實(shí)施單元整合重構(gòu) 實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度理解

溫展鉅

（廣東省深圳市寶安區(qū)共樂(lè)小學(xué)）

北京師范大學(xué)劉月霞、郭華在《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)》一書中指出：“深度學(xué)習(xí)，是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。深度學(xué)習(xí)過(guò)程著眼于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的整體理解，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)和方法遷移。”北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”單元內(nèi)容包含了整體“1”的再認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)單位、真假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等知識(shí)，雖然對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行了“較全面”的再認(rèn)識(shí)，但這些知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系不夠緊密，不利于學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中進(jìn)行“整體認(rèn)識(shí)”。我在教學(xué)這一單元時(shí)，將“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”與“真假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”以及“帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化”進(jìn)行整合重構(gòu)，將這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)放在同一教學(xué)情境中，讓學(xué)生經(jīng)歷“操作、分類、辨析”等數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，充分感悟知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

一、動(dòng)態(tài)情境，整合貫通

數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”與“再創(chuàng)造”，而數(shù)學(xué)情境則是數(shù)學(xué)知識(shí)“再發(fā)生”和“再創(chuàng)造”的重要載體。北師版教材中，設(shè)計(jì)了“分餅”與“分?jǐn)?shù)與除法”兩部分內(nèi)容，包括“帶分?jǐn)?shù)、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化”。教材中有兩個(gè)情境，前面是“分餅”，后面是“分蛋糕”，前一節(jié)學(xué)習(xí)帶分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)等概念，后一節(jié)進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的互化，在認(rèn)知上容易產(chǎn)生割裂。

教學(xué)實(shí)踐中，我把“分餅”的情境進(jìn)行了擴(kuò)充，以“唐僧師徒取經(jīng)途中化緣”的故事，動(dòng)態(tài)化地呈現(xiàn)出對(duì)不同餅數(shù)進(jìn)行平均分的題組，引導(dǎo)學(xué)生從整數(shù)的等分除法，過(guò)渡到分?jǐn)?shù)的除法，將分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法打通。

師：話說(shuō)唐僧師徒四人前往西天取經(jīng)，路上經(jīng)歷了各種磨難，就連每天吃飯都不容易。他們化緣得到的食物有時(shí)候多，有時(shí)候少，但他們師徒總是平均分配食物。這一天，化緣得到8張餅，分給師徒4人，平均每人得多少?gòu)堬灒?/p>

生：總數(shù)是8張餅，平均分成4份，求每份數(shù)，8÷4=2（張）。

師：總數(shù)除以份數(shù)等于每份數(shù)，所以列式8÷4=2。

師：如果只有4張餅，平均分給4個(gè)人，平均每人分得多少?gòu)堬灒?/p>

生：4÷4=1（張）。

師：如果只有1張餅，平均分給4個(gè)人，平均每人分得多少?gòu)堬灒?/p>

師：如果有5 張餅，平均分給4 個(gè)人，平均每人分得多少?gòu)堬灒?/p>

生：5÷4=1（張）……1（張）每人分得1張餅多。

生：5÷4=1.25（張）。

在數(shù)的認(rèn)識(shí)中，自然數(shù)的認(rèn)識(shí)是在數(shù)的基礎(chǔ)上建立的，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是在分的基礎(chǔ)上建立的，而平均分又與除法有著緊密聯(lián)系。因此，在本課“唐僧師徒分餅”的情境中，學(xué)生借助“平均分”的熟悉模型，從整數(shù)除法過(guò)渡到了小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法。分得的結(jié)果從整數(shù)張到不能用整數(shù)表示，也不能用真分?jǐn)?shù)表示，從而引出了學(xué)習(xí)帶分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的必要性。在這個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程中，不僅能分出帶分?jǐn)?shù)和真假分?jǐn)?shù)，還能在分的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，達(dá)到整合貫通的目的。同時(shí)，“平均分餅的情境”還能讓學(xué)生體會(huì)到團(tuán)隊(duì)合作的重要性。此外，“艱難的取經(jīng)生活”和“虔誠(chéng)的求學(xué)精神”也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育的好素材。

二、多元表征，深度理解

在前面學(xué)習(xí)的過(guò)程中，都是對(duì)真分?jǐn)?shù)進(jìn)行認(rèn)識(shí)，把一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份是幾分之一或幾分之幾，而從本課開(kāi)始出現(xiàn)了分子比分母大的情況，這是本課學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。因此，我利用操作“分餅“這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生建立了比一張餅再多張的表象，引導(dǎo)他們從感觀上開(kāi)始認(rèn)識(shí)帶分?jǐn)?shù)。

師：前面我們學(xué)習(xí)過(guò)用小數(shù)表示，這節(jié)課我們一起研究用分?jǐn)?shù)表示?，F(xiàn)在給每個(gè)小組5 個(gè)圓片代表5 張餅，平均分成4 份，看看每份是幾張餅？請(qǐng)大家動(dòng)手分一分。（學(xué)生小組討論、操作）

小組1：先拿出4 張餅，每人分得1 張餅；剩下一張餅再平均分成4份，每人再分得其中的1份。合起來(lái)就是1 張餅，再多張餅。（5 人小組上臺(tái)演示，1 人負(fù)責(zé)邊分邊講解）

師：大家的分法主要有兩種，一種是把每張餅都平均分成4份，每人分得每張餅的有5張餅 ，每人就分得5個(gè)就是張餅。

另一種是先分4 張，每人分得1 整張餅，再把剩下的1 張餅平均分，每人再分得張，合起來(lái)是 1 張餅再多張餅 ，可以用來(lái)表示。這里的1 表示1整張餅表示張餅表示的意思。讀作：一又四分之一，像這樣的分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)。你知道它為什么叫做帶分?jǐn)?shù)嗎？

生：帶有整數(shù)的分?jǐn)?shù)。

師：對(duì)，帶分?jǐn)?shù)就是帶有整數(shù)的分?jǐn)?shù)。左邊是整數(shù)部分，右邊是分?jǐn)?shù)部分。它們的分法不同，得到的結(jié)果相同嗎？（指著

師：這是怎么得到的呢？

師：為什么要2×4＋1？

本課是在認(rèn)識(shí)“真分?jǐn)?shù)”“假分?jǐn)?shù)”的概念前，借助“分餅”的操作過(guò)程，用不同的分法得到大小相等的兩種結(jié)果“張餅和張餅”。雖然分法不同，但學(xué)生親自參與了分的過(guò)程，自然知道兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小相等。借助學(xué)具的操作和PPT 的演示，學(xué)生聚焦帶分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)聯(lián)系是5個(gè)其中的4個(gè)可以拼成一整張餅，也就是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分1，剩下就對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)部分將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)則是把整數(shù)部分的餅分成與分?jǐn)?shù)部分相同單位的若干份，再相加。

學(xué)生在觀察、思辨的過(guò)程中，結(jié)合操作表征、圖象表征、語(yǔ)言表征等多種表征方式對(duì)假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的本質(zhì)進(jìn)行深度理解，逐步建構(gòu)出帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)互化的算理，并總結(jié)出了簡(jiǎn)便的算法。

三、整體把握，有效建模

師：回顧分餅的過(guò)程，4÷4=1 張餅，能不能把1張餅也寫成分?jǐn)?shù)呢？

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察我們剛才通過(guò)分餅得到的除法算式和商。你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：除數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分母。

師：誰(shuí)能明白他的發(fā)現(xiàn)？

生：被除數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分子，商就是分得的張數(shù)。

（PPT 出示，全班觀察：除法的被除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子，除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分母，除號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線，這就是分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系）

師：A張餅平均分給B個(gè)人呢？每人分得幾張？

師：要滿足什么條件？

生：B不能為0，因?yàn)槌龜?shù)不能為0。

分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系是連接分?jǐn)?shù)意義與等分除法意義的重要規(guī)律，也是分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)三者之間轉(zhuǎn)換的橋梁。因此，在數(shù)量上要給學(xué)生提供豐富的材料，讓他們充分體驗(yàn)、感受并利用不完全歸納的方法發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系。同時(shí)，在材料的類型上要包含能分出整數(shù)的、能分出分?jǐn)?shù)（小數(shù)）的情況，分?jǐn)?shù)中還要包含真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。只有在類型全面的材料中，才能讓學(xué)生把學(xué)習(xí)過(guò)的關(guān)于平均分的所有除法都納入到發(fā)現(xiàn)的規(guī)律之中，從而打通了整數(shù)除法、小數(shù)除法與分?jǐn)?shù)除法的聯(lián)系，進(jìn)而理解了本節(jié)中分得的商，可以在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的相互轉(zhuǎn)換，達(dá)到對(duì)分?jǐn)?shù)意義的整體認(rèn)識(shí)。

四、多維辨析，提升思維

北師版教材采用舉例的方式得出真、假分?jǐn)?shù)的概念。學(xué)生能很快得出真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)這兩個(gè)名稱，通過(guò)教師的引導(dǎo)，也能發(fā)現(xiàn)真分?jǐn)?shù)的分子和分母之間的關(guān)系以及真假分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，但對(duì)帶分?jǐn)?shù)、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)這三個(gè)概念以及它們之間的關(guān)系區(qū)別不夠清晰。

新課教學(xué)前，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)不是一張白紙，有的學(xué)生在平時(shí)生活中已對(duì)真假分?jǐn)?shù)有了一定的認(rèn)識(shí)。課前訪談中我發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生只是知道真假分?jǐn)?shù)的名稱，部分學(xué)生雖知道真假分?jǐn)?shù)的分子和分母的大小關(guān)系，但對(duì)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)及帶分?jǐn)?shù)的分類不清晰。因此，本課需要讓學(xué)生通過(guò)對(duì)不同類型的分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類、辨析，借助符號(hào)化的理解和表達(dá)，對(duì)三類分?jǐn)?shù)進(jìn)行深層辨析。

師：仔細(xì)觀察這些分?jǐn)?shù)的特征，把下面分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類，并說(shuō)一說(shuō)你是怎樣想的？

生：分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。

師：哪些是真分?jǐn)?shù)呢？

師：分子小于分母的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，分子等于或大于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。

師：從形式上還可以把帶有整數(shù)部分的分?jǐn)?shù)分為一類，不帶整數(shù)的分?jǐn)?shù)分為一類。能不能把也按分子和分母的大小來(lái)分？它屬于真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)。

生：當(dāng)a大于或等于b時(shí)是假分?jǐn)?shù)，當(dāng)a小于b時(shí)是真分?jǐn)?shù)。

生：當(dāng)a大于b時(shí)當(dāng)a 等于 b 時(shí)當(dāng)a小于b時(shí)

師：真分?jǐn)?shù)小于1，假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

思維的獨(dú)立性意味著不為情境的暗示所左右，不人云亦云，不盲從附和，嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過(guò)程。思維的獨(dú)立性是批判性思維的重要特點(diǎn)。在本課中，我首先讓學(xué)生對(duì)課中所得出的各種不同類型的分?jǐn)?shù)按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，通過(guò)分?jǐn)?shù)讓學(xué)生觀察不同類型分?jǐn)?shù)的特征，并在真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)的分類中打破學(xué)生原有的淺層認(rèn)識(shí)“帶分?jǐn)?shù)不屬于假分?jǐn)?shù)和真分?jǐn)?shù)”，重構(gòu)對(duì)分?jǐn)?shù)的分類，達(dá)到對(duì)分?jǐn)?shù)分類的全面認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的批判思維能力。

本節(jié)課通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)與除法、真假分?jǐn)?shù)帶分?jǐn)?shù)等知識(shí)的整合重構(gòu)，創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)化情境，促進(jìn)了學(xué)生整體把握、深度理解，培養(yǎng)了批判性思維。