從“以方測圓”到“化曲為直”

張敏

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以把教材中呈現(xiàn)的素材和相關(guān)史料以知識發(fā)生、發(fā)展過程的視角進(jìn)行合理重組，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)文化。HPM取向的《圓的面積》教學(xué)，結(jié)合史料，依循人類探索圓的面積的發(fā)展過程，以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為依托，引領(lǐng)學(xué)生“以方測圓”，建立圓面積和正方形面積（r2）的聯(lián)系;運(yùn)用數(shù)方格法“數(shù)”出圓的面積，初步體會極限思想;運(yùn)用“切西瓜”法“化曲為直”，推理論證。

關(guān)鍵詞：HPM;數(shù)方格;化曲為直;極限;《圓的面積》

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），通常被理解為“數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透”。HPM相關(guān)研究表明，個(gè)體的認(rèn)識過程與人類的認(rèn)識過程基本是一致的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以把教材中呈現(xiàn)的素材和相關(guān)史料以知識發(fā)生、發(fā)展過程的視角進(jìn)行合理重組，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)文化?！秷A的面積》一課，筆者結(jié)合相關(guān)史料，開展了HPM取向的教學(xué)實(shí)踐。

一、教學(xué)準(zhǔn)備

（一）“圓的面積”相關(guān)史料

最初，人們認(rèn)為，圓比較近似正方形，求圓的面積，可以想辦法作出一個(gè)正方形，使它的面積恰好等于圓的面積。但無論是外切正方形還是內(nèi)接正方形，都不能滿足這個(gè)要求。這曾是困擾古希臘數(shù)學(xué)家的三大幾何難題之一。

我國古代數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之，從圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，讓邊數(shù)成倍增加，單側(cè)逼近圓的面積;古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德，則從內(nèi)外兩個(gè)方向雙側(cè)逼近圓的面積。這些“以方測圓”思路中的“逼近”就是試圖接近“極限”。

古印度數(shù)學(xué)家則采用“切西瓜”的辦法：把圓切成許多“小瓣”，再把這些“小瓣”平均分成兩部分，各自展開后，拼插成一個(gè)近似的平行四邊形，用這個(gè)近似平行四邊形的面積去代替圓的面積。后來，德國天文學(xué)家開普勒也仿照“切西瓜”的方法，大膽地設(shè)想把圓分割成無窮多個(gè)小扇形，圓的面積就是無窮多個(gè)小扇形面積的和。開普勒斷言（但無法證明）：無窮小的扇形可以看作三角形，扇形面積等于三角形的面積。顯然，這種方法對人類的想象和推理提出了挑戰(zhàn)，是極限思想的雛形。

（二）HPM取向的《圓的面積》教學(xué)思路

盡管歷史上人類探索圓的面積的方法不同，但不同中蘊(yùn)藏著相同——都希望“化曲為直”，即把圓這個(gè)曲邊圖形轉(zhuǎn)化為直邊圖形;而且在解決問題的具體過程中，每種方法都不可避免地涉及“無限接近”——這也是歷史上討論最為激烈的焦點(diǎn)問題。

因此，《圓的面積》一課教學(xué)，可結(jié)合史料，依循人類探索圓的面積的發(fā)展過程，以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為依托（如求不規(guī)則圖形面積的“數(shù)方格”法、求取面積公式的“轉(zhuǎn)化”策略等），引領(lǐng)學(xué)生“以方測圓”——將圓的面積與正方形的面積建立聯(lián)系，給圓的面積確定一個(gè)范圍;“求精入微”——思考并想象，當(dāng)用來做單位面積的方格變得越來越小，直至無窮小時(shí)，就可以準(zhǔn)確地“數(shù)”出圓的面積了;“化曲為直”——采用“切西瓜”的思路探尋圓的面積計(jì)算公式。這樣的過程中，學(xué)生充分經(jīng)歷猜想、操作、驗(yàn)證、討論和歸納等，在層層深入的活動中體會“轉(zhuǎn)化”和“極限”思想。

二、教學(xué)過程

（一）在畫圓中喚醒已有經(jīng)驗(yàn)

師同學(xué)們，你們會畫圓嗎？老師給大家準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)單上有個(gè)方格圖，請拿出圓規(guī)在上面畫一個(gè)圓。

（學(xué)生在學(xué)習(xí)單上畫圓。）

師誰能用學(xué)過的知識介紹一下你畫的圓。

生我畫的是半徑3 cm的圓。

生我畫的是直徑4 cm的圓。

生我畫的是周長25.12 cm的圓。

師通過大家的介紹，可以看出同學(xué)們從不同方面對圓有了一定的了解。根據(jù)以前學(xué)習(xí)平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，你們還對圓的什么知識感興趣？

生圓的面積。

師（板書課題：圓的面積）今天我們就來學(xué)習(xí)圓的面積。請同學(xué)們猜一猜，圓的面積大小可能跟什么有關(guān)？

生半徑。

生直徑。

生周長。

[說明：通過在方格紙上畫圓以及對圓的自主介紹，喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，促其提出問題，引發(fā)思考，并自然地將圓的面積與半徑、直徑甚至周長建立聯(lián)系，為后續(xù)教學(xué)新知做好準(zhǔn)備。]

（二）了解古埃及“以方測圓”的思路

師圓的面積計(jì)算這個(gè)問題，其實(shí)是古希臘三大幾何難題之一，古代人很早就開始思考了。（播放視頻，畫面定格于圖1）古埃及人對于圓面積的探究，是借助于其與正方形面積的關(guān)系來進(jìn)行的。參考古埃及人的思路，大膽猜測一下，與一個(gè)圓有著密切聯(lián)系的正方形在哪兒？

生以圓的半徑為邊長的正方形。

生以圓的直徑為邊長的正方形。

師（出示圖2）同學(xué)們的感覺很敏銳！深入思考下去，估一估，圓的面積和這兩個(gè)正方形的面積相比怎么樣？

生圓的面積比小正方形面積的2倍大一些。

師你是怎么想的？

（學(xué)生解釋，教師同步課件動態(tài)呈現(xiàn)圖3。）

生圓的面積比大正方形的面積小一些。

生大正方形面積是小正方形面積的4倍，說明圓的面積比r2的4倍小一些。

（學(xué)生解釋，教師同步課件呈現(xiàn)圖4。）

[說明：介紹古埃及人探究圓的面積的史料，將圓的面積與正方形的面積建立關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生利用方格圖中與圓的半徑和直徑關(guān)系最密切的2個(gè)正方形（以半徑為邊長和以直徑為邊長），估計(jì)出圓的面積的大致范圍：2r2<圓的面積

（三）化用古埃及“數(shù)谷?！钡姆椒ā皵?shù)圓”

師同學(xué)們對圓面積的大小確定了一個(gè)合理的范圍。當(dāng)然，僅有范圍還不夠，得想辦法把它們確切的倍數(shù)關(guān)系弄清楚。想一想，在方格圖中計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，有什么經(jīng)驗(yàn)可以借用？

生可以用數(shù)方格的方法。

師好，我們就用數(shù)方格的方法來研究圓的面積到底是r2的幾倍。先把正方形的面積，也就是半徑的平方數(shù)出來，是多少？

生9平方厘米。

師數(shù)圓的面積有什么好的建議嗎？

生只要數(shù)出四分之一圓的面積，然后乘4就可以了。四分之一圓大約是7.5格，圓的面積大約是30平方厘米。

師拿出計(jì)算器算一下，圓的面積大約是r2的幾倍？

生保留一位小數(shù)，大約是3.3倍。

師同學(xué)們，為了使我們的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更有說服力，請大家拿出自己上課開始時(shí)畫的圓，數(shù)出它的面積，算算面積是r2的幾倍，把結(jié)果記錄下來，等待匯報(bào)。

（學(xué)生活動后匯報(bào)數(shù)據(jù)，匯總得到表1。）

表1正方形面積與圓面積的倍數(shù)關(guān)系

正方形面積

（r2）圓面積圓面積大約是正方形面積的

幾倍（精確到十分位）9303.316523.225783.1361123.1師請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生圓的面積都是r2的3倍多一些。

師這就比剛才估測的范圍更精確一些了。我們把數(shù)方格的方法和古埃及人數(shù)谷粒的方法聯(lián)系起來看看。（播放視頻，畫面定格于圖5）看到3.14倍，大家就想到了什么？

生π倍。

師我們用實(shí)驗(yàn)的方法，通過大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，圓的面積是r2的π倍。

[說明：數(shù)是度量的一種基本策略。這種策略指向了度量的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的遷移。首先，引導(dǎo)學(xué)生利用研究不規(guī)則圖形面積的“數(shù)方格”經(jīng)驗(yàn)，將自己所畫圓的面積數(shù)出來，并將其與r2的倍數(shù)關(guān)系算出來。通過不同的數(shù)據(jù)對比，進(jìn)一步確定：圓的面積大約是r2的3倍多一些。結(jié)合史料介紹，用均勻分布的小格子代替谷粒，當(dāng)小格子足夠多時(shí)，數(shù)方格得到的圓的面積大約是r2的3.14倍。這個(gè)環(huán)節(jié)，將學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與史料中古埃及人的探索方法相結(jié)合，通過數(shù)、算的過程將圓的面積與r2之間的倍數(shù)關(guān)系進(jìn)一步精確化。特別地，引發(fā)學(xué)生思考并想象，當(dāng)用來做單位面積的方格變得越來越小，直至無窮小時(shí)，就可以準(zhǔn)確地測量出圓的面積了。借助課件，幫助學(xué)生經(jīng)歷直覺的“極限”過程，初步理解“極限”。]

（四）運(yùn)用古印度的“切西瓜”法“化曲為直”

師在數(shù)學(xué)研究中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確實(shí)可以說明問題。不過，大家都知道，最嚴(yán)密、最有說服力的方法還是——推理。同學(xué)們，以前我們在研究一個(gè)新的圖形的面積時(shí)，是怎樣推導(dǎo)的？

生把新圖形用剪拼的方式轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，化未知為已知，利用新舊兩個(gè)圖形間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。

師（出示圖6）那今天我們學(xué)習(xí)的圓，能轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形來研究嗎？

（學(xué)生交流。）

師大家提出了一些方法?，F(xiàn)在來看看古印度數(shù)學(xué)家的思路。（播放視頻，畫面定格于圖7）是不是跟我們剛才有的同學(xué)的思路相同？我們下面來試一試這種方法。老師給各組同學(xué)準(zhǔn)備了不同的學(xué)具，請大家沿著圓的半徑剪開，看能不能拼成熟悉的平面圖形。

（學(xué)生分組剪接，并貼到黑板上。）

師比較一下大家剪拼出來的圖，有什么發(fā)現(xiàn)？

生隨著份數(shù)的增加，拼出的圖形越來越接近平行四邊形。

師同學(xué)們，設(shè)想一下：如果平均分的份數(shù)更多，分成64份、128份、256份……這個(gè)圖形會怎么樣？

生應(yīng)該會完全接近平行四邊形。

生會完全接近長方形。

師德國天文學(xué)家開普勒也仿照“切西瓜”的方法，大膽地設(shè)想把圓分割成無窮多個(gè)小扇形。開普勒斷言：無窮小的扇形可以看作三角形，最終拼出來的圖形就是長方形。我們可以借助電腦來模擬這樣的過程。（用“幾何畫板”軟件演示圓平均分成64份、128份、256份、512份、1 028份……的情況）你們有什么感受？

生把圓平均分成無數(shù)份的時(shí)候肯定是拼成長方形了。

師比較一下，圓與拼成的長方形存在哪些關(guān)系？能不能根據(jù)長方形的面積計(jì)算方法推導(dǎo)出圓的面積公式？

生長方形的面積和圓的面積相等;長方形的長相當(dāng)于圓的周長的一半c2，它的寬相當(dāng)于圓的半徑（r），長方形的面積等于長乘寬，所以圓的面積可以用圓周長的一半乘半徑。那么，圓的面積公式就是S=πr×r=πr2。

（教師同步板書推導(dǎo)過程。）

師推理的結(jié)果和剛才由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的結(jié)果一致：圓的面積是r2的——π倍。這樣我們就十分肯定地得出了圓面積的計(jì)算方法。

[說明：“化曲為直”是全課的中心環(huán)節(jié)。通過豐富的活動，一方面，使學(xué)生體會圓的面積與r2的倍數(shù)關(guān)系，用“數(shù)方格”法得出結(jié)論后，更要以推理的方式加以驗(yàn)證，亦即數(shù)學(xué)結(jié)論的得出過程應(yīng)該是從猜想到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證再到推理證明的科學(xué)過程，將合情推理與演繹推理相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和理性精神;另一方面，則是將學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”經(jīng)驗(yàn)遷移到新知中來。結(jié)合史料中古人的探索，組織學(xué)生在親自動手操作，進(jìn)一步積累經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過想象活動深刻感受“極限”思想。整個(gè)過程中，努力將學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)與人類的探索過程無縫對接，使他們真正經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”過程。]

（五）回顧梳理歷史研究軌跡

師同學(xué)們，現(xiàn)在你能算出開始的時(shí)候自己所畫的圓的面積了嗎？動手算一算。

（學(xué)生運(yùn)用公式計(jì)算后交流。）

師大家把算出來的面積與之前數(shù)方格得到的面積比一比，有什么感受？

生根據(jù)公式計(jì)算出的數(shù)據(jù)比較精確，數(shù)方格得出的數(shù)據(jù)有誤差。

師回顧一下今天的研究過程，我們是怎么得出結(jié)論的？

生先是猜測圓的面積與半徑的平方有倍數(shù)關(guān)系;然后估一估，發(fā)現(xiàn)圓的面積是半徑平方的2倍—4倍;接著數(shù)一數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)圓的面積是半徑平方的3.14倍;最后通過剪拼，將圓轉(zhuǎn)化成長方形，成功推導(dǎo)出了圓面積的計(jì)算公式，確定了圓的面積是半徑平方的π倍。

師總結(jié)得很好！我們借鑒了古人的智慧，結(jié)合了自己學(xué)習(xí)平面圖形面積的經(jīng)驗(yàn)，沿著歷史的足跡，經(jīng)歷了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論得出的完整過程。剛剛有同學(xué)問我：圓被平均分成若干份之后，那些小扇形還能拼成其他的平面圖形嗎？課后大家不妨去剪一剪、拼一拼、想一想、算一算，相信你一定會有更大的收獲！

[說明：得出圓的面積計(jì)算公式后，讓學(xué)生準(zhǔn)確計(jì)算出課始自己所畫圓的面積，并與之前數(shù)方格得到的面積數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，體會數(shù)學(xué)的精確性及應(yīng)用性。引導(dǎo)學(xué)生回顧整節(jié)課的研究過程，讓學(xué)生體會到自己在課堂上經(jīng)歷了人類千年的探索過程，幫助學(xué)生在感受數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探索的“逐步精確化”。最后，引發(fā)學(xué)生對圓的面積公式其他推導(dǎo)方法的深入思考，為今后的學(xué)習(xí)研究奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。]

參考文獻(xiàn)：

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