談“三角函數(shù)的概念”教學
——比較新舊人教版教科書中“三角函數(shù)的概念”的引入方法

廣東省深圳市龍崗區(qū)橫崗高級中學(518115)梅鋒

近來,根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準(2017年)版》編寫的新人教版《普通高中教科書·數(shù)學》在包括廣東省在內的全國多省市推廣使用.新的教科書,無論從知識體系的編排,還是具體到個別概念的引入,都與之前的教科書有了很大的變化.

如何體現(xiàn)新課程標準的理念,在實際教學中提高學生的數(shù)學素養(yǎng),是我們每一節(jié)課上課前都必須深入思考的問題.手握著新的教科書,我們該如何科學使用它來為我們的教學服務,面對著剛剛入學的高一新生,我們該如何引導他們在已有的學習經驗的基礎上進一步學習和研究數(shù)學,對我們來說是一個全新的課題.

在數(shù)學教學中,每一個新概念的引入,都是繼續(xù)學習相關知識的基礎.所以,概念教學就顯得尤為重要[1].有些數(shù)學概念,如果引入的方法不恰當,學生理解和掌握起來非常困難,就會對后續(xù)知識的學習造成無可挽回的損失.這就要求我們在教學中要慎重對待每一個基本概念的引入和講授,要以學生為本,從學生的實際出發(fā),在學生已有的知識架構上進行建構,用符合他們的認知規(guī)律的方法來進行教學.

以三角函數(shù)的概念為例,三角函數(shù)的定義是后續(xù)學習三角函數(shù)相關知識的基礎,但三角函數(shù)的定義卻不容易被學生理解和掌握.如何讓他們在初中已經學過銳角三角函數(shù)的基礎上以全新視角來理解任意角的三角函數(shù),需要有一個合適的思維銜接.在這部分知識的處理上,新舊兩版教科書體現(xiàn)了各自不同的特點.舊版突出了舊知識往新知識的過渡[2],由初中的銳角三角函數(shù)是“比值”上升到任意角的三角函數(shù)是單位圓上“點的坐標”,再分析三角函數(shù)的函數(shù)本質;新版體現(xiàn)了知識的探究和生成過程[3],先著重強調函數(shù)的本質是一種“對應關系”,再給出三角函數(shù)的定義.

比較新舊兩版人教版教科書,在三角函數(shù)的概念的呈現(xiàn)上,各有千秋.

1 舊版編排內容及特色

以問題出發(fā),引導學生復習回顧初中所學的銳角三角函數(shù)的定義,以此為基礎來探究直角坐標系中角的終邊上的點的坐標與銳角三角函數(shù)的關系,任務指向非常明確,操作流程清楚,學生根據(jù)已有知識來探究非常容易上手,運用數(shù)形結合法,根據(jù)圖形容易推理出相關結論.

圖1

接著進一步根據(jù)學生已有的相似三角形的知識,使學生明白角的終邊上的點(除頂點外)無論位置如何變化,三個三角函數(shù)的值都不會改變.運用從一般到特殊的方法,引出單位圓概念,進而實現(xiàn)在單位圓上定義三角函數(shù)的目的.

圖2

至此,已經讓學生知道,除了之前所學的直角三角形定義法,銳角三角函數(shù)還可以用角的終邊在單位圓上的點的坐標來定義,為任意角的三角函數(shù)的定義的提出打下思想基礎,接下來給出任意角的三角函數(shù)的定義就順理成章了.

最后,在給出任意角三角函數(shù)的定義之后,回扣“函數(shù)”的概念,明確了三角函數(shù)定義與三角函數(shù)概念之間的關系,消除學生容易產生的誤解.指出三角函數(shù)的本質是角的集合與實數(shù)集之間的一一對應關系,三角函數(shù)就是角的函數(shù),三角函數(shù)的值并不是由終邊上點的坐標來決定,而是由角的大小來決定,只是為了方便,我們借由角終邊上的點的坐標來表示三角函數(shù)的值.

筆者認為,這樣的編排方法,至少有以下幾個優(yōu)點:(1)圖文并茂,形象直觀,易于學生理解和掌握;(2)溫故知新,銜接緊密,從學生實際出發(fā);(3)精巧設問,循循善誘,注重數(shù)學研究方法的滲透;(4)過渡自然,環(huán)環(huán)緊扣,體現(xiàn)了數(shù)學邏輯的嚴密性.

2 新舊版教科書編排方式對比

我們通過下表對新舊版教科書的三角函數(shù)內容進行比較.

舊版新版內容呈現(xiàn)方式特點呈現(xiàn)方式特點導入問題導入:你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎?從已有的知識出發(fā)問題導入:如何建立數(shù)學模型,刻畫單位圓上的點P 的位置變化?單刀直入,引導探究知識探究銳角三角函數(shù)的比值定義→坐標定義;角終邊上任意的點→單位圓上的點;銳角→任意角.體現(xiàn)從特殊到一般和從一般到特殊的思想,無具體實例,高度抽象設計三個特殊的角,讓學生探究,發(fā)現(xiàn)角能唯一確定它的終邊與單位圓的交點的坐標,體現(xiàn)函數(shù)思想.探究實例,形象具體定義提出先給出正弦、余弦、正切等名稱,回避函數(shù)概念.形式統(tǒng)一,避開模糊地帶直接給出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義;對于正切先給名稱,以示與正切函數(shù)定義區(qū)分.考慮細致,用語精確,注意細微差別定義解讀考慮終邊的特殊位置,對正切做特別說明.思維嚴謹,關注特殊考慮終邊的特殊位置,對正切做特別說明,再提出正切函數(shù)的定義.關注特殊,消除思維誤區(qū)形成概念揭示本質:正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù).從定義到概念,從內涵到外延在前述的基礎上直接給出三角函數(shù)概念;通過設置探究問題,將銳角三角函數(shù)與任意角的三角函數(shù)統(tǒng)一起來.順理成章,水到渠成例題設置例1 直接運用定義求解;例2 先要運用轉化思想,再用定義求解.且在例2 后設置思考題,引導學生探究已知角終邊上任意一點的坐標,如何求三角函數(shù)值.由易到難,階梯上升,拓展課外例1 直接運用定義求解;例2 先給出結論,要求學生證明已知角終邊上任意一點的坐標,可得三角函數(shù)值的比值公式.具體到抽象,重要結論問題化習題設置3 道習題,其一考查用定義法求三角函數(shù)的值,其一考查用比值法求三角函數(shù)的值,其一要求學生計算并記憶特殊角的三角函數(shù)的值鞏固知識,考查全面4 道習題,前3 題與舊版基本相同,增加一道應用題,考查學生運用三角函數(shù)模型解決實際問題的能力鞏固知識,強調應用

3 新版編排內容及特色

同樣是從問題出發(fā),對于本章前言部分里所提出的如何刻畫做圓周運動的點P的位置變化的問題,運用從特殊到一般的思想,直接提出先研究單位圓上點的運動.

接著引導學生利用直角坐標系來研究以原點為圓心的單位圓上點P的坐標與它對應的角α之間的關系.為了便于學生研究,設置了探究環(huán)節(jié),明確提出了探究的目的,讓學生初步感受角α可以唯一確定點P的坐標,逐步形成函數(shù)概念.在設置探究項目時,特別選取了來讓學生探究,這幾個角各具代表性,又是常見的和和學生熟悉的,容易上手,再次體現(xiàn)了從特殊到一般的思想.由給定的特殊角來確定點P的坐標,書中給出了具體的方法為運用勾股定理,有了方法指導,學生探究起來就可以得心應手,這樣設置貼合學生的實際,降低了探究的起點,容易激發(fā)學生的學習熱情.

對特殊角進行研究,揭示了角α的終邊與單位圓交點P的坐標與角α之間的對應關系之后,三角函數(shù)的概念就呼之欲出了,接下來給出三角函數(shù)的定義就水到渠成,然后書中直接給出了三角函數(shù)的定義.但是在定義正切函數(shù)時,為了突出點P的縱坐標與橫坐標之比即時無意義,先行給出了“正切”的定義,仔細分析之后再給出正切函數(shù)的定義.

在給出三角函數(shù)的定義之后,又一次設置探究環(huán)節(jié).通過探究,使學生明確雖然定義方法不同,初中所學的銳角三角函數(shù)的定義與現(xiàn)在給出的任意角的三角函數(shù)的定義是統(tǒng)一的.這里體現(xiàn)了從一般到特殊的思想,體現(xiàn)了數(shù)學定義的有機統(tǒng)一性.

最后,在例題的設置上,特別注意到用問題來說明,三角函數(shù)除了利用單位圓上的點P的坐標來定義,還可以用角α的終邊上的任意一點(除原點外)P的坐標來定義.消除了學生的思維誤區(qū),擴展了求任意角的三角函數(shù)值的思維,這里運用了從特殊到一般的思想.

新版的布局,也體現(xiàn)了獨有的特色,優(yōu)點也不少:1.前后呼應,解除疑惑,從學生近期學習的內容和遇到的問題出發(fā);2.突出探究,鼓勵動手,讓學生在探究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,體會數(shù)學研究的樂趣;3.特殊出發(fā),回歸一般,注重基本數(shù)學思想的滲透;4.精心設題,拓展思維,讓學生體會做題后反思提升的必要.

4 教科書使用方法探索

筆者曾嘗試分別嚴格運用新舊兩版教科書的編排順序來推進課堂教學.

相較之下,用舊版來教學,教學進程推進更加順利.學生從銳角三角函數(shù)的直角三角形定義出發(fā),過渡到銳角三角形的角終邊上點的坐標定義,再到單位圓的引入,再到任意角的三角函數(shù)的定義的給出,層層推進,思維順暢.但學生能自主探究的部分不多,需要老師不斷引導.學生缺少了參與知識的生成過程,缺乏體驗感和成功的喜悅,課堂總體比較沉悶.

用新版來教學,教學進程推進會時而受阻.課開始不久,就迅速進入了探索環(huán)節(jié),在引導學生運用勾股定理求三種情況下點P的坐標時,不少學生遇到了困難,很多同學不記得有一個角是的直角三角形的三邊之間的長度關系.最快求出坐標的同學,基本上都是運用了初中學過的銳角的三角函數(shù)的定義.隨后直接給出了任意角的三角函數(shù)的定義,有些突兀,感覺過渡不自然.而后面的探究銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義的關系,因為沒有具體給出探究方法,起初學生不知所云,無從下手,而后當學生知道了運用構造直角三角形來驗證后,又感覺有些多余,學生基本上無事可干.此外,筆者覺得例2 需要證明的三個結論,讓學生自主證明有些勉為其難.這三個結論是該作為任意角三角函數(shù)的定義的延伸,從單位圓上的點擴展到終邊上任意一點(除原點外)來講解,還是作為例題來供學生研究,值得商榷.雖然課堂推進遇到了一些困難,但學生參與探究的熱情空前高漲,不少探究成功的學生所體現(xiàn)出的自豪感無以言表,這說明我們在課堂上要給學生更多展示自我的機會.

5 反思和改進建議

我們要把新舊兩版教科書的優(yōu)點結合起來,更好地進行課堂教學.既要兼顧知識的連貫性,也要兼顧學生的參與率,除了不為本是從,照本宣科,要靈活運用教科書,還要從學生實際出發(fā),精心設計教學的每一個環(huán)節(jié).

根據(jù)建構主義學習理論,本節(jié)內容的編排,應該繼續(xù)堅持從學生已有的知識和經驗出發(fā).例如舊版從銳角三角函數(shù)的定義入手,更加貼合學生的實際,逐層推進,從特殊到一般,符合學生認識規(guī)律.要合理設置一些探究項目,使學生參與到知識的生成過程中來.在設置探究項目時,目的要明確,方法要具體,操作性要強.例如新版設置了探究單位圓上點的坐標與點所在終邊的角的關系,探究目的和方法都非常明確.

對于教科書的使用者,我們不要拘泥于書的內容來推進教學,可以適當調整教學內容和順序,甚至增繁就簡.對于教科書的編者,本節(jié)內容的編排,筆者有一些不成熟的見解,基于舊版,進行一些微調,或許更加有利于教學:

首先，在給出單位圓的定義之后,任意角的三角函數(shù)定義之前,設置探究項目.探究1:用銳角三角函數(shù)的知識,求出和的三個三角函數(shù)的值,看它們與角終邊上且在單位圓上的點P的坐標有何關系?求出和的終邊上且在單位圓上的點P的坐標,你能類似地得出幾組等量關系嗎?

其次，在任意角的三角函數(shù)定義之后,設置探究項目.探究2:在的終邊上取一點P,使得OP=2,運用銳角三角函數(shù)的知識,求出P點的坐標,橫、縱坐標分別除以2后的值與的三角函數(shù)的值有何關系?在的終邊上取一點P,使得OP=r,運用銳角三角函數(shù)的知識,用含r的式子表示P點的坐標,橫、縱坐標分別除以r后的值與的三角函數(shù)的值有何關系?

在探究2 之后,給出結論:三角函數(shù)的值不會隨著點P的位置的改變而改變,三角函數(shù)的值由角的大小來決定,所以三角函數(shù)是角的函數(shù).只要知道角α終邊上任意一點P的坐標(x,y),就可以求出角α的三個三角函數(shù)的值.

為了更好體現(xiàn)三角函數(shù)與單位圓上P點橫、縱坐標的對應關系,將書中出現(xiàn)的三種三角函數(shù)的順序調整為先余弦,后正弦,再正切.