樣，由于對(duì)稱性，相角量化誤差在α=0.5H兩側(cè)表現(xiàn)為絕對(duì)值相等符號(hào)相反。與上述同樣的理由，對(duì)稱性區(qū)間的中點(diǎn)，α=0.5H，其量化誤差是0。因而與α=0.0H時(shí)的相等，且兩者值均為0。

(2)N/2為偶數(shù)時(shí)，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)有相同的相角量化誤差分布。

此時(shí)N是4的倍數(shù)(如N=24，見(jiàn)圖2(a))，N/4是存在的某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的序號(hào)。根據(jù)周期性，有Csin(nH+α)=Csin(nH+NH/4+α)，其中NH/4=π /2，根據(jù)三角函數(shù)本身的性質(zhì)，有Csin(nH+ π /2+α)=Ccos(nH+α)，因此Csin(nH+α)=Ccos(nH+α)，即正弦與余弦信號(hào)有相同的相角量化誤差分布。

(3)N/2為奇數(shù)時(shí)，正弦與余弦信號(hào)相隔半個(gè)H周期有相同的相角量化誤差分布。

當(dāng)N/2是奇數(shù)時(shí)(如N=22，見(jiàn)圖2c)，(N/2+1)/2是存在的某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的序號(hào)，根據(jù)周期性有Csin(nH+α)=Csin[nH+(N/2+1)H/2+α]。其中(N/2+1)H/2=π /2+H/2。這樣，

Csin(nH+α)=Csin(nH+ π /2+H/2+α)

=-Ccos(nH+H/2+α)

上述兩個(gè)數(shù)據(jù)列，對(duì)于確定的序號(hào)n，相應(yīng)的兩個(gè)數(shù)據(jù)絕對(duì)值相等符號(hào)相反，它們的數(shù)據(jù)本身量化誤差的絕對(duì)值是一樣的[式(5)的適用性同前]；進(jìn)而從整個(gè)數(shù)據(jù)列看，絕對(duì)值相等符號(hào)相反數(shù)據(jù)的排列次序是一樣的，因此從式(7)、式(8)和式(10)可知，數(shù)據(jù)列Csin(nH+α)和數(shù)據(jù)列-Ccos(nH+H/2+α)產(chǎn)生的階梯波的基波具有相同的相角量化誤差，即僅僅符號(hào)相反對(duì)于相角量化誤差沒(méi)有影響。

這樣，Csin(nH+α)與Ccos(nH+H/2+α)有相同的相角量化誤差，即當(dāng)N/2是奇數(shù)時(shí)，正弦與余弦信號(hào)相隔半個(gè)H周期有相同的量化誤差分布。

余弦函數(shù)信號(hào)證明相似。

(4)N為奇數(shù)時(shí)，存在次周期現(xiàn)象，周期H的前一半和后一半有相同的分布。即[0H,0.5H]與[0.5H,1H]中有相同的相角量化誤差分布。

N為奇數(shù)時(shí)(如N=23、21，見(jiàn)圖2(b)、2(d))，信號(hào)周期(為NH=2 π )的中點(diǎn)(即 π )上不存在數(shù)據(jù)點(diǎn)，該信號(hào)中點(diǎn)位于兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的中間，這兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的序號(hào)是(N-1)/2和 (N+1)/2。由H周期性，知Csin(nH+α)與Csin[nH+(N-1)H/2+α]有相同的相角量化誤差。

再根據(jù)三角函數(shù)本身的固有性質(zhì)，有Csin(x+α)=-Csin(x+ π +α)。已知僅僅符號(hào)相反對(duì)于相角量化誤差沒(méi)有影響，因此兩個(gè)信號(hào)Csin(x+α)和-Csin(x+ π +α)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)列產(chǎn)生的階梯波的基波具有相同的相角量化誤差?；蛘哒f(shuō)，數(shù)據(jù)列Csin(nH+α)和Csin(nH+NH/2+α)具有相同的相角量化誤差。后者又可寫(xiě)為Csin[nH+(N-1)H/2+H/2+α)。繼續(xù)利用H周期性，知此數(shù)據(jù)列與Csin(nH+H/2+α)有相同的相角量化誤差。綜合以上，知Csin(nH+α)與Csin(nH+H/2+α)有相同的相角量化誤差。這就是周期H中前后兩個(gè)半?yún)^(qū)間存在周期性的證明。

余弦函數(shù)信號(hào)的證明相類(lèi)似。

(5)N為奇數(shù)時(shí)，半個(gè)H周期內(nèi)具有對(duì)稱性，即[0H,0,25H]與[0.25H,0,5H]中相角量化誤差絕對(duì)值相等符號(hào)相反。

與H主周期內(nèi)的對(duì)稱性證明方法類(lèi)似，將H/2次周期區(qū)間[0H,0.5H]中，后半個(gè)區(qū)間[0.25H,0.5H]等效到整個(gè)信號(hào)周期的最后，即[ (N-0.25)H,NH]，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為初相角為零這一點(diǎn)兩側(cè)區(qū)間[-0.25H,0H]與[0H,0.25H]之間的關(guān)系。具體過(guò)程略。

(6)N為奇數(shù)時(shí)，初相角α=0.25H和α=0.75H時(shí)，相角量化誤差與α=0H的相等，且為零。

與本節(jié)(1)的證明相似，由對(duì)稱性和該點(diǎn)相角量化誤差的存在性作出證明。具體過(guò)程略。

5 相角量化誤差的其他性質(zhì)

5.1 零點(diǎn)分布

從以上的實(shí)驗(yàn)與分析可以看到，正弦信號(hào)Csin(x+α)或余弦信號(hào)Ccos(x+α)，當(dāng)設(shè)置初相角α=0H時(shí)，由其產(chǎn)生的階梯波，其基波的相角量化誤差為零。稱α=0H是相角量化誤差的零點(diǎn)(以下簡(jiǎn)稱零點(diǎn))。

進(jìn)一步，由于相角量化誤差的周期性，α=1H,2H,…,(N-1)H也是零點(diǎn)。

由于相角量化誤差的對(duì)稱性，零點(diǎn)還可以是α=0.5H,1.5H,…,(N-0.5)H。

如果N是奇數(shù)，與周期性相關(guān)的零點(diǎn)還增加有α=0.5H,1.5H,…,(N-0.5)H。

如果N是奇數(shù)，與對(duì)稱性相關(guān)的零點(diǎn)增加有α=0.25H,0.75H,1.25H,1.75H,…,(N-0.25)H。

圖3是實(shí)驗(yàn)5結(jié)果之一，取N=19,DAC分辨率為18bit，顯示了3個(gè)H周期內(nèi)的零點(diǎn)分布?？梢郧逦乜吹?，從α/H=0.00開(kāi)始，每隔0.25出現(xiàn)一個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)可見(jiàn)所述的周期性及對(duì)稱性。

圖3 實(shí)驗(yàn)5結(jié)果，相角量化誤差零點(diǎn)在3個(gè)H周期內(nèi)的分布，N=19，18 bit/DAC，C=1Fig.3 Results in experiment 5,zero-point distribution of quantization error of phase angle in tree H-period,with 18 bit of DAC,N=19 and C=1

需要指出的是，這里的零點(diǎn)是階梯波的固有性質(zhì)。在表2報(bào)告的實(shí)驗(yàn)2結(jié)果中，N=24是偶數(shù)，設(shè)置初相角為0.5H，該初相角屬于具有對(duì)稱性質(zhì)的零點(diǎn)，即該處相角量化誤差應(yīng)為0 rad，可是實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，量化前后之差為-278.7803 nrad。兩者不一致的原因是，量化前后之差中不僅有相角量化誤差，還有DAC的轉(zhuǎn)換誤差，特別是還有ADC的采樣誤差。表2結(jié)果分析中指出了每個(gè)平臺(tái)值的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差小于(3～5)×10-6，所以相角存在3×10-7rad的誤差是合理的。這個(gè)解釋給文獻(xiàn)[17]中式(5)補(bǔ)償不徹底的問(wèn)題找到了原因。需要進(jìn)一步指出的是，由于不同誤差因素之間可能的抵消作用，在實(shí)際使用ADC和DAC時(shí)，不排除在非零點(diǎn)上出現(xiàn)誤差為零的情況，但不能認(rèn)為這個(gè)位置就是零點(diǎn)。

5.2 零點(diǎn)對(duì)幅值的獨(dú)立性

以上論述顯示，零點(diǎn)與原始信號(hào)幅值的大小沒(méi)有關(guān)系，即信號(hào)C1sin(x+α)與信號(hào)C2sin(x+α)有相同的零點(diǎn)，這里C1≠C2。證明如下。在4.1節(jié)關(guān)于α=0H時(shí)相角量化誤差為0的證明中，在絕對(duì)值相等的數(shù)據(jù)量化后仍然相等的假設(shè)下，幅值可為任意值；該證明所涉及的對(duì)稱性、周期性及其基礎(chǔ)的證明中，沒(méi)有對(duì)幅值有特別的限制。

圖4是實(shí)驗(yàn)5之一，取N=17,DAC分辨率為18 bit，顯示了幅值不相同時(shí)零點(diǎn)的分布?？梢钥吹?，對(duì)于不同的幅值設(shè)置，無(wú)論是正弦還是余弦，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，一個(gè)H周期內(nèi)的零點(diǎn)仍然保持在α/H=0.25、0.50、0.75和1.00處。

圖4 實(shí)驗(yàn)5結(jié)果，幅值為不同值時(shí)相角量化誤差零點(diǎn)分布， 18 bit/DAC，N=17，正弦C=0.1,余弦C=0.01Fig.4 Results in experiment 5,zero-point distribution of quantization error of phase angle for different amplitudes,with 18 bit of DAC and N=17，sine wave with C=0.1,cosine wave with C=0.01

6 應(yīng)用討論

相角量化誤差的零點(diǎn)可以用來(lái)設(shè)置原始信號(hào)的相角差，由此消除量化因素帶來(lái)的誤差影響。

設(shè)置兩個(gè)原始信號(hào)為C1sinx和C2sin(x+α)，兩者的相角差(應(yīng)滿足α=pH=2 π p/N，這里p是整數(shù)集{1,2,…,…,(N-1)}中的任一個(gè)，還可以在這個(gè)整數(shù)(含0)上加上0.5；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)整數(shù)(含0)上還允許加上0.25或0.75。

注意到p/N是有理數(shù)，對(duì)于任意指定的相角差α，總是能夠找到這樣的數(shù)p和整數(shù)N，滿足上述相角差要求，使相角的量化誤差小于指定的不確定度。至于如何從一個(gè)任意的相角差α，使其與2 π 之比成為有理數(shù)p/N，同時(shí)滿足指定的不確定度要求，這是一個(gè)已知的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

對(duì)應(yīng)某一個(gè)指定的相角差要求α，可以有多個(gè)解決方案，例如當(dāng)相角差α=π /3時(shí)，數(shù)據(jù)對(duì)(p，N)可以有(6，36)，(5，30)，(4，24)，(2.5，15)等選擇，這個(gè)自由度為其他要求的滿足提供了機(jī)會(huì)。

本文討論階梯波基波相角固有性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用中，還會(huì)出現(xiàn)其他因素的影響，如實(shí)驗(yàn)2所示的DAC轉(zhuǎn)換和ADC采樣產(chǎn)生的誤差。它們中的固定部分，即系統(tǒng)誤差，可以歸結(jié)為第5.2節(jié)中幅值的變化，對(duì)設(shè)置相角差的實(shí)現(xiàn)沒(méi)有影響；但它們中的隨機(jī)部分將產(chǎn)生誤差。為了估計(jì)隨機(jī)誤差帶來(lái)影響的規(guī)模，模擬實(shí)驗(yàn)表明，在量化后的數(shù)據(jù)列上，以相對(duì)誤差形式加某個(gè)量級(jí)的隨機(jī)數(shù)(如±5×10-6)之后，實(shí)際相角差與設(shè)定值將有偏離，偏離的程度大部分為隨機(jī)數(shù)規(guī)模的1/10(如±5×10-7rad)，少部分接近1/5(如±1×10-6rad)。這些其他因素原則上不在本文研究范圍之內(nèi)，擬另文研究。

7 結(jié) 論

采用一般DAC由數(shù)據(jù)列產(chǎn)生模擬的正弦信號(hào)，實(shí)質(zhì)上是階梯波的基波。DAC的量化過(guò)程將使此基波相角與其設(shè)置值產(chǎn)生偏差。定義量化前后數(shù)據(jù)列對(duì)應(yīng)的階梯波基波相角之差為相角量化誤差。設(shè)置相角在0至2 π 之間變化時(shí)，相角量化誤差呈現(xiàn)周期性重復(fù)現(xiàn)象，周期為離散間隔H，H=2 π /N。在一個(gè)H周期內(nèi)，相角量化誤差的分布是對(duì)稱的。這些分布中存在若干零點(diǎn)；零點(diǎn)分布是量化的，量化寬度為0.5H；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，量化寬度縮小為0.25H。當(dāng)設(shè)定相角選擇為該量化寬度的整數(shù)倍p時(shí)，可克服相角量化誤差。注意到p/N是有理數(shù)，可以在規(guī)定的不確定度下逼近任意數(shù)α/(2 π )，因此原則上任何預(yù)先要求的相角差α都能夠得到實(shí)現(xiàn)。

至于非零點(diǎn)上的相角量化誤差，對(duì)其規(guī)模的估計(jì)具有重要意義。按照本文敘述的周期性和對(duì)稱性，只需在一個(gè)零點(diǎn)量化寬度范圍內(nèi)掃描即可。本文實(shí)驗(yàn)設(shè)置了不同參數(shù)，結(jié)果可供參考。綜合實(shí)驗(yàn)2之外的所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果(特別是實(shí)驗(yàn)5)，在所選擇的參數(shù)情況下，在非零點(diǎn)上的相角量化誤差的最大值(以rad為單位)約為數(shù)據(jù)量化誤差限相對(duì)值[為(LSB/2)/C，其中C為按DAC內(nèi)置電壓標(biāo)準(zhǔn)歸一的信號(hào)幅值]的0.1～0.5。