無條件極值判別法在條件極值問題上的實現*

譚毓澄 鄧長壽 彭 虎

(九江學院理學院 江西九江 332005)

拉格朗日乘數法是求條件極值的非常重要的方法，但關于其中的乘數不同的人有不同的理解.文獻[1]把它理解為一個特定的數，文獻[2]則理解為一個獨立的變量，其實經典的理解[3]是把乘數看成變量的函數.對參數的不同理解直接影響拉格朗日乘數法的后續(xù)探討.文章基于把乘數理解為變量的函數，導出了關于條件極值存在的若干結論.論文對定理1給出了詳細的推導過程.定理2與定理3的證明可統一歸于定理4的證明中.關于條件極值存在的充分條件，一些文獻[1-2,5-6]已給出不少結論，但限于沒有找到恰當的數學形式，所得結論或是不具有一般性，或是操作性不好.

1預備知識

引理1設ai,bi,cij(i,j=1,2,…,n)均為實數，則

證明

2 條件極值存在的充分條件

2.1單條件下的一元復合函數情形

拉格朗日乘數法本質上還是來源于無條件極值的方法.設函數f(x,y)，φ(x,y)均存在連續(xù)的二階偏導數，條件φ(x,y)=0，在一定條件下可確定y關于x的函數.此時z就是關于x的一元復合函數，所求的極值問題實際上就是一元函數的無條件極值問題.考慮復合函數二階可導情形，要找到函數的極值點，自然首先尋找一階導為零的點.即解方程組：

為了使數學形式更具有美感，令；

則上述方程組等價于該形式：

(1)

構造拉格朗日函數：

L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),

則方程組(1)即為：

(2)

在此把方程組(2)簡稱為拉氏方程組.從上文可看出λ確實是變量x,y的函數，但方程組(2)形式上又是把λ當成數值對待.把方程組(1)記為方程組(2)的形式完全是出于記憶的方便.若由拉氏方程組解得了P0(x0,y0,λ0)，則得到了原極值問題的可能極值點M0(x0,y0).到底M0(x0,y0)是不是極值點？一般教材[3-4]都是建議按問題的實際意義或幾何意義來加以判斷.下面利用z關于x的二階導數在點M0(x0,y0)的符號加以考察.

即：

簡化得：

記

(1)當Dxx(P0)>0時，點M0(x0,y0)為條件極值的極小值點；

(2)當Dxx(P0)<0時，點M0(x0,y0)為條件極值的極大值點.

例1 求函數z=xy在條件3x+2y=1下的極值.

解：令f(x,y)=xy，φ(x,y)=3x+2y-1，L(x,y,λ)=xy+λ(3x+2y-1)

Lx=y+3λ,Ly=x+2λ,Lxx=0,Lxy=1,Lyy=0φx=3,φy=2

由拉氏方程組可得點P0(1/6,1/4,-1/12)，于是

故點M0(1/6,1/4)為本題的極大值點.

2.2 單條件下的二元復合函數情形

對極值問題u=f(x,y,z)，s.t.φ(x,y,z)=0

進行類似上述的分析.不妨設方程φ(x,y,z)=0確定了z關于x,y的二元函數，并設f(x,y,z)，φ(x,y,z)有連續(xù)的二階偏導數.此時需如下的判別量：

定理2 設f(x,y,z)，φ(x,y,z)有連續(xù)的二階偏導數，并設φz≠0.現考慮函數f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值.若按拉格朗日乘數法求得P0(x0,y0,z0,λ0)，M0(x0,y0,z0)，則：

(1)當HP0為正定矩陣時，點M0為極小值點；

(2)當HP0為負定矩陣時，點M0為極大值點；

(3) 當HP0為不定矩陣時，點M0不是極值點.

2.3兩個條件下的一元復合函數情形

下面考慮帶兩個約束條件的極值問題

u=f(x,y,z)，s.t.φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0

此時拉格朗日函數定義為：

L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μψ(x,y,z)

設按極值點存在的必要條件求得點P(x,y,z,λ,μ)，則：

另引入記號：

按隱函數求導，以及復合函數求導，在可能極值點(x,y,z)處二階導為：

記

定理3 設f(x,y,z),φ(x,y,z),ψ(x,y,z)有連續(xù)的二階導，現考慮函數f(x,y,z),在φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0條件下的極值，記點P0(x0,y0,z0,λ0,μ0)為解拉氏方程組所得的點，又記點(x0,y0,z0)為M0，并設約束方程在M0某領域確定了兩個可導的隱函數，則：

(1)當Dxx(P0)>0時，點M0為條件極值的極小值點；

(2)當Dxx(P0)<0時，點M0為條件極值的極大值點.

例2 求u=xyz在條件x+y=1,x-y+z2=1條件下的條件極值.

解：設u=f(x,y,z)=xyz,φ(x,y,z)=x+y-1,ψ(x,y,z)=x-y+z2-1

L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x+y-1) +μ(x-y+z2)

由拉氏方程組解得：

又：

Lxx=0,Lxy=z,Lxz=y,Lyy=0,Lyz=x,Lzz=2μ

注意到Fz≠0，可把u理解為關于z的一元復合函數.

據此點

故點M3不是問題的極值點.

2.4一般情形下極值存在的充分條件

一般地，對于多元函數多條件的極值問題可繼續(xù)采用前述方法.此時，描述起來更復雜些.為此，先介紹一些記號.

考慮條件極值問題f(x1,…,xn)s.t.hr(x1,x2,…,xn)=0,r=1,2,…,m

設方程組hr(x1,x2,…,xn)=0, (r=1,2,…,m)確定了m個關于(x1,x2,…,xn-m)的函數，并且函數hi(x1,x2,…,xn), (i=1,2,…,m)有連續(xù)的二階偏導數.令：

設

由拉氏方程組可得λr的多種表達形式.如：

i∈{1,2,…,n-m};k∈{n-m+1,,…,n}

定理4 對于條件極值f(x1,…,xn)s.t.hr(x1,x2,…,xn)=0,r=1,2,…,m.

若f(x1,…,xn)，hr(x1,x2,…,xn) (r=1,2,…,m.)，均有連續(xù)的二階偏導數.并且約束方程確定了m個關于(x1,x2,…,xn-m)的隱函數.記：

(i=1,2,…,n-m;j=1,2,…,n-m)

(1)當HP0為正定矩陣時，則M0為條件極值問題的極小值點；

(2)當HP0為負定矩陣時，則M0為條件極值問題的極大值點；

(3) 當HP0為不定矩陣時，則M0不是條件極值問題的極值點.

證明：設u=f(x1,x2,…,xn)，顯然u是關于(x1,x2,…,xn-m)的復合函數.

(3)

依據復合函數與隱函數求導法則有：

然后針對Dij展開項找左端的對應項.

(r=1,2,…,m;p,q=n-m+1,n-m+2,…,n)

并逐項檢查左端對應的項.

又λr=

(4)

將此行列式中的第k列與第p列交換位置并與(4)式相減，然后利用引理1即得：

注意到，

于是，

λrF?xp/?xiF?xq/?xj.至此證明了等式(3)兩端關于函數f,hr(r=1,2,…,m)二階偏導的系數都相等，故等式(3)成立，從而定理4得以證明.

解：設

于是，

Lx1x1=2λ3,Lx1x3=1,Lx1x4=0,Lx1x5=1,Lx3x3=2λ3,Lx3x4=0,Lx3x5=1,Lx4x4=2λ3

Lx4x5=0,Lx5x5=2λ3,Lx1x2=2x2,Lx2x3=0,Lx2x4=1,Lx2x5=0

F0=4(x3-x5),F?x3/?x1=4(x1-x5),F?x4/?x1=0,F?x5/?x1=4(x3-x1)

進而有，

=32x2(x3-x5)2

故，

事實上，由條件方程組可解得：

即：

由此可驗證上述答案的正確性.

3結語

就數學而言，形式與內容往往是一體的.恰當的數學形式可以救活一個公式，也可以救活一種理論.從形式中去把握數學的統一性與啟發(fā)性，也是數學修養(yǎng)的重要組成部分.