問題驅動,追問促深
——“高中視角下的十字相乘法”的課堂實錄與思考

廣東省廣州市番禺區(qū)實驗中學(511400)劉政彪

1 “問題驅動,追問促深”教學模式

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出:基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學的本質,創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題,引發(fā)學生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)[1].問題驅動教學是指教師要挖掘知識產(chǎn)生背后的真實問題,結合學生的實際創(chuàng)設真實有效的問題情境,將問題融入情境讓學生在探究活動中自然生成概念、性質、法則等,并獲得相應的思想與方法[2].問題追問,是在原問題問答境域中的“再對話”,是對當前學生理解的再深入,是對問題本質的再接近,是對知識意蘊的再挖掘[3].深度學習基于認知與情感整合的視角,指向學生的主動參與學習,對接學生核心素養(yǎng)體系中的學會學習,以培養(yǎng)學生的高階思維與問題解決為主,強調學習的情感投入與知識的構建[4].

“問題驅動,追問促深”教學模式是以教學內容為依據(jù),以情境問題為引領,以學生探究為中心,以問題追問為抓手的基于新課標理念的教學模式.有效的問題設計可以激活學生對學習內容探究的主動性和積極性,可以打開學生的思維空間,培養(yǎng)學生的思維能力.有效的問題追問可以促進學生的深度學習和素養(yǎng)發(fā)展,可以化抽象為具體,化模糊為精準,讓推理更自然.學生在問題的引領下,學會自主學習、探究合作,主動地運用知識和方法解決問題、收獲新知.

2 十字相乘法的內容與地位

把一個整式寫成幾個整式的乘積,稱為因式分解.初中階段常見的因式分解方法有提取公因式法,乘法公式法(平方差公式和完全平方公式),分組分解法,求根公式法和十字相乘法.

十字相乘法適用x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解:先分解二次項,分別寫在十字交叉線左上角和左下角;再分解常數(shù)項,分別寫在十字交叉線右上角和右下角;然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項系數(shù);每行對應二次三項式分解后的一個因式.十字相乘法的本質是多項式乘法法則的逆運算,將等式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq兩邊對調,便得到十字相乘法的運算法則x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

初中階段因式分解的教學重點是求根公式法,因為用求根公式法分解因式是通性通法,思路簡單,絕大多數(shù)高一新生更愿意、更擅長運用求根公式法解一元二次方程.十字相乘法適用范圍相對較窄,而且配湊過程對思維要求較高,所以作為閱讀材料引入北師大版初中數(shù)學教材.然而運用十字相乘法分解因式在討論二次函數(shù),解一元二次方程和一元二次不等式等方面舉足輕重.高中階段對學生運用十字相乘法能力要求的突然拔高和學生不夠扎實的基礎嚴重影響了“二次函數(shù)與一元二次不等式”的教學效果,因此有必要設置十字相乘法的銜接課程.由于大部分學生在初中階段學習過十字相乘法,高中階段要求掌握首項系數(shù)不是1 的二次三項式的因式分解和初高中階段學習方法有較大差異等因素的影響,課程內容應該對初中知識進行梳理和加深.除了教學內容的銜接,教學方法也有必要進行銜接.學生可以通過對比初、高中視角下十字相乘法教學的差異,進一步了解初、高中數(shù)學教與學的方法的變化,幫助學生盡快調整和適應高中階段的數(shù)學學習.

3 教學目標與教學重難點

3.1 教學目標

(1)理解十字相乘法的操作過程與運算本質;

(2)學會運用十字相乘法解首項系數(shù)不是1 的一元二次方程;

(3)了解十字相乘法的應用范圍及拓寬數(shù)學視野.

(4)進一步了解初、高中數(shù)學教學與學習方法的差異,盡快做好調整和適應.

3.2 教學重點和難點

(1)教學重點:探索十字相乘法的運算本質及運用其解首項系數(shù)不是1 的一元二次方程;

(2)教學難點:十字相乘法運算本質的探索與發(fā)現(xiàn).

4 “高中視角下的十字相乘法——以解一元二次方程為例”的課堂實錄

追問:對比以上三種解法,你覺得哪種解法最優(yōu)?為什么?

學生4:求根公式法最優(yōu),因為只要將系數(shù)代入公式就可以求出根來,就是計算麻煩一點.

學生5:我覺得十字相乘法最優(yōu),操作方便,計算量少(很多同學連聲附和).

追問:有沒有同學覺得配方法好?

學生6:配方法計算量太大了,容易算錯,用配方法得到的結果就是求根公式的結果.

追問:用十字相乘法解一元二次方程真有那么大的優(yōu)勢嗎?我們繼續(xù)嘗試.

問題2關于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0有一根小于1,請選擇合適的方法求出k的取值范圍.

學生7:用十字相乘法,二次項x2分解為x·x,常數(shù)項2k+2=2(k+1)分解為(-2)·[-(k+1)],根據(jù)十字相乘法可知,原方程可以因式分解為(x-2)[x-(k+1)]=0,解得x=2 或x=k+1,所以k+1＜1,k ＜0.

追問:要不要試一下其他兩種方法?

學生8:不用了,其他兩種方法計算量太大了.

教師:既然十字相乘法這么好用,我們要好好研究一下.

問題3用十字相乘法解出方程x2+4x-12=0,并說明十字相乘法是什么?

學生9:二次項x2分解為x· x,常數(shù)項-12 分解為(-2)·6,記為,交叉相乘再相加等于一次項,所以方程可以因式分解為(x-2)(x+6)=0,這種方法就是十字相乘法.

追問:運用十字相乘法分解因式時,具體如何操作?

學生10:先分解二次項并分別寫在左上角和左下角,再分解常數(shù)項并分別寫在右上角和右下角,如果交叉相乘再相加的結果等于一次項,那么每行對應方程分解后的一個因式.

教師:從一般的角度看,因為二次項是x2,所以分解為x·x,假設常數(shù)項是pq且分解為p·q,記為,交叉相乘再相加等于(p+q)x,(p+q)x是方程的一次項,所以方程x2+(p+q)x+pq=0 可以因式分解為(x+p)(x+q)=0.

問題4十字相乘法是怎么想到的?

追問:為什么要分解二次項和常數(shù)項?為什么要交叉相乘再相加并判斷相加后的結果是否等于一次項?這些操作的依據(jù)是什么?

學生11:例如方程(x-2)(x+6)=0,左邊按照多項式乘法法則展開時,從左到右依次為x·x、x·6、(-2)·x、(-2)·6,一次項為x·6+(-2)·x,恰好對應了十字相乘法中首末項的分解和交叉相乘再相加等于一次項的操作.

追問:對于(x+p)(x+q)=0,也有這種規(guī)律嗎?大家動手確認一下.

追問:我們通過多項式的乘法法則確認了十字相乘法的操作依據(jù),你覺得十字相乘法分解因式的本質是什么?

學生12:是多項式乘法的逆運算,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

問題5十字相乘法可以解二次項系數(shù)不是1 的一元二次方程嗎?

學生13:可以,剛才已經(jīng)用十字相乘法解出了方程5x2+107x+140=0.

追問:你怎么知道剛才分解的結果是正確的?我們初中只學過用十字相乘法因式分解二次項系數(shù)是1 的二次三項式.

學生14:將因式分解后的式子展開,看是否與原來的式子相同.展開(x+20)(5x+7)=0 得到x·5x+x·7+20·5x+20·7=0,所以十字相乘法可以解二次項系數(shù)不是1 的一元二次方程.

追問:那只能說明十字相乘法可以解這個方程,換個方程還能用嗎?例如2x2-7x+3=0.

學生15:二次項2x2分解為x·2x,常數(shù)項3 分解為(-3)·(-1),記為,交叉相乘再相加等于一次項-7x,所以方程可以因式分解為(x-3)(2x-1)=0,展開(x-3)(2x-1)=0 后可以得到2x2-7x+3=0.

追問:通過這兩個例子,能說明十字相乘法可以解二次項系數(shù)不是1 的一元二次方程嗎?

學生16:要看這一類問題是否都能用.

追問:對于二次項系數(shù)不是1 的這類一元二次方程,如果能用十字相乘法因式分解,應該會分解成什么樣子?

學生17:(ax+b)(cx+d)=0.

追問:它是由哪個一元二次方程分解出來的?

學生18:將(ax+b)(cx+d)=0 展開得到acx2+(ad+bc)x+bd=0,所以acx2+(ad+bc)+bd=(ax+b)(cx+d),可以用十字相乘法表示:.

教師:依據(jù)多項式乘法的逆運算,我們知道了二項式系數(shù)不是1 的一元二次方程依然可以用十字相乘法求解.請運用十字相乘法解下列方程:

(1)x2-3x-4=0;(2)x2-9=0;

(3)x2-6x+9=0;(4)x2-(2k+1)x+k2+k=0;

(5)2x2-x-3=0;(6)-3x2-4x+4=0;

(7)ax2+(a2-1)x-a=0;(8)a3x2+(2a-a2)x-2=0.

問題6在前面的探究過程中我們發(fā)現(xiàn),十字相乘法在因式分解時具有較大的優(yōu)勢,那是不是意味著十字相乘法可以解所有的一元二次方程?

教師:請解出下列方程并嘗試回答問題:(1)x2+6x+10=0;(2)3x2-6x+2=0.

學生19:方程(1)因為沒有根所以無法因式分解,更不能用十字相乘法因式分解;方程(2)無法將首末項分解成滿足“交叉相乘再相加等于一次項”的情況,不能用十字相乘法,但可以用配方法或者求根公式法求解.

追問:什么樣的一元二次方程可以用十字相乘法因式分解求解?

學生20:具有acx2+(ad+bc)x+bd=0 的形狀.

問題7:十字相乘法除了能因式分解二次三項式,還有其它的應用嗎?

學生21:應該可以解二次以上的多項式.

追問:這個一元四次方程x4-5x2+4=0 可以用十字相乘法解嗎?

學生22:x4-5x2+4=(x2-1)(x2-4)=0,x=±1或者x=±2.

追問:這個二元二次方程6xy-3y+8x-4=0 可以用十字相乘法解嗎?

學生23:6xy-3y+8x-4=(2x-1)(3y+4)=0,或者.

追問:為什么這兩個方程都能用十字相乘法因式分解?

學生24:把等式左右兩邊的式子對調位置,(x2-1)(x2-4)=x4-5x2+4,(2x-1)(3y+4)=6xy-3y+8x-4.

學生25:多項式乘法法則的逆運算.

5 課堂小結

(1)十字相乘法的本質是多項式乘法法則的逆運算,可以因式分解形如“acx2+(ad+bc)x+bd”的多項式,而且有較大優(yōu)勢.

(2)十字相乘法因式分解的操作過程為:先分解二次項并分別寫在左上角和左下角,再分解常數(shù)項并分別寫在右上角和右下角,如果交叉相乘再相加的結果等于一次項,那么每行對應方程分解后的一個因式.

(3)十字相乘法不局限于因式分解二次三項式.

6 教學反思

數(shù)學教學的本質是幫助學生解決“是什么?為什么?變成什么”的問題,這也是基于核心素養(yǎng)的課堂教學所倡導的,符合人類認識客觀世界的規(guī)律.本節(jié)課通過七個問題的引領、多個追問的逼近、學生的自主探索和師生的良好互動,幫助學生理解和掌握三大重點內容:“什么是十字相乘法?十字相乘法是怎樣來的?十字相乘法有哪些應用?”十字相乘法應用了兩個多項式乘法運算的逆運算,這種運算不局限于二次三項式的因式分解,作為基本運算規(guī)律,它應該有更廣闊、更多樣的應用,這也體現(xiàn)了知識的根本性:越是根本的知識,應用范圍就越廣.“問渠哪得清如許,為有源頭活水來”,只有學生真正了解知識的來龍去脈,才能更好的應用知識和發(fā)展素養(yǎng).

數(shù)學擅長把復雜的問題簡單化,把有規(guī)律的問題概括化,把本質相同的問題抽象化.十字相乘法就是一種被概括、抽象后得到的方法,它能把復雜的因式分解問題簡單化(包括含參數(shù)的情況).但只能對其適用的問題起到簡單化的作用,如果方程沒有根,或者不容易識別出根的情況,則需要考慮求根公式法等其它方法.因此數(shù)學方法具有適用范圍,方法的優(yōu)劣因問題而異,學生可以通過這節(jié)課意識到“不但要學習數(shù)學工具,更要靈活應用數(shù)學工具”,現(xiàn)實生活中解決問題的過程何嘗不是如此.

由于初中階段學生知識和能力的不足,教師對十字相乘法的教學缺乏探究性的引導、本質性的深入和推廣性的應用,甚至有教師用“教科書規(guī)定這么操作的”簡單粗暴地回復學生的疑惑.與初中相比,高中數(shù)學教學更注重學生思維能力的培養(yǎng),因此教師需要掌握數(shù)學內容的本質,結合學生的實際創(chuàng)設合適的情境,遞進式地提出引領學生思考的問題,借助追問深挖和“逼出”知識的本源,幫助學生在思考和交流中形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).初中的不足為高中開展十字相乘法的深度學習提供了有利的條件,“高中視角下十字相乘法”的學習為學生提供了認識初、高中數(shù)學教與學差異的機會,也幫助學生做好知識和方法過渡的心理準備.