球面平均值函數(shù)及其微分方程的推導(dǎo)

蔡 俊，李 敏，王 群

(江蘇師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

三維波動初值問題(柯西問題)是數(shù)學(xué)物理方法課程的重要教學(xué)內(nèi)容[1-8], 該問題的求解為物理學(xué)后續(xù)課程中討論電磁波的輻射[9]等問題提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)物理方法教材中，該定解問題常見的求解方法包括球面平均法[1-5]、傅里葉變換法[6]、一維-三維類比法[7，8]等. 泊松最早提出利用球面平均法求解該問題. 求解過程中, 將三維問題巧妙“降維”為一維問題來求解, 體現(xiàn)了高超的數(shù)學(xué)思想與求解技巧.

在求解三維波動初值問題前, 教材已經(jīng)對一維無界與半無界波動初值問題進(jìn)行了討論, 這為三維問題的求解提供了借鑒. 然而在三維問題討論中, 維度的增加導(dǎo)致問題復(fù)雜性陡增, 學(xué)生往往不易領(lǐng)會球面平均法的求解要領(lǐng). 深入理解球面平均法, 有利于突破高維坐標(biāo)系下求解數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)障礙.

教學(xué)過程中, 我們發(fā)現(xiàn)對球面平均值函數(shù)定義的闡釋, 以及對平均值函數(shù)滿足的微分方程的推導(dǎo), 是理解球面平均法的關(guān)鍵. 本文討論球面平均值的定義, 闡明球面平均值對多個變量的依賴關(guān)系, 并在教材常見推導(dǎo)方法基礎(chǔ)上, 提出一種更簡潔的推導(dǎo)方法. 通過本文的討論, 可以澄清球面平均值函數(shù)的定義, 為理解球面平均法以及球坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)物理方程的其他討論提供參考.

1 球面平均值的定義

三維波動方程初值問題表示為

(1)

這里u(x,y,z,t)表示空間坐標(biāo)為(x,y,z)的M點在t時刻相對平衡位置的波動位移；φ(x,y,z)和ψ(x,y,z)分別為初始時刻的波動位移和波動速度的大小.在球?qū)ΨQ情形, 三維問題可以簡化為一維半無界波動問題[4].一般性的三維波動初值問題沒有球?qū)ΨQ性.受波的傳播具有球?qū)ΨQ性的啟示, 泊松引入球面平均值來處理該問題[5].球面平均值定義為

(2)

圖1 球面示意圖

以M點為坐標(biāo)原點, 建立球坐標(biāo)系M-rθφ, 易知

(3)

球面上面積元dS=r2sinθdθdφ=r2dω, 這里dω為立體角元, 也即單位球面上的面積元.代入式(2)后, 球面平均值的定義也可寫成

(4)

(5)

(6)

對直角坐標(biāo)的運算也可以類似給出

(7)

2 建立球面平均值方程的新方法

(8)

等式的左邊, 交換對空間坐標(biāo)積分與對時間偏導(dǎo)的運算順序, 并代入球面平均值的定義, 得到

(9)

在等式的右邊, 為了代入球面平均值的定義, 需要應(yīng)用高斯定理, 經(jīng)整理后可得(具體過程參考教材[1,2])

(10)

左右聯(lián)立, 得到

(11)

因上式左邊仍包含對參量r1的積分, 為此將等式兩邊同時對r求導(dǎo), 再移項得

(12)

上式右邊對球面平均值的運算, 即為球坐標(biāo)系下拉普拉斯算符中對徑向坐標(biāo)r的運算算符.可見球面平均值滿足球?qū)ΨQ情形球坐標(biāo)系下的三維波動方程.為進(jìn)一步化簡, 對坐標(biāo)r的運算可改寫成

(13)

整理后得到球面平均值滿足的一維波動方程:

(14)

(15)

在上式左邊, 交換運算順序, 并代入球面平均值的

定義, 得到

(16)

在式(15)的右邊, 包含對Δu的球面積分運算.拉普拉斯算符為求導(dǎo)運算算符, 考慮到求導(dǎo)運算是局域運算[10], 與坐標(biāo)原點位置的選取無關(guān), 因此可將Δu在M為坐標(biāo)原點的坐標(biāo)系進(jìn)行運算而不影響計算結(jié)果.此外, 考慮到積分在球面上進(jìn)行, 顯然應(yīng)用球坐標(biāo)系較為方便, 因此我們將式(15)右邊在球坐標(biāo)系M-rθφ中表示出來

(17)

上式右邊的被積函數(shù)中, 包含u對r,θ,φ三個坐標(biāo)分別進(jìn)行的偏導(dǎo)運算.對被積函數(shù)的這三項分別積分, 計算如下

(18)

(19)

(20)

(21)

聯(lián)立式(16)與(21), 也得到球面平均值滿足的式(14).

以上推導(dǎo)中, 在球坐標(biāo)系下將拉普拉斯算符代入, 對Δu的球面積分進(jìn)行了直接計算.由于避免了對徑向坐標(biāo)r進(jìn)行重復(fù)性的積分與求導(dǎo)運算, 因此比教材中的推導(dǎo)更加簡潔.此外, 該推導(dǎo)過程有利于學(xué)生熟悉球坐標(biāo)系下拉普拉斯算符的運算以及球坐標(biāo)系下函數(shù)的自然周期性, 為后續(xù)學(xué)習(xí)球坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)物理方程的分離變量埋下伏筆.

3 總結(jié)

本文討論了球面平均值函數(shù)的定義, 闡明了該函數(shù)對球心M點的位置坐標(biāo)(x,y,z)、球面半徑r、時間變量t等5個自變量的依賴關(guān)系.為建立球面平均值滿足的方程, 本文梳理了教材中的推導(dǎo), 在此基礎(chǔ)上提出在球坐標(biāo)系直接完成球面積分, 從而更簡潔地建立球面平均值滿足的方程.本文的討論有利于理解球面平均法求解三維波動初值問題的數(shù)學(xué)思想和求解過程, 并為球坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)物理方程的其他討論提供參考.