有質(zhì)彈簧緩慢腐蝕過(guò)程中的浸漸不變量及其電學(xué)推廣

范洪義，陳俊華，吳 澤

(1. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 材料科學(xué)與工程系，安徽 合肥 230026；2. 合肥工業(yè)大學(xué) 電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院 物理系，安徽 合肥 230026；3. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代物理系，安徽 合肥 230026 )

量子力學(xué)除了有薛定諤的波動(dòng)力學(xué)表述、海森堡的矩陣力學(xué)表述(這兩種表述被狄拉克視為同一，并發(fā)展為符號(hào)法)和費(fèi)曼的路徑積分表述外，還有一種常用的是相空間表述[1]，相空間的維數(shù)是系統(tǒng)的自由度的兩倍.可以說(shuō)，玻爾-索末菲作用量的量子化(舊量子理論)就是在相空間中進(jìn)行的.系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的相空間描述的方式有利于“絕熱不變量”(或稱為浸漸不變量)的討論.力學(xué)系統(tǒng)在外部條件無(wú)限緩慢改變(外來(lái)干擾)下的進(jìn)程叫做“絕熱”的[2,3,4].相對(duì)于外來(lái)干擾而言，需要加以量子化的量[5]，從經(jīng)典力學(xué)層面上看必須是對(duì)外來(lái)干擾不敏感的量.愛(ài)因斯坦曾經(jīng)提出絕熱不變量的概念，即在絕熱過(guò)程中它是一個(gè)不變量.玻爾的原子軌道量子化也是受浸漸不變量的影響.

本文想到這樣一個(gè)物理問(wèn)題：現(xiàn)實(shí)生活中充滿風(fēng)雨陰晦，金屬?gòu)椈稍诳諝夂陀晁g下緩慢腐蝕，剛度逐漸變小，或說(shuō)勁度系數(shù)逐漸變化.于是就產(chǎn)生了一個(gè)有趣的物理問(wèn)題.在彈簧緩慢腐蝕過(guò)程中，什么是浸漸不變量(或稱為絕熱不變量)? 本文求出這個(gè)問(wèn)題的浸漸不變量，再將它推廣到介觀電容-電感回路的一種緩變情形，即討論電解質(zhì)電容中的電解液緩慢改變的情形下，什么是浸漸不變量.

1 彈簧緩慢腐蝕過(guò)程中的浸漸不變量

(1)

系統(tǒng)能量

腐蝕不但使得彈簧剛度k變小，也使得彈簧質(zhì)量m變小，所以緩慢腐蝕引起的能量改變是

上式在平均意義下也成立.注意到平均勢(shì)能與平均動(dòng)能各占總能量的一半，所以有

鑒于

所以

積分得到

(2)

2 平行板電容器中的電解質(zhì)液體緩慢腐蝕情形下的浸漸不變量

假設(shè)電路的電容是板面積為A的兩平行板電容器，相距d，填滿介電常數(shù)為ε的材料，那么電容是

每塊板帶電為Q，根據(jù)電磁學(xué)知識(shí)，電容器儲(chǔ)能：

分開(kāi)兩塊板所需的作用力作功：

所以一個(gè)板對(duì)另一塊板的作用力F為

所以

積分得到

(3)

所以E/ω是相應(yīng)的浸漸不變量.

上述電容電介質(zhì)腐蝕的情況也可以推廣到討論磁介質(zhì)磁導(dǎo)率的退化情形下的浸漸不變量，因情況類(lèi)似，此處不詳述.