彈性支撐桿下變懸點(diǎn)單擺運(yùn)動(dòng)的研究

周 穎，田蓬勃，李 濤，劉瑞豐，劉 萍，方愛(ài)平，王小力

(1.西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，陜西 西安 710049；2. 西安交通大學(xué) 物理學(xué)院，陜西 西安 710049 )

單擺是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)物理模型，又一直是很多新概念提出的源泉.由理想單擺衍生出來(lái)的倒擺、復(fù)擺、球面擺、共振擺等模型一直吸引著人們的關(guān)注.同時(shí)由于其在大角度釋放時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的非線性特征，使其成為大學(xué)物理教學(xué)中混沌現(xiàn)象和非線性問(wèn)題研究很好的切入點(diǎn).目前針對(duì)擺長(zhǎng)可變[1]，施加側(cè)向擾動(dòng)[2]，彈簧耦合擺[3]等情形下擺球分別做水平面內(nèi)振蕩和豎直面內(nèi)振蕩[4]已有充分研究，但大多著重于對(duì)運(yùn)動(dòng)周期、相圖的研究，不具備直觀性.對(duì)于能直觀表示擺球運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，以及擺平面的分位移圖較少關(guān)注，且大多數(shù)模型都對(duì)擺角做小角度線性處理，使其結(jié)論不適用于大角度釋放的情況.同時(shí)，上述系統(tǒng)的支撐桿皆為剛性桿，對(duì)于彈性桿作為支撐桿的情況下，單擺出現(xiàn)振蕩方向逐漸轉(zhuǎn)變的情況尚無(wú)系統(tǒng)的研究.本文旨在從理論到實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)研究水平支撐桿為彈性桿時(shí)，擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡和振蕩方向改變90度的時(shí)間，重點(diǎn)分析擺球運(yùn)動(dòng)的軌跡形狀和影響振蕩方向相對(duì)初始運(yùn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)過(guò)90度所需時(shí)間的因素.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 水平彈性桿運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)化與參數(shù)確定

如圖1所示，設(shè)有一個(gè)單擺系統(tǒng)，其中水平彈性桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)，一端固定在豎直的剛性支撐架上，另一端(前端)綁定繩子以避免彈性桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中豎直方向的偏轉(zhuǎn).同時(shí)在彈性桿前端懸掛一根擺線，記彈性桿與擺線的連接點(diǎn)為A(懸點(diǎn)A)，擺線質(zhì)量不計(jì)且長(zhǎng)度為l，下端懸掛質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的小球.以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示直角坐標(biāo)系Oxyz.

圖1 彈性桿做水平支撐桿的單擺模型圖

從某一角度θ釋放擺球，擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中通過(guò)擺線擠壓或拉伸彈性桿，彈性桿在水平面內(nèi)發(fā)生形變.這里我們將彈性桿在水平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化成沿x軸和沿y軸兩個(gè)垂直方向上彈簧運(yùn)動(dòng)的耦合.簡(jiǎn)化理由是設(shè)擺球的振蕩頻率為ω，彈簧振子的固有頻率為ω0，彈簧振子受到擺球通過(guò)擺線耦合的周期性作用力為fsin(ωt+φ)，則彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

對(duì)于一般的彈性桿而言，存在ω<<ω0，則在一段比較小的時(shí)間內(nèi)可以近似認(rèn)為彈簧振子受到的作用力為恒力，則彈簧的位移和速度可以分別表示為

(2)

(3)

相當(dāng)于該彈簧振子以自身的固有頻率ω0做高頻振蕩，而該高頻振蕩的平衡位置又隨著擺球施加的周期性作用力做頻率為ω的低頻振蕩.又由于ω<<ω0，則速度表達(dá)式中低頻項(xiàng)近似可以忽略，故可認(rèn)為彈簧振子以其自身固有頻率做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).設(shè)沿著支撐桿方向擺放的彈簧勁度系數(shù)為kx，垂直于桿方向的彈簧勁度系數(shù)為ky，懸點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)彈簧振子運(yùn)動(dòng)的疊加，如圖2所示.

圖2 彈性桿的二維簡(jiǎn)化模型

1.2 保守系拉格朗日方程

空氣阻力F的計(jì)算公式[7]為

(4)

式中C、ρ、S、v分別為空氣阻力系數(shù)、空氣密度、物體迎風(fēng)面積、物體速度.

實(shí)驗(yàn)使用的擺球用砝碼代替，迎風(fēng)面積S=5.4 cm2，砝碼質(zhì)量m=50 g，空氣密度ρ=1.2 kg/m3，空氣阻力系數(shù)C=1.0.當(dāng)擺球的運(yùn)動(dòng)速度v=1 m/s時(shí)，空氣阻力F=0.0003 N.該力的大小僅相當(dāng)于擺球重力的0.61 ‰。因此理論分析中可以忽略空氣阻力的影響，近似認(rèn)為該單擺體系為理想保守系.

首先對(duì)沿著桿的軸向釋放擺球的情況進(jìn)行分析.設(shè)x，y，z軸方向上的單位向量分別為i,j,k, 彈性桿沿著x軸水平放置，擺球在Oxz平面內(nèi)釋放.設(shè)懸點(diǎn)A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為r=x(t)i+y(t)j，兩個(gè)等效彈簧的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成：x(t)=Axcosωxt，y(t)=AysinωyA，式中A，ω分別是彈簧振幅和振動(dòng)頻率.由幾何關(guān)系得到擺球運(yùn)動(dòng)方程為

R=r+lsinθcosφi+lsinθsinφj-lcosθk

(5)

擺球的動(dòng)能為

(6)

考慮到在后續(xù)拉格朗日方程的計(jì)算中，上式中的動(dòng)能交叉項(xiàng)遠(yuǎn)小于動(dòng)能的非交叉項(xiàng)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略上式交叉項(xiàng)，化簡(jiǎn)為

(7)

系統(tǒng)總勢(shì)能U等于擺球重力勢(shì)能與兩個(gè)彈簧的彈性勢(shì)能之和，即

(8)

對(duì)選取的4個(gè)廣義坐標(biāo)x、y、θ、φ列寫(xiě)拉格朗日方程，代入化簡(jiǎn)最終得到描述擺球運(yùn)動(dòng)的微分方程組：

(9)

對(duì)于擺球在Oyz平面內(nèi)釋放情況類(lèi)似，其運(yùn)動(dòng)的微分方程為

(10)

下面我們?cè)谔囟ǖ膶?shí)驗(yàn)參數(shù)下對(duì)上述方程進(jìn)行數(shù)值求解.擺球用標(biāo)準(zhǔn)砝碼代替，假設(shè)擺球沿軸向釋放，擺線長(zhǎng)l=19.00 cm，擺球質(zhì)量m=50 g，初始擺角θ=70.8°，支撐桿為縱紋木桿，E=10 Gpa，I=52.08 mm4，且質(zhì)量ms=11.04 g，長(zhǎng)度為22.85 mm，橫截面積S=25 mm2，懸點(diǎn)A的Ax=0.1 mm，ωx=3.15×104rad/s，Ay=0，ωy=4.87×103rad/s.將以上參數(shù)帶入到MATLAB數(shù)值計(jì)算程序中進(jìn)行求解，得到擺球的理論俯視軌跡圖如圖3所示，其中橫坐標(biāo)x方向?yàn)橹螚U的軸向，縱坐標(biāo)y方向?yàn)橹螚U的切向.該圖說(shuō)明了當(dāng)支撐桿為彈性桿時(shí)，從桿的軸向釋放擺球，擺球的俯視軌跡會(huì)按照類(lèi)似一系列進(jìn)動(dòng)的橢圓軌道的形式逐漸轉(zhuǎn)變擺動(dòng)方向，實(shí)現(xiàn)整個(gè)平面內(nèi)擺動(dòng).分位移圖如圖4所示，可以更直觀地看出擺球擺動(dòng)時(shí)，其軸向分位移和切向分位移呈現(xiàn)周期性的交替消長(zhǎng)的變化趨勢(shì).

圖3 軸向釋放擺球時(shí)，擺球的理論俯視軌跡

2 實(shí)驗(yàn)部分

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，器材為鐵架臺(tái)，砝碼，棉線，木桿，硬質(zhì)PVC桿.其中右側(cè)鐵架臺(tái)為主實(shí)驗(yàn)裝置，左側(cè)鐵架臺(tái)通過(guò)棉線與砝碼綁緊，作為擺球初始釋放輔助裝置.實(shí)驗(yàn)中采用剪斷棉線的方法來(lái)釋放砝碼，避免手動(dòng)釋放砝碼帶來(lái)的附加速度和角度偏差.我們通過(guò)改變擺球的初始釋放角、擺線長(zhǎng)度和支撐桿的楊氏模量，分析這三個(gè)參數(shù)對(duì)擺球的振動(dòng)方向在兩個(gè)垂直方向(即支撐桿的軸向和切向)之間轉(zhuǎn)化的時(shí)間以及擺球軌跡的影響.在數(shù)據(jù)記錄分析方面，我們選擇以單個(gè)鐵架臺(tái)兩腳之間的直線距離作為長(zhǎng)度參照，并利用手機(jī)相機(jī)以每秒29幀的速率記錄俯視方向上擺球運(yùn)動(dòng)的軌跡(將攝像頭固定在懸點(diǎn)的正上方，微調(diào)攝像頭的位置使其正對(duì)著支撐桿的中軸線，并調(diào)好焦距).然后使用視頻分析軟件TRACKER追蹤每一幀擺球的位置坐標(biāo)(如圖6所示)，再將數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB，對(duì)比分析理論曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖6 TRACKER軟件分析視頻窗口

2.1 改變初始釋放角

支撐桿選用縱紋木桿，其楊氏模量為E=10 Gpa，質(zhì)量為ms=11.04 g，長(zhǎng)度為l1=31.10 cm，橫截面積S=25 mm2.單擺擺線長(zhǎng)l=22.85 cm，擺球質(zhì)量m=50 g.實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)沿著支撐桿的切向釋放擺球，并改變擺球的初始釋放角.

圖7(a)與7(b)分別展示了初始釋放角為39.2°和30.8°時(shí)擺球的切向分位移圖.從圖中可以看出在擺球的振蕩過(guò)程中，其切向分位移的幅度在振蕩衰減.當(dāng)釋放角為39.2°時(shí)，擺球在釋放后40秒左右切向分位移減小到0 cm，即擺球振動(dòng)的方向從沿著支撐桿的切向完全轉(zhuǎn)化為沿桿的軸向.當(dāng)釋放角為30.8°時(shí)擺球在44秒左右其切向分位移同樣減小到0 cm.同時(shí)由于理論分析中忽略了空氣阻力以及實(shí)際器械各部分連接處摩擦力的影響，圖7(a)與7(b)中理論曲線的幅度都比實(shí)際軌跡的幅度略大.

定義擺球從桿的軸向(切向)釋放開(kāi)始，到其運(yùn)動(dòng)方向剛好轉(zhuǎn)變?yōu)檠貤U的切向(軸向)的時(shí)間為擺球運(yùn)動(dòng)方向的轉(zhuǎn)化時(shí)間.同理，擺球運(yùn)動(dòng)方向的理論轉(zhuǎn)化時(shí)間為從Oxz(Oyz)平面內(nèi)釋放擺球開(kāi)始，到擺球在該振蕩平面內(nèi)的分位移幅度衰減為0的這段時(shí)間，實(shí)驗(yàn)中可通過(guò)觀察擺球運(yùn)動(dòng)方向剛好轉(zhuǎn)過(guò)90度來(lái)得到實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)化時(shí)間.進(jìn)一步地，將從不同角度釋放擺球時(shí)，擺球的理論轉(zhuǎn)化時(shí)間和實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)化時(shí)間列在表1中.從表中可以看出在相對(duì)誤差較小的情況下，初始釋放角越大，轉(zhuǎn)化時(shí)間越短.理論轉(zhuǎn)化時(shí)間隨釋放角的變化曲線和實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)點(diǎn)如圖8所示，同樣可以看出釋放角越大，擺球振動(dòng)方向從支撐桿的切向完全轉(zhuǎn)化為軸向的時(shí)間越短.

圖7 從支撐桿的切向沿著不同擺角釋放 擺球時(shí)，擺球的切向分位移圖

表1 不同初始釋放角時(shí)擺球運(yùn)動(dòng)方向的實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)化時(shí)間以及理論轉(zhuǎn)化時(shí)間

圖8 擺球運(yùn)動(dòng)方向的轉(zhuǎn)化時(shí)間隨初始釋放角的變化

2.2 改變不同擺長(zhǎng)

保持?jǐn)[球質(zhì)量m=50 g，支撐桿為縱紋木桿，楊氏模量E=10 Gpa，質(zhì)量ms=11.04 g，長(zhǎng)度l1=31.10 cm，橫截面積S=25 mm2，初始釋放角θ=39.2°.實(shí)驗(yàn)過(guò)程中沿著支撐桿切向方向釋放擺球，并改變單擺的擺線長(zhǎng)度.

圖9 在不同擺線長(zhǎng)度下從支撐桿的切向釋放擺球時(shí)，擺球的切向分位移圖

圖9(a)與9(b)分別展示了擺線長(zhǎng)分別為31.1 cm和22.7 cm時(shí)擺球的切向分位移圖.從圖中可以看出當(dāng)擺線長(zhǎng)在31.1 cm時(shí)，擺球在38秒左右切向分位移減小到0 cm；當(dāng)擺線長(zhǎng)在22.7 cm時(shí)擺球運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化時(shí)間在30秒左右.

針對(duì)31.1 cm, 22.7 cm, 11.3 cm和3.1 cm長(zhǎng)度的擺線，擺球的理論轉(zhuǎn)化時(shí)間和實(shí)際轉(zhuǎn)化時(shí)間列在表2中，從表中可以看出擺線長(zhǎng)度越短，轉(zhuǎn)化時(shí)間越短.同時(shí)做出理論轉(zhuǎn)化時(shí)間隨擺線長(zhǎng)的變化曲線和實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)點(diǎn)如圖10所示，圖10表明擺線長(zhǎng)度越短，擺球振動(dòng)方向從切向完全轉(zhuǎn)化為軸向的時(shí)間越短.

表2 不同擺線長(zhǎng)度時(shí)擺球運(yùn)動(dòng)方向的實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)化時(shí)間以及理論轉(zhuǎn)化時(shí)間

圖10 擺球運(yùn)動(dòng)方向的轉(zhuǎn)化時(shí)間隨擺線長(zhǎng)度的變化

2.3 改變支撐桿材料

保持?jǐn)[線長(zhǎng)l=21.10 cm，擺球質(zhì)量m=50 g，支撐桿長(zhǎng)度l1=31.10 cm，橫截面積S=25 mm2,初始釋放角θ=39.2°不變.實(shí)驗(yàn)過(guò)程中沿著桿切向方向釋放擺球，并改變支撐桿的材料.

圖11(a)與11(b)分別展示了采用縱紋木桿(楊氏模量E1=10 Gpa)和硬質(zhì)PVC桿(楊氏模量E2=0.24 Gpa)作為支撐桿時(shí)擺球的切向分位移圖.從圖中可以看出當(dāng)支撐桿是縱紋木桿時(shí)，擺球在38秒左右切向分位移減小到0 cm；當(dāng)支撐桿是硬質(zhì)PVC桿時(shí)，擺球的轉(zhuǎn)化時(shí)間在20秒左右.

由此得到使用上述兩種不同材料的支撐桿的情況下，擺球的理論轉(zhuǎn)化時(shí)間和實(shí)際轉(zhuǎn)化時(shí)間如表3所示.從表中可以看出支撐桿的彈性越大，擺球運(yùn)動(dòng)方向的轉(zhuǎn)化時(shí)間越短.在圖12中做出理論轉(zhuǎn)化時(shí)間隨彈性桿楊氏模量的變化曲線，同樣可以看出擺球從切向到軸向運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化時(shí)間與支撐桿的彈性成負(fù)相關(guān).

圖11 從不同材料支撐桿的切向釋放擺球時(shí)，擺球的切向分位移圖

表3 不同材料支撐桿下擺球運(yùn)動(dòng)方向的實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)化時(shí)間以及理論轉(zhuǎn)化時(shí)間

圖12 擺球運(yùn)動(dòng)方向的轉(zhuǎn)化時(shí)間隨彈性桿楊氏模量的變化

3 小結(jié)

本文首先將水平彈性支撐桿的平面運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)垂直方向上彈簧運(yùn)動(dòng)，在驗(yàn)證了外界阻尼可忽略的前提下利用保守系拉格朗日方程得到擺球運(yùn)動(dòng)的微分方程組，通過(guò)數(shù)值計(jì)算給出單擺運(yùn)動(dòng)的軌跡圖及轉(zhuǎn)化時(shí)間等關(guān)鍵參數(shù)，進(jìn)而系統(tǒng)地總結(jié)出彈性支撐桿下單擺運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.

同時(shí)采用實(shí)驗(yàn)室常見(jiàn)器材進(jìn)行實(shí)驗(yàn).針對(duì)支撐桿為彈性桿時(shí)，擺球沿桿軸向和切向運(yùn)動(dòng)的自發(fā)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，研究了初始釋放角，擺線長(zhǎng)度和支撐桿彈性系數(shù)對(duì)擺球運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化時(shí)間的影響，取得如下主要結(jié)論：

1) 初始釋放角越大，轉(zhuǎn)化時(shí)間越短；

2) 擺長(zhǎng)越短，轉(zhuǎn)化時(shí)間越短；

3) 彈性桿彈性越大，轉(zhuǎn)化時(shí)間越短.

4 致謝

感謝劉瑞豐、趙述敏、劉萍、李榮、孔春才等指導(dǎo)老師，是他們的嚴(yán)格要求和悉心的指導(dǎo)使本文逐步完善.感謝袁識(shí)博、蔣施達(dá)同學(xué)對(duì)于理論分析的幫助.感謝張俊武、王雪冬老師對(duì)于實(shí)驗(yàn)的幫助.