圓外切四邊形涉及旁切圓的一個(gè)性質(zhì)

江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校 (221300) 胡 穎江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)工業(yè)技術(shù)學(xué)校 (215000) 胡甲維

圓外切四邊形有許多優(yōu)美的性質(zhì)，本文給出的是與它內(nèi)切圓和四個(gè)旁切圓相關(guān)的一個(gè)性質(zhì).

圖1

如圖1所示，圓外切四邊形ABCD，與四邊形的一邊及它的兩條相鄰邊的延長(zhǎng)線(xiàn)都相切的圓稱(chēng)為四邊形的一個(gè)旁切圓，共有四個(gè)旁切圓.旁切圓的三個(gè)切點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)為這個(gè)旁切圓的切點(diǎn)三角形.四邊形的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)構(gòu)成的四邊形稱(chēng)為切點(diǎn)四邊形.設(shè)四個(gè)旁切圓半徑依次是r1，r2，r3，r4，相對(duì)應(yīng)的四個(gè)切點(diǎn)三角形面積依次為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切圓半徑為r，切點(diǎn)四邊形面積為S，則有如下性質(zhì)：

為了證明上面這個(gè)性質(zhì)，首先證明一個(gè)引理.

圖2

圖3

為了證明上面的引理，先給出并證明下面幾個(gè)結(jié)論.

結(jié)論1 如圖3，兩個(gè)切點(diǎn)三角形分別是△DEF和△GHK，則有∠EDF+∠HGK=180°.當(dāng)然也有sin∠EDF=sin∠HGK.

圖4

結(jié)論3O1B·O1C=O1O2·r1，

O2B·O2C=O1O2·r2.

圖5

證明：如圖5，不難看出O1，B，O2，C四點(diǎn)共圓，則∠O1O2C=∠O1BD，由此得O1B·O1C=O1B·O1O2·sin∠O1O2C=O1O2·O1B·sin∠O1BD=O1O2·O1D=O1O2·r1，同理可證O2B·O2C=O1O2·r2.

有了上面的引理，證明本文的性質(zhì)就容易了.我們分兩種情形來(lái)說(shuō)明.

情形1：圓外切四邊形的兩組對(duì)邊分別交于一點(diǎn).

圖6

情形2：圓外切四邊形的兩組對(duì)邊有一組對(duì)邊平行或兩組對(duì)邊分別平行.

圖7