方柱間液氣交界面形狀研究

張萬(wàn)秋，譚棟文，周新平,2

(1.華中科技大學(xué)，湖北 武漢 430074； 2.浙江大學(xué) 流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027)

毛細(xì)現(xiàn)象在自然界較為常見(jiàn)，比如：水黽水面行走、植物種子漂浮、浮萍聚集；在工業(yè)界也有著比較廣泛的應(yīng)用，比如：噴灑反濕潤(rùn)噴霧防止眼鏡和車(chē)窗上的水汽遮擋視線、油墨打印技術(shù)、毛細(xì)光刻技術(shù)等。在表面張力作用下液體會(huì)在固體表面變形[1-5]，固體周?chē)簹饨缑嫘螤钣深w粒重力、毛細(xì)力、液體壓力決定，與其表面接觸角、密度、尺寸形狀有關(guān)。當(dāng)兩個(gè)固體顆粒逐漸靠近時(shí)，它們之間存在相互作用力，每個(gè)顆粒周?chē)囊簹饨缑嫘螤钜苍诓粩嗟母淖儯谀芰孔钚r(shí)達(dá)到平衡狀態(tài)。

多個(gè)固體在液面上時(shí)，液體表面因變形產(chǎn)生的毛細(xì)作用力會(huì)制約固體的自由運(yùn)動(dòng)。固體之間液氣交界面形狀決定了兩者之間的相互作用力。Uzi等[6]基于線性疊加假設(shè)，研究了漂浮顆粒之間的橫向毛細(xì)作用力。Sasai[7]基于線性公式求解了漂浮在熔融態(tài)鋼液表面上的三氧化二鋁渣粒之間的毛細(xì)吸引力。Danov和Kralchevsky[8]基于線性假設(shè)開(kāi)展了毛細(xì)多極子理論研究工作。然而，線性化處理在不滿足小坡度假設(shè)的情況下可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的失真，最小能量法可以避免這個(gè)問(wèn)題。Dushkin[9]研究了兩個(gè)圓柱(圓球)之間的毛細(xì)受力情況，使用線性化方法簡(jiǎn)化楊-拉普拉斯方程，略去非線性項(xiàng)。Raufaste等[10]則基于最小能量法計(jì)算了傾斜圓柱的液氣交界面形狀，使用最小能量法在結(jié)果上等價(jià)于求解完全的楊-拉普拉斯方程，具備較好的精度。對(duì)于方柱彎月面形狀的研究還比較缺乏，本文使用最小能量法，研究?jī)蓚€(gè)方柱間液氣交界面的形狀隨著放置方向、間距、接觸角、邦德數(shù)的不同而變化的情況，在方法上具備良好的精度，能對(duì)研究方形物體的彎月面形狀帶來(lái)一定的啟示。

1 模型

當(dāng)液體潤(rùn)濕固體表面時(shí)，系統(tǒng)的總能量W包括重力勢(shì)能Wg、液體表面能Wm和壁面潤(rùn)濕能Ww。穩(wěn)定的彎月面構(gòu)型在系統(tǒng)總能量最小的時(shí)候取得?？梢圆捎米兎址ㄍ茖?dǎo)出非線性的楊-拉普拉斯方程，但一般情況下該非線性彎月面方程難以求解，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，常采用基于線性化假設(shè)的處理方法。也可以通過(guò)直接數(shù)值求解系統(tǒng)的最小能量來(lái)找到對(duì)應(yīng)的彎月面構(gòu)型。本文采用有限元軟件Surface Evolver(SE)[11]進(jìn)行數(shù)值求解，得到系統(tǒng)最小能量對(duì)應(yīng)的彎月面構(gòu)型。重力勢(shì)能Wg為體積分形式，而液體表面能Wm和壁面潤(rùn)濕能Ww都為面積分形式。在SE中，將系統(tǒng)的重力勢(shì)能項(xiàng)Wg從體積分形式轉(zhuǎn)化為面積分形式，而對(duì)于壁面潤(rùn)濕能項(xiàng)Ww，將其從壁面處的面積分形式轉(zhuǎn)化為線積分形式。

采用SE計(jì)算時(shí)，需要確定計(jì)算域的幾何條件，進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并對(duì)點(diǎn)、線、單元按一定的順序和方向編排序號(hào)。定義方柱中軸與x軸(水平方向)的夾角為方位角α。圖1所示為兩柱方位角都為0°(兩方柱邊對(duì)邊放置)條件下計(jì)算域網(wǎng)格劃分示意圖。圖1中：線段1、2、3、4和5、6、7、8分別表示兩個(gè)方柱的壁面邊界線，需要根據(jù)方柱的形狀參數(shù)設(shè)定幾何約束；線段9、10、11、12為計(jì)算域遠(yuǎn)場(chǎng)的邊界，無(wú)須設(shè)置幾何約束。編寫(xiě)相關(guān)文件并運(yùn)行計(jì)算，可以得到彎月面最終構(gòu)型。

圖1 當(dāng)兩個(gè)方柱的方位角α=0°時(shí)的計(jì)算域網(wǎng)格劃分示意圖

通過(guò)改變幾何或物理參數(shù)，如方柱中心間距D、方位角α、接觸角θ和重力加速度g，可以得到不同條件下的彎月面構(gòu)型。以標(biāo)準(zhǔn)狀況下的水為研究對(duì)象，水密度ρ=1 000 kg/m3，表面張力系數(shù)γ=0.072 N/m，并假設(shè)兩個(gè)方柱具有相同的條件，即具有相同的邊長(zhǎng)、方位角和固液接觸角，并令邊長(zhǎng)為固定值L=2.7 mm，定義無(wú)量綱參數(shù)邦德數(shù)Bo=ρgL2/γ來(lái)表征重力加速度的變化。

2 結(jié)果與討論

當(dāng)SE計(jì)算收斂時(shí)，所形成的穩(wěn)定彎月面構(gòu)型如圖2所示。根據(jù)主視圖，彎月面高度變化類(lèi)似于一個(gè)馬鞍形，關(guān)注“馬鞍”的中點(diǎn)，令方柱中心線連線中點(diǎn)的彎月面高度為Hm，并觀察Hm隨不同參數(shù)的變化。SE計(jì)算收斂時(shí)的結(jié)果如圖2所示。當(dāng)兩個(gè)方柱的對(duì)應(yīng)對(duì)稱(chēng)軸之間的夾角改變時(shí)，彎月面形狀也將隨之改變。

圖2 當(dāng)α=0°，θ=30° D=2.5 L，Bo=1時(shí)的SE計(jì)算結(jié)果

圖3比較了α=0° (邊對(duì)邊放置)和α=45°(尖對(duì)尖放置)兩種條件下Hm隨D的變化。由圖3可以看出：隨著方柱逐漸靠近，中心高度增加；方柱間距足夠遠(yuǎn)時(shí)，對(duì)兩個(gè)方柱之間彎月面中心高度的影響較小。隨著兩方柱逐漸靠近，兩者之間的毛細(xì)作用變強(qiáng)，中間自由面的凸起變大；另外，在兩方柱間距較小的情況下，與α=0°條件相比，α=45°條件下的Hm有明顯的增加。

圖3 當(dāng)θ=30°，Bo=1時(shí)，在α=0°和α=45° 兩種條件下的Hm隨D的變化

毛細(xì)相互作用與接觸角有關(guān)。為了顯示方柱之間彎月面高度與接觸角的關(guān)系，圖4給出了Hm隨θ的變化情況，結(jié)果表明：隨著接觸角的變大，中心高度逐漸變低；當(dāng)方柱壁面為親水性時(shí)，中心高度高于無(wú)窮遠(yuǎn)處自由面，當(dāng)壁面接觸角為90°時(shí)，中心高度等于無(wú)窮遠(yuǎn)處自由面，當(dāng)壁面為疏水性時(shí)，中心高度低于無(wú)窮遠(yuǎn)處自由面。方柱之間彎月面的形狀主要是由表面張力與重力平衡決定的。因此，重力也將決定自由面上升高度。

圖5以親水性方柱表面(θ=30°)為例，表示了中心高度隨著邦德數(shù)(Bo)的變化情況，結(jié)果表明：小的邦德數(shù)導(dǎo)致了高的自由面中心高度，在接近微重力條件下這種高度增加效果更明顯?？梢钥闯?，在方柱表面親水且接觸角沒(méi)有改變的情況下，邦德數(shù)越小，自由面能被拉升到更高的位置，在重力加速度極小的情況下，自由面將被拉升到非常高的位置。

圖4 當(dāng)α=0°，D=2.5 L，Bo=1時(shí)Hm隨θ的變化

圖5 當(dāng)θ=30°，α=0°，D=2.5 L時(shí)Hm隨Bo的變化

3 結(jié)論

采用最小能量法，對(duì)表面張力和重力作用下兩方柱間液氣交界面形狀進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，研究了兩種放置情況下兩方柱間液氣交界面形狀隨著間距、邦德數(shù)和接觸角條件的變化情況，結(jié)果表明：隨著表面親水的方柱間距逐漸減小，方柱間液氣交界面逐漸升高，兩方柱交錯(cuò)放置比平行放置的液氣交界面中心高度更大；表面親水的方柱平行放置，在間距不變的情況下液氣交界面隨著邦德數(shù)的減小而逐漸升高；平行放置的方柱無(wú)論親水疏水，在間距和邦德數(shù)不變的情況下，方柱間液氣交界面隨著接觸角減小逐漸升高。