一個收斂無窮級數(shù)和的兩種概率模型求解

舒洪銘 許昌林

摘 要：對于收斂的無窮級數(shù)的求和有時候存在困難， 本文通過構造兩種不同的概率模型，?將一個收斂的無窮級數(shù)求和問題轉化為概率問題，?然后利用概率的公理化定義以及概率運算性質，?對復雜收斂無窮級數(shù)的和進行求解. 另外，?說明了對于同一個收斂無窮級數(shù)的求和，?可能存在著多種概率模型，?從而豐富了收斂級數(shù)的求和方法.

關鍵字：級數(shù)求和; 概率模型; 概率運算性質.

中圖分類號O173 ???文獻標識碼 A

一、?引言

目前， 對于收斂無窮級數(shù)的求和方法有很多， 比如定義法、構造關系式法、求冪級數(shù)的和函數(shù)法、冪級數(shù)展開式等方法^[1][2][3]. 當然除了這些級數(shù)求和方法以外， 對一些復雜收斂無窮級數(shù)的求和問題，?利用上述基礎方法求解起來比較困難， 此時通過構造一些適當?shù)母怕誓Ｐ瓦M行求解收斂無窮級數(shù)的和是一種比較好的途徑^[4]. 為此， 本文針對一個復雜收斂正項級數(shù)的和的求解問題， 適當構造了兩種概率模型進行求解， 不僅解決了特殊無窮級數(shù)的求和問題， 還進一步說明了對于一些收斂級數(shù)的求和問題來說， 可能同時存在著多種概率模型.

比如針對下列正向無窮級數(shù)

的求和問題. 由正項級數(shù)收斂的判別準則^[6]可知（1）式收斂. 為了求解無窮級數(shù)（1）式的和， 下面通過構造適當?shù)母怕誓Ｐ蛠韺ζ溥M行求解.

二、?無窮級數(shù)和的第一種概率模型求解

概率模型1：設有兩個一樣的盒子， 第一個盒子有1個紅球、1個白球， 第二個盒子有4個紅球、1個白球， 小球除了顏色不同， 其余特征均相同. 現(xiàn)在有放回的從兩個盒子中各取1個小球， 若取出的2個小球均為紅球， 則試驗成功， 停止試驗; 反之試驗失敗， 此時再向兩個盒子中分別各加入2個白球， 重復上述試驗，?直到試驗成功.?求該試驗成功的概率.

• 無窮級數(shù)和的第二種概率模型求解

對于（1）式收斂級數(shù)的求和，?還可以構造其他概率模型進行求解，?如此可以構造下面的概率模型進行求解.

概率模型2： 設有兩個一樣的盒子， 第一個盒子有2個紅球、0個白球， 第二個盒子有2個紅球、3個白球， 小球除了顏色不同， 其余特征均相同. 重復模型1的試驗步驟， 求該試驗成功的概率.

四、?總結

本文對一個復雜收斂的無窮級數(shù)和的求解問題，?從構造不同概率模型角度出發(fā)，?將復雜求和問題轉化為利用概率論預算性質進行求解， 計算過程簡單明了，?簡化了求和復雜程度， 同時也降低了求解難度，?這為收斂的無窮級數(shù)的求和問題提供了不同的途徑.?同時，?也能看出，?對于同一個收斂的無窮級數(shù)，?可以構造不同的概率模型進行求解.?可見，?運用概率模型求解無窮級數(shù)和的靈活性.

參考文獻

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