應(yīng)力波穿過節(jié)理傳播規(guī)律綜述

李業(yè)學(xué)，成 羽，薛金順，王元元

(湖北文理學(xué)院 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 襄陽 410053)

1 研究意義

能源礦產(chǎn)資源對國家社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展具有重要的戰(zhàn)略意義. 近年來，資源用量增大和儲(chǔ)存量減少之間的矛盾日益突出，能源礦業(yè)開采日漸向地下深部推進(jìn)，由此引發(fā)的開采安全問題越來越受到業(yè)內(nèi)專家和各級部門的關(guān)注，資源的高效安全開采成為本領(lǐng)域內(nèi)的重要研究課題. 縱觀整個(gè)礦業(yè)開采方法中，盡管近年來已經(jīng)提出了諸如流態(tài)化開采的新理論和新方法，但鉆爆法仍然是礦業(yè)開采主要采用的技術(shù)之一. 當(dāng)根據(jù)需要采用線狀爆源時(shí)，產(chǎn)生的爆炸波則為柱面波，柱面波能量一部分用于礦石開采，另一部分則導(dǎo)致結(jié)構(gòu)圍巖損傷. 為確保地下開采的高效性和安全性，除了設(shè)計(jì)好炸藥的埋設(shè)點(diǎn)位和當(dāng)量外，充分理解柱面波在節(jié)理巖體中的傳播規(guī)律也尤為重要. 查明柱面波的傳播規(guī)律，最大限度利用爆炸柱面波的能量破碎礦體巖石. 由于能量是守恒的，用于破巖的柱面波能量越大，則損傷破壞圍巖的能量就越小，保證高效破巖的同時(shí)，有效減小了圍巖坍塌發(fā)生的概率. 查明柱面波的傳播規(guī)律，也能為支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供可靠的動(dòng)力荷載參數(shù)，進(jìn)而保證圍巖穩(wěn)定性，降低礦難發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn). 因而，探討柱面波在節(jié)理巖體中傳播規(guī)律對高效破巖和資源安全開采有著非常重要的理論意義和很強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值.

2 應(yīng)力波穿過節(jié)理傳播規(guī)律研究進(jìn)展

采用理論方法探討應(yīng)力波穿越節(jié)理的傳播規(guī)律，主要需要解決三大問題：

1)應(yīng)力波傳播理論的研究方法和手段 即建立應(yīng)力波入射節(jié)理和出射節(jié)理時(shí)應(yīng)力、位移或質(zhì)點(diǎn)速度間的關(guān)系.

2)確定節(jié)理的本構(gòu)關(guān)系 依據(jù)節(jié)理的變形特征，節(jié)理本構(gòu)可能選擇線性本構(gòu)或非線性本構(gòu). 線性本構(gòu)相對簡單，非線性本構(gòu)則不同，可以選擇雙曲線模型(BB模型)、三參數(shù)模型、黏彈性本構(gòu)(如廣義Voiget模型)等.

3)選取節(jié)理邊界條件 已有研究通常采用三類邊界條件，即應(yīng)力位移均連續(xù)邊界，應(yīng)力連續(xù)但位移不連續(xù)邊界，應(yīng)力位移均不連續(xù)邊界.

已有研究在這三方面做的工作詳述如圖1.

圖1 應(yīng)力波穿過節(jié)理傳播規(guī)律研究進(jìn)展

2.1 應(yīng)力波入射節(jié)理的研究方法

探討應(yīng)力波入射節(jié)理傳播規(guī)律通常采用以下三類研究方法：

2.1.1 特征線法該方法不考慮應(yīng)力波來回多次的透反射過程，只分析疊加后的總波場，而后導(dǎo)出節(jié)理前后的透反射波.

文獻(xiàn)[1]首次采用特征線法研究了應(yīng)力波與節(jié)理的相互作用. 該文獻(xiàn)基于位移不連續(xù)體模型，引入非線性單一節(jié)理變形本構(gòu)(BB模型)，采用特征線分析節(jié)理前后波場波速，建立速度對時(shí)間的偏微分方程，采用差分法，給出了透反射系數(shù)與節(jié)理參數(shù)間的關(guān)系. 其貢獻(xiàn)不是導(dǎo)出了新的特征線，而是利用現(xiàn)有線性偏微分方程的特征線，解決了應(yīng)力波入射非線性節(jié)理的傳播問題. 文獻(xiàn)[2]做了類似工作，創(chuàng)新之處在于考慮了應(yīng)力波加卸載兩個(gè)過程，并將加卸載過程的應(yīng)力波波動(dòng)方程統(tǒng)一起來，使得利用特征線求解兩個(gè)過程的波動(dòng)問題變成了求解一個(gè)波動(dòng)方程問題，求解過程變得更加簡單.

但文獻(xiàn)[1-2]僅考慮了節(jié)理的非線性變形特征. 事實(shí)上，不僅節(jié)理在荷載作用下可以表現(xiàn)非線性特征，而且?guī)r石介質(zhì)也可能表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性特點(diǎn). 為此，文獻(xiàn)[3]利用Hokstad模型[4]建立了非線性波動(dòng)方程. 顯然，已有研究基于線性波動(dòng)方程導(dǎo)出的特征線是不適用的. 為此，文獻(xiàn)[3]導(dǎo)出了非線性方程的特征線相容關(guān)系，并基于該特征線方程，導(dǎo)出了從t到t+1時(shí)刻的應(yīng)力波遞歸方程. 該文獻(xiàn)的創(chuàng)新在于，考慮了巖石與節(jié)理的雙重非線性特征，導(dǎo)出了非線性偏微分方程的新特征線方程.

當(dāng)節(jié)理左右兩側(cè)巖體性質(zhì)不同時(shí)，應(yīng)力波在左右兩側(cè)巖體中傳播的特征線方程也有所不同，為此文獻(xiàn)[5]考慮所謂的“從硬到軟”或“從軟到硬”情況，分別給出節(jié)理左右側(cè)巖體的不同特征線. 特征線的不同之處在于其中的波速參數(shù)不同，依據(jù)新的特征線. 導(dǎo)出了速度波的透反射系數(shù)解析解. 該文獻(xiàn)的創(chuàng)新之處在于導(dǎo)出了應(yīng)力波入射左右?guī)r體性質(zhì)不同的節(jié)理的特征線方程.

以上研究用特征線方法解決了應(yīng)力波在單一節(jié)理中的傳播問題，此方法是否也能解決應(yīng)力波在平行節(jié)理中的傳播問題？文獻(xiàn)[6]經(jīng)過推導(dǎo)得出，應(yīng)力波疊加后總波場的偏微分方程與經(jīng)典一維波動(dòng)方程形式一致，特征線方法適用經(jīng)典波動(dòng)方程，當(dāng)然也適用于總波場的偏微分方程. 因而，該文獻(xiàn)提出了一個(gè)由四條左右行特征線組成的棱形狀特征線模型，基于位移不連續(xù)體模型和線性節(jié)理本構(gòu)，給出了速度遞歸方程. 基于遞歸方程，分析了節(jié)理透反射系數(shù)與節(jié)理剛度、節(jié)理數(shù)量、節(jié)理間距之間的關(guān)系. 該文獻(xiàn)第一次采用特征線法研究應(yīng)力波穿過平行節(jié)理問題，并提出了一個(gè)棱形狀特征線模型.

在棱形狀特征線模型中，波動(dòng)遞歸方程涉及j+1、j、j-1前后三個(gè)時(shí)間的質(zhì)點(diǎn)速度，當(dāng)求解速度波的數(shù)值解時(shí)，求解過程相對復(fù)雜. 為簡化模型和波動(dòng)方程的求解，文獻(xiàn)[7]對文獻(xiàn)[6]的特征線進(jìn)行了修正，提出了修正的特征線方法. 僅保留了棱形狀特征線的上半部分，簡化了特征線模型，建立了由j時(shí)間到j(luò)+1時(shí)間的應(yīng)力速度遞歸方程. 通過參數(shù)研究，分析了節(jié)理參數(shù)對應(yīng)力波透反射系數(shù)的影響. 相對文獻(xiàn)[6]的棱形狀特征線，半棱形狀特征線的最大優(yōu)點(diǎn)的是，建立了涉及j、j+1兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的遞推方程，顯然比棱形狀特征模型中三個(gè)時(shí)間點(diǎn)的遞推方程要簡單得多. 采用半棱形狀特征線，文獻(xiàn)[8-9]考慮節(jié)理存在一定厚度，導(dǎo)出速度和應(yīng)力的遞推關(guān)系. 盡管該研究探討的是單一薄層介質(zhì)節(jié)理對應(yīng)力波傳播的影響，但實(shí)質(zhì)的研究方法仍然是應(yīng)力波穿過平行節(jié)理的半棱形狀特征線法，即將半棱形狀特征線引入到應(yīng)力波穿過有一定厚度節(jié)理的傳播問題，提供了一種利用特征線研究應(yīng)力波穿過薄層介質(zhì)節(jié)理透反射規(guī)律的方法.

總之，特征線法的優(yōu)點(diǎn)是：對于應(yīng)力波入射單一節(jié)理問題，能將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程組，簡化求解過程；另外，對于成組節(jié)理問題，能有效避開考察復(fù)雜的透反射過程而直接關(guān)注總波場，進(jìn)而探討應(yīng)力波穿過節(jié)理的傳播規(guī)律，而缺點(diǎn)是分析斜入射問題困難很大.

2.1.2 時(shí)域遞歸法該方法分別建立穿過節(jié)理和傳播在節(jié)理之間巖體的速度遞歸方程，進(jìn)而導(dǎo)出透反射波的波動(dòng)方程.

文獻(xiàn)[10]提出了一種求解節(jié)理兩壁法向、切向的應(yīng)力和速度的方法，即為時(shí)域遞歸法. 基于波前動(dòng)量守恒定律，利用三角形微單元體，考慮該問題是一個(gè)平面應(yīng)變問題，導(dǎo)出P波和S波入射線性節(jié)理時(shí)節(jié)理兩壁的法向切向的應(yīng)力和速度. 基于位移不連續(xù)體模型和節(jié)理線性本構(gòu)，探討了應(yīng)力波穿過單一節(jié)理的傳播規(guī)律. 該文獻(xiàn)首次提出了時(shí)域遞歸法，并采用時(shí)域遞歸法探討了應(yīng)力波入射線性變形節(jié)理問題.

采用時(shí)域遞歸法，依據(jù)研究問題的不同，可引入線性、非線性、黏彈性本構(gòu)和摩爾庫倫模型等. 因此，大量學(xué)者基于時(shí)域遞歸法，并引入不同本構(gòu)關(guān)系，探討了應(yīng)力波以任意角入射各類節(jié)理的傳播規(guī)律. 文獻(xiàn)[11]基于時(shí)域遞歸法，法向引入非線性本構(gòu)(BB模型)，導(dǎo)出了應(yīng)力P波在非線性法向變形節(jié)理中傳播的波動(dòng)方程. 文獻(xiàn)[12]考慮節(jié)理在切向方向滑移前后兩種情況，引入摩爾庫倫模型和線性本構(gòu)，建立了可以考慮裂縫面法向開合和切向相對滑移的應(yīng)力波斜入射時(shí)域遞歸方程組. 文獻(xiàn)[13]考慮了節(jié)理的黏彈性變形特征，引入Maxwell和Kelvin模型，建立了位移與速度的矩陣方程，研究單一黏彈性節(jié)理對應(yīng)力波傳播的影響. 文獻(xiàn)[14]也考慮節(jié)理的黏彈性變形特征，但為了更加符合實(shí)際變形特征，法向單元采用Kelvin-Voigt模型串聯(lián)一個(gè)彈簧，建立了對應(yīng)的時(shí)域遞歸方程. 總之，已有研究基于時(shí)域遞歸法，研究了應(yīng)力波穿過各類單一節(jié)理的傳播問題，取得了豐碩的研究成果.

以上研究考察的是單一節(jié)理對應(yīng)力波傳播的影響. 而當(dāng)應(yīng)力波入射一組節(jié)理時(shí)，由于多重透反射使得問題變得異常復(fù)雜. 文獻(xiàn)[15]認(rèn)為，在總波場中，節(jié)理前總存在左行P波、S波和右行P波、S波，節(jié)理后總存在左行P波、S波和右行P波、S波，一共8個(gè)波形. 為此，要導(dǎo)出節(jié)理前后法向和切向的應(yīng)力和速度，需分別導(dǎo)出8個(gè)波形在節(jié)理前后各自產(chǎn)生的應(yīng)力和速度，而后線性疊加. 采用時(shí)移函數(shù)、位移不連續(xù)體模型及線性本構(gòu)，導(dǎo)出了以矩陣形式表達(dá)的應(yīng)力波動(dòng)方程. 該研究與文獻(xiàn)[10]的思路基本相同，但由于節(jié)理前后的應(yīng)力波不同，最終導(dǎo)致節(jié)理前后的應(yīng)力不同. 文獻(xiàn)[15]不僅解決應(yīng)力波穿過一組節(jié)理問題，而且提出一種研究類似問題的修正時(shí)域遞歸法. 文獻(xiàn)[16]利用修正時(shí)域遞歸法，探討了含薄層介質(zhì)的應(yīng)力波傳播問題，導(dǎo)出應(yīng)力波斜入射多條含充填介質(zhì)平行節(jié)理的透反射系數(shù)，并分析節(jié)理閉合度與透反射系數(shù)間的關(guān)系.

以上研究探討了平面波，文獻(xiàn)[17]考慮柱面波入射線彈性節(jié)理，修正了已有的時(shí)域遞歸法. 與平面波平行入射節(jié)理不同的是柱面波呈放射狀入射節(jié)理，入射線間存在一定夾角. 因而，在求解節(jié)理面法向、切向應(yīng)力時(shí)，柱面波的時(shí)域遞歸法與已有平面波的時(shí)域遞歸法存在差異. 為此，借鑒平面波入射節(jié)理的研究思路，并考慮柱面波與平面波的差異，文獻(xiàn)[17]選取微小三角形單元體，分別求出柱面入射波、反射P波、S波和透射P波、S波等五種波在節(jié)理左右分別產(chǎn)生的應(yīng)力，而后疊加出節(jié)理左右兩側(cè)的法向切向應(yīng)力，并求出對應(yīng)質(zhì)點(diǎn)合速度. 引入線性位移本構(gòu)，建立柱面波穿過節(jié)理面的遞歸方程，研究了波源和節(jié)理的水平距離、垂直距離以及無量綱節(jié)理剛度對透反射系數(shù)的影響. 該文獻(xiàn)最大的貢獻(xiàn)是建立了柱面波的遞歸方程.

總之，時(shí)域遞歸法的主要優(yōu)點(diǎn)有：1)可研究以任意角度入射節(jié)理的P波和S波傳播問題；2)可在研究中采用現(xiàn)有的任何一種節(jié)理本構(gòu)，如線性節(jié)理本構(gòu)，非線性節(jié)理本構(gòu)(BB模型)和黏彈性節(jié)理本構(gòu)(Maxwell模型和Kelvin模型及其對應(yīng)廣義模型)；3)可分析應(yīng)力波穿越單一節(jié)理和節(jié)理組的傳播問題. 不足之處在于：當(dāng)入射角超過臨界角，此時(shí)產(chǎn)生了界面波，該方法不再適用.

2.1.3 虛擬波源法和等效介質(zhì)法等效介質(zhì)法等效節(jié)理巖體為一個(gè)完整巖體，力學(xué)參數(shù)也對應(yīng)等效，而后借鑒已有應(yīng)力波理論求解透反射波. 虛擬波源法在每個(gè)節(jié)理處虛設(shè)一個(gè)波源，當(dāng)入射波到達(dá)該節(jié)理時(shí)虛擬波源產(chǎn)生對應(yīng)的透反射波，透反射波先后到達(dá)節(jié)理前后壁，分別疊加節(jié)理后壁的透射波、節(jié)理前壁的入射波和所有反射波，導(dǎo)出最終的透反射波. 一般情況下，等效介質(zhì)法和虛擬波源法被聯(lián)合使用.

應(yīng)力波穿越節(jié)理時(shí)，發(fā)生多重透反射且伴隨波型轉(zhuǎn)換現(xiàn)象. 為了避免直接考察復(fù)雜的透反射和疊加過程，早期研究中學(xué)者們通常采用等效介質(zhì)法，主要思路是借鑒巖石損傷力學(xué)的Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)，將含一組節(jié)理的巖體等效成各向同性、均質(zhì)的線彈性體，計(jì)算等效參數(shù)，如等效彈性模量、等效節(jié)理剛度等. 利用已有的線性研究成果，導(dǎo)出應(yīng)力波通過不同類型節(jié)理時(shí)的透反射系數(shù). 文獻(xiàn)[18]利用等效介質(zhì)法研究了非線性變形節(jié)理對應(yīng)力P波傳播的影響規(guī)律. 將非線性變形節(jié)理等效為線性變形節(jié)理，通過對雙曲線模型中的d求導(dǎo)，得到非線性節(jié)理剛度，將非線性節(jié)理剛度作為線性變形節(jié)理的等效節(jié)理剛度代入L. J. Pyrak-Nolte的研究成果，導(dǎo)出縱波垂直入射的透反射系數(shù). 文獻(xiàn)[19]開展了類似研究，通過引入分形損傷變量，將分形節(jié)理剛度等效為線性節(jié)理剛度，代入縱波穿過線性節(jié)理的透反射系數(shù)公式，得到了考慮粗糙度影響(以分形維數(shù)描述)的透反射系數(shù)解析解. 等效介質(zhì)方法有效避免了考慮應(yīng)力波的復(fù)雜傳播過程，通過等效假定簡潔地導(dǎo)出應(yīng)力波入射各類節(jié)理的透反射系數(shù).

然而，文獻(xiàn)[20]研究表明，應(yīng)力波在一個(gè)節(jié)理巖體的傳播，不僅有波幅值的衰減而且還有時(shí)間的滯后，該現(xiàn)象和應(yīng)力波通過廣義Voiget模型介質(zhì)的情況非常相似，而與采用彈性體等效方法得出的結(jié)論存在一定偏差. 另外，將不連續(xù)巖體簡化為一個(gè)彈性介質(zhì)，忽略了節(jié)理巖體的頻率相關(guān)性和離散性，即沒有考慮應(yīng)力波在節(jié)理之間的多次反射，導(dǎo)致最終計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際情況相差甚遠(yuǎn). 為此，文獻(xiàn)[21]采用廣義Voiget模型，將一組平行節(jié)理巖體等效為黏彈性體，并提出了虛擬波源概念來考慮應(yīng)力波在節(jié)理間的多重透反射和疊加現(xiàn)象，進(jìn)而探討應(yīng)力波穿過平行成組節(jié)理巖體的透反射規(guī)律. 該文獻(xiàn)建立了應(yīng)力波在等效黏彈性體中的傳播方程，給出了節(jié)理處虛擬波源產(chǎn)生的新波的波動(dòng)方程，并與應(yīng)力波通過單一彈性節(jié)理的透射方程比較，確定了波動(dòng)方程中的頻率相關(guān)性和波幅值的衰減性參數(shù)，由此反過來確定黏彈性等效體中的彈性模量和黏滯系數(shù)，給定了節(jié)理巖體動(dòng)態(tài)的一維等效介質(zhì)模型. 為了驗(yàn)證模型的正確性，采用傅里葉變換和逆變換，文獻(xiàn)[21]分別與采用特征線求解的應(yīng)力波入射一組平行節(jié)理和任意角入射節(jié)理的透射波進(jìn)行了比較，兩種情況下的透射波與基于文獻(xiàn)[21]模型求解的透射波吻合很好.

在文獻(xiàn)[21]提出的虛擬波源法中，每個(gè)虛擬波源代表節(jié)理及節(jié)理間的一段完整巖體. 事實(shí)上，該文獻(xiàn)引入虛擬波源的目的是解決應(yīng)力波在節(jié)理間多重透反射問題，而導(dǎo)致透反射的原因是巖體中存在的節(jié)理，而不包括節(jié)理間的完整巖體. 鑒于此，文獻(xiàn)[22]修正了虛擬波源法，指定虛擬波源僅存在于節(jié)理處，表示節(jié)理力學(xué)性質(zhì)，當(dāng)入射波經(jīng)過節(jié)理時(shí)，虛擬波源激發(fā)兩個(gè)新波，一個(gè)透射波，一個(gè)反射波，可由穿過節(jié)理的應(yīng)力波乘以透反射系數(shù)得到，這些生成的新波也發(fā)生類似的透反射. 基于提出的修正虛擬波源法，文獻(xiàn)[22]給出了應(yīng)力波正入射一組平行節(jié)理時(shí)的透射波方程. 在研究應(yīng)力波正入射節(jié)理透射波方程的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[23]進(jìn)一步利用虛擬波源法探討了應(yīng)力波斜入射一組平行節(jié)理后的透射波方程，并修正Gu，et al[24]的研究成果，給出了應(yīng)力波穿過各類節(jié)理(線性節(jié)理、非線性節(jié)理及黏彈性節(jié)理)的透反射系數(shù). 在推導(dǎo)過程中，文獻(xiàn)[23]再次對虛擬波源概念進(jìn)行了修正，虛擬波源仍然存在節(jié)理處，不同的是，應(yīng)力波經(jīng)過節(jié)理時(shí)，虛擬波源將產(chǎn)生四個(gè)新波，分別是透射P波、S波和反射P波、S波. 這四個(gè)波可由穿過節(jié)理的應(yīng)力波乘以相應(yīng)系數(shù)得到，采用傅里葉變換輸入一個(gè)頻域形式的正弦波，得到各個(gè)虛擬波源激發(fā)的透射波，而后疊加先后到達(dá)巖體右端所有透射波，經(jīng)過傅里葉逆變換，得到時(shí)域形式的透射波.

等效介質(zhì)法與虛擬波源法的聯(lián)合方法，其優(yōu)點(diǎn)是能有效借鑒已有研究成果并清晰考慮應(yīng)力波透反射過程，其缺陷是需要進(jìn)行復(fù)雜的傅里葉變換和傅里葉逆變換.

2.2 節(jié)理本構(gòu)關(guān)系

節(jié)理變形特征對應(yīng)力波的傳播影響很大. 節(jié)理變形表現(xiàn)出線性特征、非線性特征及黏彈性特征等. 為描述上述變形特征，已有研究給出了不同的節(jié)理本構(gòu)，包括線性本構(gòu)、BB模型和黏彈性模型.

2.2.1 線性變形節(jié)理本構(gòu)早期的研究工作中，考慮應(yīng)力波入射能量較小，與節(jié)理作用時(shí)，節(jié)理處于線性變形狀態(tài). 文獻(xiàn)[25]通過引入線性變形本構(gòu)，給出了應(yīng)力波穿越線性變形節(jié)理時(shí)透反射系數(shù)的解析解. 文獻(xiàn)[26]也研究了應(yīng)力波與以節(jié)理剛度系數(shù)描述的線性滑移巖石界面間的相互作用，給出了其透、反射波波幅的一般表達(dá)式. 分析認(rèn)為，應(yīng)力波垂直入射界面時(shí)，巖石界面的節(jié)理剛度對應(yīng)力波傳播的影響顯著，巖石界面對應(yīng)力波具有高頻濾波作用. 類似的研究還有文獻(xiàn)[27]，該文獻(xiàn)采用特征線法，引入節(jié)理線性變形本構(gòu)，研究了裂縫面的合并-張開行為對P波垂直入射巖石節(jié)理時(shí)傳播規(guī)律的影響，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)考慮裂縫張開行為時(shí)得到的波動(dòng)傳播規(guī)律更加符合實(shí)際情況. 文獻(xiàn)[12]根據(jù)波前動(dòng)量守恒定律，結(jié)合裂縫面變形破壞特征，在切向和法向分別引入線性本構(gòu)，建立了可以考慮裂縫面法向開合和切向相對滑移的應(yīng)力波斜入射時(shí)域遞歸方程組，并論證了其正確性.

以上研究通常假定節(jié)理厚度為0，在自然節(jié)理中，相比波長而言，有些節(jié)理厚度比較大. 為了考慮節(jié)理厚度及充填介質(zhì)對應(yīng)力波的影響，文獻(xiàn)[9]將含充填介質(zhì)的結(jié)構(gòu)面等效為一個(gè)單元、結(jié)構(gòu)面左右的兩個(gè)完整巖體等效為另外兩個(gè)單元，由此提出了一個(gè)三單元模型. 兩個(gè)界面的邊界條件采用位移不連續(xù)體模型，基于特征線法和線性節(jié)理本構(gòu)，建立了一維P波在含充填結(jié)構(gòu)面巖體中的傳播方程，探討了充填介質(zhì)及其厚度對節(jié)理剛度和彈性模量影響.

以上研究僅探討了應(yīng)力波在一維和二維節(jié)理中的透反射問題，沒有全面分析三維節(jié)理線性本構(gòu)方程中的交叉耦合剛度系數(shù)項(xiàng)對應(yīng)力波傳播的影響. 為此，文獻(xiàn)[28]假定節(jié)理發(fā)生線性變形，基于細(xì)觀接觸理論分析了巖石三維節(jié)理的應(yīng)力-變形本構(gòu)方程一般形式，探討了平面諧波與三維節(jié)理面上的變形與應(yīng)力之間的變化規(guī)律，并引入位移不連續(xù)體模型，給出P波、SV波與SH波在三維節(jié)理面上透反射系數(shù)的解析解.

2.2.2 BB模型以上探討的是線性變形節(jié)理對應(yīng)力波傳播的影響，然而當(dāng)入射節(jié)理的應(yīng)力波能量很大時(shí)，節(jié)理一般產(chǎn)生非線性變形，繼續(xù)在非線性問題中采用線性本構(gòu)可能是不合適的. 文獻(xiàn)[19]通過對應(yīng)性原理，引入分形損傷本構(gòu)，將非線性變形節(jié)理等效為線性變形節(jié)理，采用位移不連續(xù)體模型，間接地分析了P波正入射非線性變形節(jié)理時(shí)的透反射規(guī)律，探討了節(jié)理面分形維數(shù)對應(yīng)力波透反射系數(shù)的影響. 該研究采用的等效方法是一種間接方法，直接采用非線性節(jié)理本構(gòu)揭示其非線性變形特征更為合適. 為此，文獻(xiàn)[29]提出了一種非線性節(jié)理本構(gòu)關(guān)系，即雙曲線模型(BB模型)，文獻(xiàn)[1]引入BB模型作為法向節(jié)理本構(gòu). 為了避免復(fù)雜的波型轉(zhuǎn)換導(dǎo)致求解困難，文獻(xiàn)[1]僅考慮P波正入射節(jié)理情形，從理論上導(dǎo)出了應(yīng)力波偏微分方程，并采用差分法得到了透反射系數(shù)的數(shù)值解.

然而，BB模型是在靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)條件下獲得的法向節(jié)理本構(gòu)關(guān)系. 顯然，采用靜態(tài)本構(gòu)研究動(dòng)態(tài)荷載作用下的節(jié)理變形是不適宜的. 為此，文獻(xiàn)[30]通過一系列準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，測試節(jié)理的閉合響應(yīng)，建立考慮加載速率影響的動(dòng)態(tài)BB模型，通過數(shù)值分析給出了P波穿過該節(jié)理時(shí)透反射系數(shù)的解析解. 文獻(xiàn)[31]也研究了常用的BB模型，發(fā)現(xiàn)此模型存在固有的數(shù)學(xué)缺陷，為了修正這一問題，通過重新定義并引入最大允許閉合量，提出了一個(gè)三參數(shù)節(jié)理本構(gòu)模型——改進(jìn)的巖石節(jié)理彈性非線性法向變形本構(gòu)關(guān)系. 文獻(xiàn)[32]基于改進(jìn)的節(jié)理本構(gòu)，分析了P波在節(jié)理巖體內(nèi)的傳播規(guī)律，研究了應(yīng)力波與節(jié)理的相互作用.

在探討正入射非線性變形節(jié)理的基礎(chǔ)上，斜入射非線性變形節(jié)理問題也受到廣泛關(guān)注. 文獻(xiàn)[11]在借鑒時(shí)域遞歸法基礎(chǔ)上，法向采用非線性節(jié)理本構(gòu)(BB模型)，切線仍然采用線性本構(gòu)，探討了非線性變形節(jié)理對斜入射應(yīng)力波的影響，分析了非線性節(jié)理剛度、應(yīng)力波入射角和入射波幅值等因素對縱波傳播的影響規(guī)律. 類似的研究還有文獻(xiàn)[33].

2.2.3 黏彈性節(jié)理本構(gòu)模型應(yīng)力波以任意角度入射一般非線性變形節(jié)理時(shí)，采用BB模型能較好地反映節(jié)理變形特征. 當(dāng)入射含有充填介質(zhì)的較厚節(jié)理，節(jié)理變形表現(xiàn)出一定黏彈性，采用Maxwell模型、Voigt模型或多個(gè)元件的串并聯(lián)模型比較合適. 文獻(xiàn)[34]采用連續(xù)分段直線近似BB模型，將每段直線的首末端點(diǎn)落在BB曲線上，每段應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系采用廣義Voigt模型，結(jié)合特征線法，引入等效介質(zhì)概念，導(dǎo)出了等效模型的相關(guān)參數(shù)，給出了速度波和透反射系數(shù)的理論解. 文獻(xiàn)[13，35]也開展了類似研究，即以位移不連續(xù)體模型作為邊界條件，分別采用Kelvin模型和Maxwell模型描述節(jié)理的黏彈性變形性質(zhì)，基于時(shí)域遞歸法分析節(jié)理兩壁的正應(yīng)力和切應(yīng)力，探討了節(jié)理參數(shù)對應(yīng)力波透反射系數(shù)的影響.

2.3 節(jié)理邊界條件

節(jié)理邊界條件選擇也是應(yīng)力波傳播規(guī)律研究中的重要一環(huán). 現(xiàn)有研究中，節(jié)理邊界條件有三種，即應(yīng)力和位移連續(xù)邊界、位移不連續(xù)體邊界和應(yīng)力位移均不連續(xù)邊界.

2.3.1 應(yīng)力和位移連續(xù)邊界在完好粘接界面模型、弱連接界面模型和接觸界面模型中，法向應(yīng)力和位移連續(xù). 通過這一邊界條件，已有研究由淺入深開展了大量研究.

為研究地震波在節(jié)理中的傳播，文獻(xiàn)[36-37]提出了完好粘接界面模型，即假定兩界面粘接完好，應(yīng)力波通過節(jié)理面的應(yīng)力連續(xù)、節(jié)理兩壁的位移連續(xù)，且節(jié)理兩壁不存在相對滑移. 顯然，完好粘接界面模型是一個(gè)非常理想化的模型. 事實(shí)上，自然界中的天然巖體節(jié)理并不如同上述模型假設(shè)那樣粘接完好，而是一個(gè)連接左右完整巖體的一個(gè)軟弱界面. 當(dāng)小波幅應(yīng)力波通過光滑軟弱界面時(shí)，節(jié)理面上法向應(yīng)力和位移連續(xù)，波動(dòng)方程是一個(gè)線性偏微分方程，依據(jù)已有數(shù)理方程理論可以求解. 文獻(xiàn)[38]利用上述邊界條件導(dǎo)出了聲波通過節(jié)理面的透反射系數(shù)解析解. 然而，經(jīng)過億萬年成巖和地質(zhì)侵蝕作用形成的節(jié)理兩壁必然粗糙. 當(dāng)能量較大的應(yīng)力波入射粗糙節(jié)理面時(shí)，節(jié)理兩壁部分分離或摩擦滑移，求解過程中必須將節(jié)理面分為粘結(jié)區(qū)、分離區(qū)、滑移區(qū)，而后分別給出邊界條件并各自求解[39]. 上述問題比較復(fù)雜，為了簡化問題，文獻(xiàn)[40]考慮應(yīng)力波能量很大，節(jié)理面所有點(diǎn)均能克服摩擦作用發(fā)生相對滑移，此時(shí)法向應(yīng)力和位移連續(xù)，切向應(yīng)力等于摩擦角的正切值與法向應(yīng)力的乘積. 利用簡化后的邊界條件，文獻(xiàn)[41]給出透反射系數(shù)解析解，并提出了節(jié)理面滑移的判斷準(zhǔn)則.

2.3.3 應(yīng)力不連續(xù)位移不連續(xù)邊界隨著研究的深入，人們逐漸認(rèn)識(shí)到，在某些條件下，位移不連續(xù)體模型作為邊界條件與實(shí)際邊界上的應(yīng)力、位移特征不符. Zhu等[49]指出，位移不連續(xù)體模型適用于充填介質(zhì)密度相對于巖石密度可忽略的節(jié)理，而對于較厚的軟弱充填介質(zhì)，如飽和黏土和砂土等，邊界條件應(yīng)采用位移不連續(xù)和應(yīng)力不連續(xù)邊界. 文獻(xiàn)[49]分別給出了采用Kelvin模型和Maxwell模型時(shí)的應(yīng)力不連續(xù)位移不連續(xù)邊界條件；文獻(xiàn)[35]基于應(yīng)力和位移皆不連續(xù)邊界，針對充填節(jié)理的黏彈性特性，建立P波和S波斜入射單個(gè)充填節(jié)理的頻域形式的透反射系數(shù)方程組. 通過數(shù)值計(jì)算和參數(shù)分析，進(jìn)而討論入射角、入射波頻率以及節(jié)理剛度等參數(shù)對應(yīng)力波斜入射充填節(jié)理時(shí)的透反射影響.

3 研究評述

理論研究方面，已有研究采用了特征線法、時(shí)域遞歸法、等效介質(zhì)法和虛擬波源法，基于位移應(yīng)力連續(xù)邊界、位移不連續(xù)邊界及位移應(yīng)力均不連續(xù)邊界，結(jié)合線性節(jié)理本構(gòu)、BB模型和黏彈性節(jié)理本構(gòu)，并假定節(jié)理左右?guī)r體性質(zhì)完全相同，探討了平面應(yīng)力波穿過單一節(jié)理、平行節(jié)理及兩條交叉節(jié)理的透反射問題，導(dǎo)出了應(yīng)力波在節(jié)理巖體中的透反射系數(shù)解析解，引入初值條件，分析節(jié)理參數(shù)(節(jié)理剛度、節(jié)理間距、節(jié)理數(shù)量、節(jié)理充填介質(zhì))對透反射系數(shù)和能量的影響. 相關(guān)研究也初步涉足了柱面波穿過節(jié)理的傳播規(guī)律，探討了單一節(jié)理對柱面波透反射系數(shù)的影響. 上述研究由淺入深地探討了節(jié)理巖體中應(yīng)力波的透反射問題、能量耗散規(guī)律等，在應(yīng)力波理論應(yīng)用于地下礦產(chǎn)資源的安全開采等方面做了大量理論研究工作.

已有研究大量探討了平面波問題. 事實(shí)上，自然界中并不真正存在平面波. 當(dāng)柱面波傳播至遠(yuǎn)場時(shí)，圓柱形波陣面可近似看成平面，柱面波可簡化為平面波. 也就是說，平面波是柱面波傳播至遠(yuǎn)場時(shí)為研究問題方便而作的簡化，這樣簡化所得出的結(jié)論也可能是不準(zhǔn)確的. 因而，直接探討柱面波在節(jié)理中傳播問題能導(dǎo)出更精確的解析解. 從實(shí)際工程需求層面來看，在礦業(yè)開采中，最關(guān)注的問題是如何利用爆炸波能量高效破巖和防止爆破能量損傷結(jié)構(gòu)圍巖，此時(shí)研究的范圍仍是柱面波的近場區(qū)域，柱面波在近場傳播時(shí)不能近似為平面波. 因而，探討近場中柱面波傳播才能有效解決礦業(yè)開采中的實(shí)際工程問題.

另外，已有研究通常假定節(jié)理左右兩側(cè)巖體性質(zhì)相同，將節(jié)理簡化為簡單節(jié)理. 因而，應(yīng)力波入射節(jié)理前后的入射角、反射角、透射角相等，這很大程度上簡化了應(yīng)力波在節(jié)理巖體中傳播問題. 事實(shí)上，天然節(jié)理左右兩側(cè)巖體性質(zhì)存在差異，通常是復(fù)雜節(jié)理，應(yīng)力波入射復(fù)雜節(jié)理時(shí)入射角和透射角不再相等，波存在折射現(xiàn)象，這使得波在節(jié)理中的傳播問題更加復(fù)雜. 顯然，簡單節(jié)理是自然界中復(fù)雜節(jié)理的簡化和特例. 因此，柱面波在復(fù)雜節(jié)理中的傳播問題是平面波在簡單節(jié)理中的傳播問題的深化和延拓，相比已有研究，探討柱面波在復(fù)雜節(jié)理中的傳播規(guī)律所導(dǎo)出的速度波和透反射系數(shù)更具有一般性和普適性.

從已有研究可以看出，未來一定時(shí)期內(nèi)，應(yīng)力波在節(jié)理巖體中傳播涉及如下亟待解決的問題：考慮折射對速度波和透反射系數(shù)的影響，探討柱面P波、S波斜入射單一復(fù)雜節(jié)理巖體(節(jié)理左右兩側(cè)巖體性質(zhì)不同的節(jié)理巖體)的傳播規(guī)律，從理論上導(dǎo)出速度波和透反射系數(shù)；在修正時(shí)域遞歸法的基礎(chǔ)上，探討柱面P波、S波斜入射一組平行復(fù)雜節(jié)理的傳播規(guī)律，給出速度波和透反射系數(shù)；借鑒柱面波斜入射平行復(fù)雜節(jié)理的研究思路，導(dǎo)出柱面P波、S波斜入射含充填介質(zhì)復(fù)雜節(jié)理的速度波和透反射系數(shù)；探討P波、S波穿過交叉節(jié)理巖體的傳播規(guī)律，導(dǎo)出其透反射系數(shù).