探究式學(xué)習(xí)
——冪級(jí)數(shù)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用研究

張 瑜 騰 旭

（[1]麗江文化旅游學(xué)院 云南·麗江 674100；[2]云南省衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué) 云南·昆明 650100）

1 背景與意義

在信息科技高速發(fā)展時(shí)代，科學(xué)技術(shù)更新越來越快，任何人必須不斷地學(xué)習(xí)才能適應(yīng)社會(huì)的需求，才能不被信息社會(huì)淘汰，因此每個(gè)人都需要一個(gè)有效學(xué)習(xí)方式，而探究式學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)獲取知識(shí)的有效學(xué)習(xí)方式。然而在實(shí)際教學(xué)中，部分教師對(duì)學(xué)生能力的發(fā)展不夠重視，仍然采取傳統(tǒng)教學(xué)方式，而傳統(tǒng)教學(xué)方式以教師講授，學(xué)生接受的方式，機(jī)械的記憶知識(shí)和儲(chǔ)存知識(shí)，忽略學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，不重視學(xué)生培養(yǎng)各種能力。探究式學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師設(shè)置的情境中，在教師的指導(dǎo)下，以一種主動(dòng)的態(tài)度去探索問題，進(jìn)而獲得新知識(shí)的一種學(xué)習(xí)方式。學(xué)生通過參與探究活動(dòng)，可以自主獲得知識(shí)與技能，同時(shí)發(fā)展探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，提升綜合素質(zhì)等。探究式學(xué)習(xí)教學(xué)方式能彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方式的不足，在提升學(xué)生綜合素質(zhì)方面起到積極的促進(jìn)作用。因此，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)這一問題具有很高的研究?jī)r(jià)值。

2 探究式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

探究一詞在《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》解釋為探索研究；探究原因?！掇o海》中探究指的是深入探討，反復(fù)研究。探究一詞的英文為“inquiry”，解釋為詢問；調(diào)查；問題；疑問；研究。美國(guó)人韋爾奇等人認(rèn)為：“探究是人類尋求信息和理解的一般過程”。

美國(guó)國(guó)家科學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)給出探究的定義是：“探究是多層面的活動(dòng)，包括觀察，提出問題；通過瀏覽書籍和其他信息資源發(fā)現(xiàn)什么是已經(jīng)知道的結(jié)論，制定調(diào)查研究計(jì)劃；根據(jù)實(shí)驗(yàn)證據(jù)對(duì)已有的結(jié)論做出評(píng)價(jià)；用工具收集、分析、解釋數(shù)據(jù)，提出解答，解釋和預(yù)測(cè)以及交流結(jié)果。探究要求確定假設(shè)，進(jìn)行批判和邏輯的思考，并且考慮其他可以替代的解釋?！笔聦?shí)上這個(gè)定義給出了探究式學(xué)習(xí)的一般過程：觀察并提出問題——查閱資料并制定研究計(jì)劃—收集、分析、研究資料，并解決問題—質(zhì)疑并多方尋求答案。但也并不是所有的探究式學(xué)習(xí)都要嚴(yán)格按這個(gè)過程執(zhí)行。針對(duì)不同學(xué)科特點(diǎn)，探究式學(xué)習(xí)的步驟會(huì)有所不同。

任長(zhǎng)松在《探究式學(xué)習(xí)—學(xué)生知識(shí)的自主構(gòu)建》一書中認(rèn)為：探究式學(xué)習(xí)是指學(xué)生圍繞一定的問題、文本或材料，在教師幫助和支持下，自主尋求或自主建構(gòu)答案、意義、理解或信息的活動(dòng)和過程。

徐學(xué)福在《探究學(xué)習(xí)的教學(xué)模式》一書中認(rèn)為：“所謂探究學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，為獲得科學(xué)素養(yǎng)以類似科學(xué)探究的方式所開展的學(xué)習(xí)活動(dòng)”。

張崇善認(rèn)為探究式教學(xué)“指教學(xué)過程是在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)為前提，以現(xiàn)行教材為基本探究?jī)?nèi)容，以學(xué)生周圍世界和生活實(shí)際為參照對(duì)象，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會(huì)，學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種形式解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題的一種教學(xué)形式。”

綜上所述，探究式學(xué)習(xí)是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)和小組討論方式，提出，分析和解決問題，總結(jié)，反思，交流學(xué)習(xí)成果等學(xué)習(xí)活動(dòng)，以此獲得知識(shí)和能力的一種學(xué)習(xí)方式。

3 探究式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)的基本步驟

所謂探究式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)：就是將探究式的學(xué)習(xí)方式應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂上。在研究中，數(shù)學(xué)探究式學(xué)習(xí)是指將在數(shù)學(xué)的教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一種問題研究的情境，讓學(xué)生獨(dú)立思考，觀察，分析，歸納，推理，計(jì)算等探究活動(dòng)中，獲得數(shù)學(xué)的知識(shí)與技能，思維的培養(yǎng)，特別是獲得探索精神、獨(dú)立思考能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。探究式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)是以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索問題，解決問題的方法，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。

探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)的基本步驟：

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情境，創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)課程，教師可能很難在學(xué)習(xí)生活中找到案例，因此教師可以聯(lián)系學(xué)生已有的知識(shí)來設(shè)置問題情境，或者聯(lián)系專業(yè)課中數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生的參與度。

3.2 抽象并提出假設(shè)，建立抽象數(shù)學(xué)概念或建立模型

創(chuàng)設(shè)出數(shù)學(xué)情境后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，弄清楚什么是已知條件，什么是未知問題，找出它們之間的關(guān)系，假設(shè)出已知量和未知量，抽象建立數(shù)學(xué)模型。

3.3 研究和驗(yàn)證數(shù)學(xué)概念或模型

數(shù)學(xué)家建立數(shù)學(xué)模型后需要不斷的驗(yàn)證和修改，最終才能得到比較理想的數(shù)學(xué)模型。學(xué)校教育中所給的數(shù)學(xué)模型是經(jīng)過數(shù)學(xué)家認(rèn)可的，往往不需要驗(yàn)證的，教材中往往以定義，定理的方式給出，于是在建立數(shù)學(xué)模型后，為了熟悉數(shù)學(xué)模型，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。

3.4 拓展應(yīng)用，總結(jié)反思

把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容拓展到專業(yè)課中，讓學(xué)生看到學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)在專業(yè)課中的應(yīng)用，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和獨(dú)立思考能力。

4 關(guān)于冪級(jí)數(shù)的探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)研究

級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，在初等數(shù)學(xué)中已經(jīng)知道，“有限個(gè)實(shí)數(shù)的相加”，其和一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，而“無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù)相加，”則其和是否存在，若存在和是多少呢？若不存在又如何呢？實(shí)際上，這就是級(jí)數(shù)研究的一個(gè)問題。

而冪級(jí)數(shù)是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從某種意義說它可以看成是多項(xiàng)式的推廣，冪級(jí)數(shù)在理論和實(shí)際上都有很多應(yīng)用，如冪級(jí)數(shù)在計(jì)算機(jī)專業(yè)課數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中有重要的應(yīng)用。

4.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，展現(xiàn)冪級(jí)數(shù)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中應(yīng)用

冪級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中有重要的應(yīng)用，如在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的遞歸函數(shù)部分，冪級(jí)數(shù)可以證明Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)，而Fibonacci數(shù)列可以通過遞歸實(shí)現(xiàn)。冪級(jí)數(shù)還可以來證明二叉樹的計(jì)數(shù)問題。在課堂中展現(xiàn)這兩個(gè)問題，這樣讓學(xué)生看到冪級(jí)數(shù)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中應(yīng)用，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)冪級(jí)數(shù)的積極性和參與度。

4.2 探究?jī)缂?jí)數(shù)的概念及相關(guān)定理

課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生探究關(guān)于三種的級(jí)數(shù)的異同。給學(xué)生充分時(shí)間討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析對(duì)比三種級(jí)數(shù)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出相同點(diǎn)：級(jí)數(shù)都是無(wú)窮項(xiàng)的和，而不同點(diǎn)是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通向的變量是n，而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)中通項(xiàng)的變量是x，冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是x的冪函數(shù)。

函數(shù)的冪集數(shù)的展開。

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比這兩個(gè)級(jí)數(shù)，得出結(jié)論：泰勒級(jí)數(shù)是函數(shù)一般的展開形式，麥克勞林級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的特殊形式。

實(shí)際上，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開都是根據(jù)麥克勞林公式展開的。

4.3 拓展冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用

4.3.1 冪級(jí)數(shù)在計(jì)算Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)中的應(yīng)用

Fibonacci數(shù)列是0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，特別說明該數(shù)列：第1項(xiàng)是0，第2項(xiàng)是第一個(gè)1。這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。

Fibonacci數(shù)列是數(shù)學(xué)中典型的遞歸問題，那么只要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么可以用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中遞歸函數(shù)實(shí)現(xiàn)它，F(xiàn)ibonacci數(shù)列是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中典型的遞歸實(shí)例。下面探究該數(shù)列的通項(xiàng)公式，

根據(jù)Fibonacci segance,給出產(chǎn)生式（生成式）：

事實(shí)上，該式構(gòu)造就是冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用，

求 Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式和二叉樹的計(jì)數(shù)問題是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中比較重要的問題，這兩個(gè)問題的解決用到冪級(jí)數(shù)中比較特殊的麥克老林級(jí)數(shù)的展開式，或者說用二項(xiàng)式的展開式。冪級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)是比較重要，因?yàn)樗趯I(yè)課中有重要的應(yīng)用。在高等數(shù)學(xué)中冪級(jí)數(shù)這部分的學(xué)習(xí)可以采用探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)方式，并且引導(dǎo)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)冪級(jí)數(shù)的定義后，引導(dǎo)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式和二叉樹的計(jì)數(shù)問題，讓學(xué)生看到冪級(jí)數(shù)是在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，這樣可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)冪級(jí)數(shù)的積極性和主動(dòng)性。

5 總結(jié)和展望

本文分析探究式學(xué)習(xí)的意義與內(nèi)涵，探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)方法可以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和創(chuàng)新思維，在探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)中如何提高學(xué)生的積極性和參與度，本文提出在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)結(jié)合專業(yè)背景，并且在總結(jié)反思環(huán)節(jié)，結(jié)合專業(yè)應(yīng)用進(jìn)行拓展，以此提高探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)中學(xué)生的積極性和參與度。本文以大學(xué)課程《高等數(shù)學(xué)》中的冪級(jí)數(shù)為例，并結(jié)合冪級(jí)數(shù)在計(jì)算機(jī)專業(yè)課程《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》中的應(yīng)用，采用探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)法，探究?jī)缂?jí)數(shù)的內(nèi)容。本文在許多方面都有待研究，探究式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)的相關(guān)理論，如何探究學(xué)習(xí)冪級(jí)數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)效果才更好方面等。