基于深度理解 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

周美琴

【摘 要】既會充分利用教材，又會合理開發(fā)教材，應(yīng)是教師的基本能力。這不僅要求教師對概念等新授知識有自己的理解和引申，還應(yīng)對習(xí)題有深度發(fā)掘，在“調(diào)整”與“變化”中深刻理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，努力使學(xué)生成為思考領(lǐng)域的勞動者，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】深度理解 發(fā)掘教材 能力提升

小學(xué)數(shù)學(xué)教材是編寫者根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律精心編寫的。它是小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，也是實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的重要工具。教材是教師和學(xué)生的通用讀本，串聯(lián)起教師的教與學(xué)生的學(xué)，使知識授受活動變得有章可循、有據(jù)可依，具有工具性、權(quán)威性、系統(tǒng)性等特點(diǎn)。但同時(shí)，教材受眾較多，不同地區(qū)、不同性格特質(zhì)對教材有著不同的需求。因此，既會充分利用教材，又會合理開發(fā)教材，成為教師的基本能力。這不僅要求教師對概念等新授知識有自己的理解和引申，還應(yīng)對習(xí)題有深度發(fā)掘，使學(xué)生有意義、有深度地學(xué)習(xí)，努力使學(xué)生成為思考領(lǐng)域的勞動者，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、在“調(diào)整”中深度理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

教材給定的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)固然有其科學(xué)性，但是教材使用不是狹義的就事論事、照本宣科，而應(yīng)是置于學(xué)生知識發(fā)展和能力提高上的靈活使用。站在不同的視角，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況適當(dāng)調(diào)整知識呈現(xiàn)與思維線索的順序，有時(shí)能給你不一樣的驚喜。

如蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊“圓的周長”一課，按照教材的編寫順序，教學(xué)圓的周長，主要通過“猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”的線索，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、推理、推導(dǎo)等過程，有意義地獲得圓周率的意義，理解圓周長的計(jì)算方法。那么，基于學(xué)生的實(shí)際情況，在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面，看哪些地方值得我們向更深層處發(fā)掘呢？圓周率得出的過程顯然有更深的研究價(jià)值。

深度理解、發(fā)掘教材，站在學(xué)生的立場，圓周率的得出具有高度的抽象性、概括性和微觀性。這就決定了圓周率的得出不只是靠教師“講”出來的，而是學(xué)生可以通過探究體驗(yàn)和理解，加以證據(jù)推理、思考建構(gòu)出來的。作為引導(dǎo)者，有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行謹(jǐn)慎的推理和嚴(yán)密的驗(yàn)證，讓推理論證過程更主動、更有說服力，驅(qū)動學(xué)生對“圓周率”這一知識的形成過程理解和記憶更深刻。帶著這樣的思考與嘗試，筆者對本課進(jìn)行了調(diào)整實(shí)踐。

調(diào)整后的教學(xué)把核心定在了學(xué)生的突出需求上——“怎樣推理驗(yàn)證圓周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系”，調(diào)整后的設(shè)計(jì)著重帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷祖先們研究圓周率的精彩過程，而這個(gè)過程需要引入學(xué)生比較熟悉的圖形來幫助他們有邏輯性而全面地進(jìn)行論證，逐步縮小倍數(shù)的范圍。調(diào)整后的教學(xué)把選擇權(quán)交給學(xué)生，選擇什么樣的圖形與圓對比、排除哪一種倍數(shù)關(guān)系，這都由學(xué)生自主完成。經(jīng)過“內(nèi)部、外部、內(nèi)外夾擊”一系列直觀的感知、理性的推理、嚴(yán)密的論證，學(xué)生的思維駛向了更深處：圓周長與直徑的倍數(shù)關(guān)系范圍會更小，最終會到達(dá)一個(gè)準(zhǔn)確的倍數(shù)關(guān)系，那就是“π”。至此，圓周率的得出水到渠成，而“周三徑一”“割圓術(shù)”等數(shù)學(xué)文化的滲透也是無痕而深刻的。

發(fā)掘概念得出的深度，可以更進(jìn)一步關(guān)注到知識的內(nèi)在形成過程，遵循兒童認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維，而不僅僅停留在“知道”這一層面。這樣的過程帶給學(xué)生的是思維的深入和嚴(yán)謹(jǐn)，體會到的是數(shù)學(xué)的理性和美妙，對探究數(shù)學(xué)知識、解決實(shí)際問題、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是非常有意義的。

二、在“變化”中深刻理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在教材中占有很大的比重，它不僅是學(xué)生掌握基本知識和基本技能訓(xùn)練、鞏固、提升的載體，更是對零碎的數(shù)學(xué)知識的歸納和延展，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。作為教師，需要在教材習(xí)題的運(yùn)用上動心思、尋創(chuàng)新，需要創(chuàng)造性地開發(fā)并利用好教材的習(xí)題，在領(lǐng)會教材習(xí)題編寫意圖的同時(shí)，適當(dāng)?shù)貙α?xí)題進(jìn)行合理的改編，或以本源習(xí)題為參照進(jìn)行合理創(chuàng)編，使本源習(xí)題煥發(fā)出新的生命力。

（一）讀題千遍不厭倦——讀懂教材習(xí)題的內(nèi)涵與外延

教材的一般編排，新授內(nèi)容與隨堂練習(xí)的比例約為1∶1，再加上一些整理復(fù)習(xí)的練習(xí)，從篇幅來講，練習(xí)會占到55%～60%，因此，讀懂教材中的練習(xí)，理清教材習(xí)題的價(jià)值功能非常重要。我們一般應(yīng)該將教材中的習(xí)題都做一遍，不僅僅是做出答案，更要重視理清教材的編寫意圖，琢磨習(xí)題中蘊(yùn)涵的解決問題的策略和數(shù)學(xué)思想方法，還要連貫地來看前后習(xí)題之間的聯(lián)系，哪些習(xí)題是哪道題的變式題，它變在哪兒;哪些習(xí)題是哪道題的拓展延伸題，拓展的點(diǎn)又是什么。很多有經(jīng)驗(yàn)的教師通常會這樣做——在習(xí)題旁把這道題的答案標(biāo)注出來，講解這道題的幾種解題方法;或者在原題附近寫下類型相似的補(bǔ)充題進(jìn)行對比練習(xí);或者把原題的數(shù)據(jù)改一改，強(qiáng)化這道題的解題方法。

最應(yīng)該做的是提取這道題的主要解題策略，展開遷移，進(jìn)行拓展、延伸、變式，或者根據(jù)前后幾道題的對比，對同一個(gè)類型的題進(jìn)行對比整理、系統(tǒng)總結(jié)，讓學(xué)生把分散的知識點(diǎn)串聯(lián)成線，提高學(xué)生從會解一道題到會解一類題的能力。以六年級下冊“圓柱與圓錐”這個(gè)單元為例：圓柱的三維視圖與側(cè)面展開圖有什么區(qū)別？把圓柱的側(cè)面剪開，會得到什么圖形？它們與圓柱各有什么聯(lián)系？與其相對比，用長方形的紙圍成一個(gè)圓柱，長方形紙與圓柱又有什么聯(lián)系？

基本上每一個(gè)單元結(jié)束時(shí)，都需要運(yùn)用對比的手段，幫助學(xué)生把一些書本的基礎(chǔ)知識進(jìn)行歸納整理和鞏固提升，以提高學(xué)生整理歸納的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維。例如，學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘法以后，有這樣一道思考題：

這是由五年級課本上的思考題進(jìn)行延伸的一道題，單看題目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉例驗(yàn)證、運(yùn)用規(guī)律似乎并不難，但這道題的改編與創(chuàng)編其實(shí)非常豐富，如可以把連加改成連減，雙數(shù)改成單數(shù)，呈現(xiàn)的形式也可以發(fā)生變化。這一系列的改編與創(chuàng)編都是牢牢抓住了這道題最基本的規(guī)律和方法來進(jìn)行發(fā)散和拓展的。

（二）掀起題的“蓋頭”來——重視教材習(xí)題的開發(fā)和延伸

在教學(xué)過程中，教師們常會忽視教材中“動手做”板塊的深度思考，或是蜻蜓點(diǎn)水般地點(diǎn)到為止，或是壓根就忽略不講。如果真正深入地去研究“動手做”內(nèi)容，就會發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的知識量讓人驚訝。比如蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊第83頁的“動手做”（見下圖）：

初看這題，舉個(gè)例子—初步猜想—多方驗(yàn)證—得出結(jié)論這樣一個(gè)常規(guī)的路線是教師的首選，有啥更值得研究的呢？但是，當(dāng)和學(xué)生一起研究這道題的方法時(shí)，會發(fā)現(xiàn)方法豐富多樣且各有優(yōu)劣：

1.畫圖法直觀但局限

如果是長（或?qū)挘┎蛔儯瑢挘ɑ蜷L）增加或減少，或者是長和寬同時(shí)在增加或減少，畫圖的方法也會非常具象，比如上述題目的前一個(gè)問題，用畫圖的方法一目了然。但如果是長（或?qū)挘┰黾?，寬（或長）減少，畫圖的方法對于學(xué)生來說就有些困難了，而且，相對于其他方法來說，畫圖法也比較費(fèi)時(shí)。

2.列舉法具體但煩瑣

一個(gè)例子解決一個(gè)問題，換一個(gè)問題需要重新舉一個(gè)例子，但如果把題中的數(shù)據(jù)改一改，就得重新再進(jìn)行列舉，才能得到結(jié)果。這樣的論證過程具體但煩瑣。

3.推理法思維含量高且使用范圍廣

用字母a、b表示長方形原來的長與寬，可以得到如下式子：

學(xué)生有了多次運(yùn)用這種方法的經(jīng)驗(yàn)后會發(fā)現(xiàn)，只要是求新長方形的面積是原來長方形面積的幾分之幾，只需要用（1+）×（1+）即可。

各種方法的較量，正是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密論證意識、提升思維能力的最佳途徑。比較、歸納等方法的滲透，思維的碰撞，會讓學(xué)生熱血沸騰，從而更深入地研究。不難發(fā)現(xiàn)，它其實(shí)與積的變化規(guī)律的本質(zhì)是一樣的：

找到這樣的一條主線，就從一道題發(fā)散到了一類題，甚至可以打破知識板塊之間的壁壘，延伸到常用的數(shù)量關(guān)系里去，延伸到實(shí)際的解決問題里去。

看，從如何引入，找到這道題主要知識的生長點(diǎn)，到這道題的講解層次，最后到變式的梯度、拓展的深度，方方面面細(xì)致考慮，一道“動手做”的題多么富有研究的價(jià)值呀！而且，對“動手做”內(nèi)容的研究，也會為我們改編和創(chuàng)編命題提供非常好的素材。

教材給我們提供了明確的主題，它也給教師提供了一種提綱挈領(lǐng)似的宏觀視角，而教師應(yīng)該通過深入研究、深度理解、大膽實(shí)踐，盡可能地把教材中較為“隱性”的知識凸顯出來，尤其是隱含的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，從而幫助學(xué)生更好地發(fā)展數(shù)學(xué)思維，也能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的價(jià)值功能，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

沈重予，王林.小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容分析與教學(xué)指導(dǎo)[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.