雙半圓柱平行電極系統(tǒng)的電場(chǎng)及其數(shù)值模擬

王福謙， 于學(xué)東

（四川西南航空職業(yè)學(xué)院機(jī)務(wù)學(xué)院，成都610400）

0 引 言

雙半圓柱平行電極系統(tǒng)常用于二維電化學(xué)電池電流和電致化學(xué)發(fā)光強(qiáng)度等問(wèn)題的研究［1-2］，但對(duì)該電極系統(tǒng)本身的電場(chǎng)分布的討論，相關(guān)文獻(xiàn)還未見(jiàn)報(bào)道。本文擬將保角變換、理論計(jì)算及計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究雙半圓柱平行電極系統(tǒng)的電場(chǎng)，給出其電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)，通過(guò)軟件Matlab繪制其電場(chǎng)線和等勢(shì)線圖，計(jì)算其兩極的最大場(chǎng)強(qiáng)，并分析其最大場(chǎng)強(qiáng)隨電極參數(shù)的變化規(guī)律。

利用保角映射將具有復(fù)雜邊界形狀的區(qū)域映射為簡(jiǎn)單邊界形狀的區(qū)域［3-10］，將雙半圓柱平行電極及邊界所形成的復(fù)雜形狀邊界的區(qū)域變換為矩形域，則電極所形成的非均勻場(chǎng)就變換為均勻場(chǎng)，再將均勻場(chǎng)中得到的電勢(shì)分布函數(shù)反變換至原求解區(qū)域，便可得到雙半圓柱平行電極系統(tǒng)的電勢(shì)分布函數(shù)，繼而討論該電極的場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)。

1 電勢(shì)分布與場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)

有位于絕緣板上的兩平行放置的半圓柱電極，其邊界分別為Γ1和Γ2，半徑分別為r1和r2，電極間距為g，左、右兩電極的電勢(shì)分別為-φ0和φ0，其橫截面如圖1所示。

圖1 雙半圓柱平行電極的橫截面

因在垂直于雙半圓柱面母線的所有截面上的電場(chǎng)分布均相同，故本文所研究的電場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。為方便地求出雙半圓柱平行電極的電場(chǎng)分布，通過(guò)保角變換將雙電極及邊界所形成的復(fù)雜形狀區(qū)域變換為矩形域［1］。通過(guò)分式變換函數(shù)

式中：

將圖1所示的區(qū)域變換為半圓環(huán)形區(qū)域，如圖2所示。再作如下的對(duì)數(shù)變換

圖2 保角變換后半圓環(huán)區(qū)域

將如圖2所示的區(qū)域變換為矩形區(qū)域，且兩半圓柱電極映射矩形的左右兩個(gè)邊，如圖3所示。

圖3 變換后矩形區(qū)域

由變換式（1）、（2）可得

因在ζ平面上變換后的兩電極之間的電場(chǎng)為均勻電場(chǎng)，則在該平面上兩電極之間的電勢(shì)分布為

將式（3）、（4）代入式（5），得

式（7）為雙半圓柱平行電極所形成電場(chǎng)的電勢(shì)函數(shù)表達(dá)式。 Δ

由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系E=-φ，利用式（7）可得

式（8）為雙半圓柱平行電極電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)表達(dá)式。

2 場(chǎng)分布的數(shù)值模擬及電極形狀蛻變的特殊情形的討論

2.1 場(chǎng)分布的數(shù)值模擬

為給出雙半圓柱平行電極的電場(chǎng)分布圖的直觀圖像，以驗(yàn)證本文所得結(jié)論的正確性，下面用軟件Matlab對(duì)該電場(chǎng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬，其三維電勢(shì)分布圖和橫截面上的電場(chǎng)線和等勢(shì)線的分布見(jiàn)圖4、5（取U=100 V）。由圖5可見(jiàn)：電場(chǎng)線與等勢(shì)線及導(dǎo)體邊界均垂直，場(chǎng)線分布正確，為預(yù)期結(jié)果。

圖4 雙半圓柱平行電極的電場(chǎng)三維電勢(shì)分布（r1=10 m，r2=8 m，g=5 m，U=100 V）

圖5 雙半圓柱平行電極的電場(chǎng)（r1=10 m，r2=8 m，g=20 m，U=100 V）

2.2 幾種特殊情形的電場(chǎng)分布

當(dāng)雙半圓柱平行電極間的距離g=20 m，U=100 V，電極半徑取一些特殊值時(shí)，可得到幾種特殊情形下的電場(chǎng)分布，現(xiàn)討論如下：

（1）當(dāng)r1=r2=10 m時(shí)，此情形的電場(chǎng)為兩半徑相等的雙半圓柱平行電極的電場(chǎng)（見(jiàn)圖6）；

圖6 等半徑的雙半圓柱平行電極的電場(chǎng)

（2）r1=10 m、r2=0.01 m時(shí)，此情形的可視為帶電半圓柱荷和與之平行的線電荷所形成的電場(chǎng)（見(jiàn)圖7）；

圖7 半圓柱與平行線電荷所形成的電場(chǎng)

（3）當(dāng)r1=r2=0.001 m時(shí)，此情形的電場(chǎng)可視為放置在絕緣平面上的兩平行線電荷所形成的電場(chǎng)（見(jiàn)圖8）。

圖8 置于絕緣平面上的平行線電荷所形成的電場(chǎng)

兩半徑相等的雙半圓柱平行電極的電場(chǎng)、帶電半圓柱荷和與之平行的線電荷所形成的電場(chǎng)及放置在絕緣平面上的兩平行線電荷所形成的電場(chǎng)，均為本文所討論問(wèn)題的特例，本文的研究結(jié)論具有一定的普遍性。

3 電極電場(chǎng)的最大場(chǎng)強(qiáng)分析

3.1 電極電場(chǎng)的最大場(chǎng)強(qiáng)

雙半圓柱平行電極底部邊緣的曲率最大，再結(jié)合場(chǎng)分布模擬結(jié)果（見(jiàn)圖5），知其場(chǎng)強(qiáng)最大處位于兩半圓柱底部相對(duì)處的A、B兩點(diǎn)，如圖9所示。

圖9 雙半圓柱平行電極的電場(chǎng)強(qiáng)度最大位置處A、B

對(duì)于電極Γ1右側(cè)底部A處，有x=r1，y=0，由式（8），得

對(duì)于電極Γ2左側(cè)底部B處，有x=r1+g，y=0，由式（8），得

3.2 EA、EB隨r1、g及r2變化變化規(guī)律

圖10、11所示分別為用軟件Matlab描繪出EA、EB隨r1、g及r2變化的圖像，實(shí)現(xiàn)了EA、EB隨r1、g及r2變化規(guī)律的可視化。

圖10 E A隨r1、g、r2的變化趨勢(shì)

由圖10可見(jiàn)，當(dāng)g和r2保持不變時(shí)，隨著r1的增大，電極A處的曲率邊小，電荷面密度減小，其表面附近的場(chǎng)強(qiáng)EA也減小；由圖11可見(jiàn)，當(dāng)r1和r2保持不變時(shí)，隨著g的增大，A處的電荷面密度減小，其表面附近的場(chǎng)強(qiáng)EA也減小；由圖12可見(jiàn)，當(dāng)r1和g保持不變時(shí)，隨著r2的增大，A處的電荷面密度增大，其表面附近的場(chǎng)強(qiáng)也增大，且r2增至較大值時(shí)，EA隨r2緩慢增加，并趨于一個(gè)確定值。由圖13～15可見(jiàn)，EB隨r1、g和r2的變換規(guī)律與EA相同。

圖11 EB隨r1、g、r2的變化圖像

4 結(jié) 語(yǔ)

本文將保角變換、理論計(jì)算及計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了雙半圓柱平行電極系統(tǒng)的電場(chǎng)，得到了其電勢(shì)分布和場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)，并利用Matlab軟件對(duì)場(chǎng)分布進(jìn)行了數(shù)值模擬，給出了場(chǎng)分布的直觀圖像，為邊界形狀復(fù)雜的電極的電場(chǎng)分布問(wèn)題的求解提供了一種新的方法，在科研上具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值。