借助數(shù)學(xué)草圖培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想

葉俊

【摘要】數(shù)與形是焦不離孟、孟不離焦的關(guān)系.對(duì)于復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)習(xí)題、概念知識(shí)，數(shù)學(xué)教師可以借助數(shù)學(xué)草圖引導(dǎo)學(xué)生找出解決問題的有效策略.對(duì)此，本文從題目中的數(shù)量關(guān)系、圖形與數(shù)據(jù)的內(nèi)在聯(lián)系、小學(xué)生的解題思考習(xí)慣入手，淺談借助草圖培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)草圖;數(shù)學(xué)思想;數(shù)形結(jié)合

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)與形本就形影不離，通過圖形的輔助，題目中的復(fù)雜數(shù)據(jù)、數(shù)量關(guān)系都能以直觀的方式呈現(xiàn)出來(lái).數(shù)學(xué)教師可以利用草圖幫助學(xué)生代入思考，讓學(xué)生體會(huì)以形助數(shù)的便利之處，循序漸進(jìn)地養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思考習(xí)慣.

一、應(yīng)用數(shù)學(xué)草圖，梳理題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系

小學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，通常難以把握好題目中的數(shù)量關(guān)系.由于慣性思維的影響，小學(xué)生很容易在解題時(shí)迷失方向.這種情況在分?jǐn)?shù)乘除法中尤其常見，要想解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，經(jīng)常需要找準(zhǔn)單位“1”，從而確定突破的角度應(yīng)該選擇乘法還是除法.筆者在教學(xué)中大膽應(yīng)用數(shù)學(xué)草圖，通過畫線段圖的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、分析，指導(dǎo)小學(xué)生利用線段圖將題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系梳理清晰.

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)為例，對(duì)以下應(yīng)用題進(jìn)行分析講解：甲、乙、丙、丁四個(gè)好朋友一同去開墾一塊田地，甲開墾了其他三人總數(shù)的一半，乙開墾了其他三人總數(shù)的13，丙開墾了其他三人總數(shù)的14，丁開墾了39畝，這塊田地的大小為多少畝？

小學(xué)生在面對(duì)這道題時(shí)，往往會(huì)感到為難，因?yàn)槊總€(gè)題干條件中的數(shù)量關(guān)系都不相同.其中出現(xiàn)了三個(gè)不一樣的總數(shù)，讓學(xué)生感到無(wú)從入手.對(duì)此，筆者應(yīng)用畫線段圖的方式，帶領(lǐng)學(xué)生針對(duì)題干條件逐一展開探究.比如根據(jù)題目第一個(gè)數(shù)量關(guān)系條件“甲開墾了其他三人總數(shù)的一半”繪制線段圖.因?yàn)榧组_墾的數(shù)量是其他三人總數(shù)的一半，所以甲的開墾數(shù)是總數(shù)的13，

繪制結(jié)果如圖1所示.

以此類推，分別將剩下的條件用線段圖進(jìn)行表示，可得乙的開墾數(shù)是總數(shù)的14，丙的開墾數(shù)是總數(shù)的15，那么四個(gè)人的開墾數(shù)量就能繼續(xù)通過線段草圖從整體角度建立關(guān)系.田地總畝數(shù)始終沒變，應(yīng)當(dāng)視為單位“1”，那么丁所開墾的畝數(shù)就占總數(shù)的1-13-14-15，因此，列式為39÷1-13-14-15，即可得出最后的答案，結(jié)果為180畝.

針對(duì)這道題的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以從中得到一定的啟示：當(dāng)面對(duì)數(shù)量關(guān)系條件不斷發(fā)生改變的問題時(shí)，首先要敏銳地抓住其中的不變量.比如這道題中的不變量就是田地的總畝數(shù)，可以作為其中的單位“1”進(jìn)行突破.其次要通過草圖來(lái)建立變量之間的數(shù)量關(guān)系，比如題中的“甲乙丁”“甲丙丁”“乙丙丁”就是總數(shù)的三種變量形式，雖然其中發(fā)生了改變，但都包含在單位“1”中.因此，應(yīng)用線段圖將變量與單位“1”的關(guān)系綜合到一起，就能分別剖析出“甲、乙、丙、丁”在總量中所占的比例.學(xué)生按照這種解題思路先循序漸進(jìn)地剖析各種復(fù)雜的題干條件，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)，就能準(zhǔn)確得出最后的答案.

二、應(yīng)用數(shù)學(xué)草圖，加強(qiáng)圖形與數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)教師需要想方設(shè)法地將抽象的物體、圖像以更為直觀的方式呈現(xiàn)在小學(xué)生面前，激發(fā)學(xué)生的空間想象能力，使其在腦海中構(gòu)建出良好的幾何結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)教師可以通過草圖幫助小學(xué)生進(jìn)行思維過渡，將圖形與數(shù)據(jù)更為緊密地聯(lián)系到一起，幫助小學(xué)生理解并解決某些較為復(fù)雜的圖形類習(xí)題，構(gòu)建出優(yōu)秀的空間觀念.

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”的教學(xué)為例，對(duì)以下習(xí)題進(jìn)行解析：奧運(yùn)會(huì)上有一個(gè)頒獎(jiǎng)臺(tái)，是由三個(gè)不同大小的長(zhǎng)方體合并成的.現(xiàn)在打算將這個(gè)頒獎(jiǎng)臺(tái)的前后貼滿白色的壁紙，其他露出的表面貼滿紅色的壁紙，所貼的白色壁紙和紅色壁紙的面積分別是多少？圖形的主要信息如圖2所示.

解析這道題，學(xué)生需要具備良好的空間觀念，并從整體的角度分析問題，尋求解題的有效辦法.在實(shí)際思考時(shí)，學(xué)生需要仔細(xì)探究，從上、下、前、后、左、右各個(gè)方向進(jìn)行細(xì)致的觀察，并且繪制出對(duì)應(yīng)的圖形形狀.明確白壁紙和紅壁紙分別貼在哪些地方.如果沒有草圖的提示，學(xué)生很容易將貼紙的部分全部列舉出來(lái).比如長(zhǎng)方體2需要在左邊和上邊貼紅壁紙，長(zhǎng)方體1的上面、左右兩側(cè)各自露出的部分也需要貼紅壁紙，以此類推，學(xué)生會(huì)將每一個(gè)貼紙部分的面積單獨(dú)計(jì)算，從而使整個(gè)計(jì)算步驟變得十分復(fù)雜.筆者引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合草圖進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，如圖3、圖4所示（單位：cm），將觀察得到的圖形以平面圖的方式繪制出來(lái)，其中圖3為貼紅壁紙的部分，圖4為貼白壁紙的部分，這樣就能將許多需要單獨(dú)計(jì)算的部分綜合成一個(gè)整體，便于進(jìn)行直觀的計(jì)算.

由此可知，貼紅壁紙部分的面積可以按照?qǐng)D3來(lái)計(jì)算，列式為65×40×2+40×40×3=10000（cm2），貼白壁紙部分的面積可以按照?qǐng)D4來(lái)計(jì)算，列式為[40×（65-10）+40×40+40×65]×2=12800（cm2）.通過草圖的思維啟示，學(xué)生以后面對(duì)這類涉及空間思維的習(xí)題時(shí)，就能有條理地從直觀角度進(jìn)行分析了.通過這道例題的講解學(xué)習(xí)，我們可以得到以下教學(xué)收獲：學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)草圖能夠?qū)⑷S立體圖形分解成二維平面的形式，同時(shí)這種應(yīng)用能夠提升學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力.

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)草圖，培養(yǎng)學(xué)生以形助數(shù)的思考習(xí)慣

蘇教版數(shù)學(xué)教材中的許多內(nèi)容都著重將“數(shù)”和“形”作為主要的研究對(duì)象.教材中大部分的“數(shù)”都結(jié)合“形”來(lái)表示，將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)概念無(wú)聲地滲透到學(xué)生的解題思維中.數(shù)學(xué)教師可以應(yīng)用草圖，將蘇教版教材的編寫理念淋漓盡致地體現(xiàn)出來(lái)，從而引導(dǎo)學(xué)生在不知不覺中樹立形象、直觀的數(shù)形結(jié)合觀念，傾向從“以形助數(shù)”的角度思考解題方法，在繪制圖形的同時(shí)，將題干信息或知識(shí)要素?cái)⑹龅酶鼮樾蜗?、?jiǎn)潔.

比如在一條100米長(zhǎng)的馬路上，每隔5米就要安裝一個(gè)路燈，如果分別按照兩端都安裝、只安裝一端、兩端都不安裝的方式安裝路燈，這條路上安裝路燈的數(shù)目分別為多少個(gè)？雖然這道應(yīng)用題只是簡(jiǎn)單地應(yīng)用了整數(shù)除法與加減法的混合運(yùn)算，但是小學(xué)生還是很容易在分類思考的過程中，將加一還是減一弄混.對(duì)此，教師可以讓學(xué)生先按照題目要求，通過草圖將各種情況分別繪制出來(lái)，按照以形助數(shù)的思維方式，養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣.繪制結(jié)果如圖5所示，兩端都不安裝路燈、只一端安裝路燈、兩端都安裝路燈可以與直線、射線、線段分別關(guān)聯(lián)到一起.

對(duì)圖5進(jìn)行觀察，可見第一條直線代表馬路兩端都不安裝路燈，第二條射線代表這條馬路只在一端安裝路燈，第三條線段代表這條馬路兩端都安裝路燈，那么按照觀察的結(jié)果進(jìn)行列式計(jì)算，分別為

100÷5-1=19（個(gè)），

100÷5=20（個(gè)），100÷5+1=21（個(gè)）.這樣學(xué)生就能直觀地了解這些題干要求的論述路徑了，有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)體會(huì).在講解這道題目后，教師需要進(jìn)行教學(xué)反思：想要通過數(shù)學(xué)草圖滲透數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)教育，不一定要選擇十分復(fù)雜的高難度習(xí)題，也可以從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)入手，由小見大，一樣可以收獲良好的教學(xué)成效.教師可以先引導(dǎo)小學(xué)生養(yǎng)成結(jié)合圖形思考數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，將題干數(shù)據(jù)融合到繪制的草圖當(dāng)中，再逐漸提高習(xí)題難度，這樣學(xué)生才能高效、迅速地習(xí)慣以形助數(shù)模式的解題思路與解題方法.

總之，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)深入探索草圖的高效應(yīng)用方法，讓學(xué)生習(xí)慣從畫圖的角度思考數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生深刻體悟數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，為學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的提升打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]石艷平，尚小舟.數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探索[J].佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，36（06）：102-103.