具有啟動期的Geo/Geo/1/(SWV+MV)離散時間排隊模型的穩(wěn)定性研究

程慧慧，王文娟

(華北水利水電大學(xué)，河南 鄭州 450046)

0 引言

1970年以來，休假排隊系統(tǒng)得到很大的關(guān)注[1]，且廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，比如庫存系統(tǒng)、電信網(wǎng)絡(luò)等.2002年，Servi和Finn[2]提出了一種“半休假策略”，即工作休假策略.與休假策略不同的是，它要求處于工作休假期的服務(wù)器不完全停止工作，而是以更低的速率為顧客提供服務(wù).2008年，Li和Tian[3]利用擬生滅過程和矩陣幾何解法研究了具有單重工作休假的Geo/Geo/1離散時間排隊模型，并進(jìn)一步求出了模型的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu).

目前許多文獻(xiàn)考慮了休假排隊和工作休假排隊[4]，也有人為了實際需求將啟動期加入到排隊模型中.2011年，王竟竟[5]研究了具有啟動期的Geo/Geo/1/MV離散時間排隊模型，并利用矩陣幾何解法得到了系統(tǒng)穩(wěn)定時的平均隊長和平均逗留時間.近年來也有少數(shù)人研究了兩階段休假策略的排隊模型.2017年，Ye和Liu[6]在研究M/M/1連續(xù)型排隊模型時提出了一種包含單重工作休假和多重休假的新的休假策略(SWV+MV).類比連續(xù)型排隊模型，Ye和Liu[7]利用矩陣幾何解法研究了具有兩階段休假策略的Geo/Geo/1離散時間排隊模型，并進(jìn)一步求出了系統(tǒng)穩(wěn)定時的平穩(wěn)分布和隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)(平均隊長和平均逗留時間)，與此同時建立了連續(xù)型與離散型時間排隊模型之間的聯(lián)系.關(guān)于Geo/Geo/1離散時間排隊模型更多詳細(xì)的描述可以參考文獻(xiàn)[8-10].

本文在Ye和Liu所研究的模型的基礎(chǔ)上引入了啟動期，并利用矩陣幾何解法研究了模型穩(wěn)定的充要條件和平穩(wěn)分布，進(jìn)而研究了模型的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)、忙循環(huán)分析以及數(shù)值分析.本文在兩種休假策略的基礎(chǔ)上引入啟動期會使模型的研究更具有實際意義.在現(xiàn)實生活中，兩階段休假策略也得到了很廣泛的應(yīng)用，如果能夠在這種休假策略的基礎(chǔ)上加入啟動期，不僅可以給服務(wù)臺工作人員提供很多休息時間，還可以起到設(shè)備維護(hù)保養(yǎng)的作用.

比如在服務(wù)中心有兩種服務(wù)窗口，分別為公司業(yè)務(wù)服務(wù)窗口和個人業(yè)務(wù)服務(wù)窗口.當(dāng)公司業(yè)務(wù)窗口的顧客相對較少時，服務(wù)中心會保留一個窗口為顧客提供服務(wù)，此階段可以理解為工作休假階段；若此階段結(jié)束后一直沒有顧客接受公司業(yè)務(wù)窗口的服務(wù)而個人業(yè)務(wù)窗口人數(shù)較多時，公司業(yè)務(wù)窗口全部停止服務(wù)并開始為個人業(yè)務(wù)窗口的顧客提供服務(wù)，此階段可以理解為休假階段.綜上所述，公司業(yè)務(wù)服務(wù)窗口的工作機(jī)制可以視為兩種休假策略的混合模式.若工作休假結(jié)束時公司業(yè)務(wù)窗口的顧客相對較多而正好是服務(wù)人員休息或者機(jī)器維修時，那么此階段可以理解為啟動期階段.

本文的結(jié)構(gòu)如下：第一部分主要是對模型進(jìn)行了詳細(xì)描述并得到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件(Markov鏈的遍歷性條件)；第二部分通過計算得到系統(tǒng)的平穩(wěn)分布以及系統(tǒng)穩(wěn)定時系統(tǒng)的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)；第三部分是忙循環(huán)分析；第四部分是數(shù)值分析.

1 模型描述及平衡條件

1.1 模型描述

本文考慮具有啟動期和兩階段休假策略的Geo/Geo/1排隊模型，關(guān)于模型的詳細(xì)描述如下.

(1) 本文考慮的是晚到的離散時間排隊模型.在離散時間排隊模型中，顧客的到達(dá)、離開和休假的結(jié)束都有可能同時發(fā)生.為了表達(dá)更加明確，假設(shè)潛在到達(dá)發(fā)生在時隙(m-,m)處，其中m-表示在m之前的那一刻.潛在離開發(fā)生在(m,m+)處，其中m+表示在m之后的那一刻.

(2) 設(shè)系統(tǒng)中顧客到達(dá)時間間隔T的概率分布函數(shù)為

(3) 服務(wù)時間S1和S2的概率分布函數(shù)分別為

其中：S1為正規(guī)忙期的服務(wù)時間；S2為工作休假期的服務(wù)時間，μ2<μ1.

(4) 設(shè)假期時長V1和V2的概率分布函數(shù)分別為

其中：V1為工作休假時長；V2為休假時長.

(5) 啟動時間U的概率分布函數(shù)為

假設(shè)隨機(jī)變量T、S1、S2、V1、V2、U相互獨立.關(guān)于模型的工作機(jī)制的具體描述如下：

記a—正規(guī)忙期，b—工作休假，c—休假，d—啟動期.當(dāng)a結(jié)束時系統(tǒng)變空，則進(jìn)入b階段；當(dāng)b結(jié)束時，若系統(tǒng)變空進(jìn)入c階段，否則進(jìn)入d階段；當(dāng)d結(jié)束時進(jìn)入a階段；當(dāng)c結(jié)束時，若系統(tǒng)變空再次進(jìn)入獨立同分布的c階段，否則進(jìn)入a階段.

接下來是利用擬生滅鏈的方法建立Markov鏈，由此得到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件.

1.2 平衡條件

設(shè)Qm表示t=m+處系統(tǒng)中的顧客數(shù)，Jm表示t=m+處服務(wù)器的狀態(tài)，即

易知{Qm,Jm}是一個Markov鏈，其狀態(tài)空間為

Ω={(0,0),(0,1)}∪{(k,j):k=1,2,…；j=0,1,2,3}.

對任意的實數(shù)x∈(0,1)，有

轉(zhuǎn)移概率矩陣為

其中：

易知{Qm,Jm}是一個擬生滅鏈過程.

(1)

其中0

(2)

(3)

(4)

證明因為矩陣B0,B1,B2均為上三角矩陣，所以率陣R也為上三角矩陣，即

(5)

把式 (5)代入矩陣方程R=R2B2+RB1+B0，可得

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

由 (7) 和 (11) 易得：r12=r23=0.由 (6) 易知二次方程有兩個根，一個根為(2) 中的表達(dá)式r，另一個根為

(16)

定理2Markov鏈{Qm,Jm}正常返當(dāng)且僅當(dāng)α<1.

證明Markov鏈{Qm,Jm}正常返當(dāng)且僅當(dāng)率陣R的譜半徑SP(R)小于1且方程組

(π00,π01,π10,π11,π12)B[R]=

(π00,π01,π10,π11,π12)

易知B[R]是一個正則隨機(jī)矩陣，以B[R]為系數(shù)矩陣的方程組有正解.因為r<1且β1<1、β2<1，所以

SP(R)=max(r,α,β1,β2)<1

成立當(dāng)且僅當(dāng)α<1.定理得證.

2 系統(tǒng)穩(wěn)定時的隊長分布和隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)

2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定時的隊長分布

通過定理1和定理2的證明，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，接下來計算系統(tǒng)的平穩(wěn)分布.

由定理2可知，當(dāng)α<1時，Markov鏈{Qm,Jm}正常返，則平穩(wěn)分布存在.

定義

π0=(π00,π01),πk=

(πk0,πk1,πk2,πk3),k=1,2,…

定理3當(dāng)α<1時，{Qm,Jm}的平穩(wěn)分布為

(17)

其中:

證明由矩陣幾何解法可知

πk=(πk0,πk1,πk2,πk3)=
(π10,π11,π12,π13)Rk-1,k≥1,

(18)

(π00,π01,π10,π11,π12,π13)B[R]=
(π00,π01,π10,π11,π12,π13).

(19)

對式(19)進(jìn)行展開，得

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

通過計算式(20)～(25)可得含有π00的式子，即

由式(1)可得

其中

把(π10,π11,π12,π13)和Rk-1代入式(18)可得含有π00的πk0、πk1、πk2、πk3的表達(dá)式，進(jìn)一步利用歸一化條件

可得π00的表達(dá)式，將其代入可以得到式 (17).定理得證.

由定理3易知，

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定時的平均隊長

本節(jié)主要研究的是系統(tǒng)平均隊長的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu).

Qd=δ0X0+δ1X1+δ2X2+δ3X3+δ4X4,

其中

證明由方程 (17) 可得系統(tǒng)顧客數(shù)Q的概率母函數(shù)，即

(26)

其中

又因為

(27)

所以將式(26)代入式(27)可得

(28)

其中

d1=

通過對式(28)計算整理可得

(29)

其中δ0、δ1、δ2、δ3、δ4的表達(dá)式見定理4.通過驗證易知δ0+δ1+δ2+δ3+δ4=1，故Qd(z)為Qd的概率母函數(shù).定理得證.

由定理4可知其均值為

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定時的平均逗留時間

本節(jié)主要研究的是系統(tǒng)平均逗留時間的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu).

定理5若α<1且μ1>μ2，逗留時間W=W0+Wd，W0為經(jīng)典無休假排隊模型系統(tǒng)穩(wěn)定時的逗留時間，附加延遲Wd是一個關(guān)于隨機(jī)變量Y0、Y1、Y2、Y3的表達(dá)式，即

其中

證明由 (27) 和 (29) 可得

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

把(31)～(34)代入 (30) 可得

又因為

所以式 (35) 也可以寫成

W(s)=W0(s)Wd(s),

其中經(jīng)典Geo/Geo/1排隊模型逗留時間的概率母函數(shù)為

定理得證.

由定理5易知其均值為

3 忙循環(huán)

本節(jié)研究的是系統(tǒng)的其他指標(biāo)忙循環(huán).

令A(yù)0=(Jm=0)、A1=(Jm=1)、A2=(Jm=2)、A3=(Jm=3).假設(shè)A3為服務(wù)器連續(xù)地以服務(wù)速率μ1提供服務(wù)的時長.由于正規(guī)忙期會發(fā)生在啟動期結(jié)束瞬間或休假結(jié)束瞬間，故忙循環(huán)G由A3、A0、A1和A2構(gòu)成，即G=A0+A1+A2+A3.

(36)

由式(36)可得

(37)

同理可得

(38)

(39)

(40)

由 (37)、(38)、(39) 和 (40) 易知

E(G)=E(A0)+E(A1)+

E(A2)+E(A3).

4 數(shù)值分析

本節(jié)主要是通過改變某些模型參數(shù)來研究其對系統(tǒng)的影響.

例1研究參數(shù)μ1和μ2對平均系統(tǒng)大小和平均逗留時間的影響.假設(shè)p=0.6，θ1=0.3，θ2=0.4，λ=0.1，當(dāng)μ1固定時，μ2的變化對平均隊長E(Q)和平均逗留時間E(W)的影響的變化趨勢如圖1和圖2所示，都會隨著μ2的不斷遞增而呈現(xiàn)下降的趨勢.當(dāng)固定μ2時，μ1對E(Q)和E(W)有類似的影響.這是因為μ1和μ2的不斷遞增代表平均服務(wù)速率的不斷提高，由此導(dǎo)致E(Q)和E(W)的不斷遞減.

圖1 E(Q)隨μ2的變化趨勢

圖2 E(W)隨μ2的變化趨勢

例2研究參數(shù)θ1和θ2分別對P(A0)、P(A1)、P(A2)以及P(A3)的影響.假設(shè)p=0.6，μ1=1.6，μ2=0.3，λ=0.1，當(dāng)固定θ1時，P(A0)和P(A2)的變化曲線如圖3～6所示，發(fā)現(xiàn)均隨著θ2的不斷遞增而遞減，P(A1)和P(A3)均隨著θ2的不斷遞增而遞增；但是當(dāng)固定θ2時，發(fā)現(xiàn)θ1對P(A0)、P(A1)、P(A2)以及P(A3)的影響變化趨勢恰好與θ2的相反.

圖3 P(A0)隨θ1的變化趨勢

圖4 P(A1)隨θ1的變化趨勢

圖5 P(A2)隨θ1的變化趨勢

圖6 P(A3)隨θ1的變化趨勢