滾動(dòng)導(dǎo)軌副多因素振動(dòng)響應(yīng)分析

沈瑞豪，馬雅麗，陳志

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

作為直線運(yùn)動(dòng)導(dǎo)向部件，滾動(dòng)導(dǎo)軌副由于定位精度高，傳動(dòng)性能好，摩擦小，被廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械裝置，因此對(duì)滾動(dòng)導(dǎo)軌副的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析具有很好的理論和實(shí)際應(yīng)用意義。滾動(dòng)導(dǎo)軌副動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的誘因依據(jù)激勵(lì)方式主要分為固有結(jié)構(gòu)屬性、外部激勵(lì)與零部件幾何誤差。

考慮固有結(jié)構(gòu)屬性的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，目前主要研究?jī)?nèi)容是滾動(dòng)導(dǎo)軌副五自由度固有頻率與模態(tài)振型。文獻(xiàn)[1]將滾動(dòng)體等效成八節(jié)點(diǎn)彈簧阻尼單元，建立五自由度的直線導(dǎo)軌振動(dòng)模型，獲得滾動(dòng)導(dǎo)軌的固有特性。文獻(xiàn)[2]將滾動(dòng)體等效為法向線性彈簧單元，基于拉格朗日方程建立導(dǎo)軌系統(tǒng)解析動(dòng)態(tài)模型，分析了滾動(dòng)導(dǎo)軌各階固有頻率與各階模態(tài)振型。文獻(xiàn)[3]分析了由摩擦引起的切向剛度對(duì)滾動(dòng)導(dǎo)軌固有頻率的影響。然而固有結(jié)構(gòu)屬性僅能反映自身的動(dòng)態(tài)性能，需考慮外部激勵(lì)與零部件幾何誤差對(duì)響應(yīng)特性的影響。

考慮外部激振力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，目前主要研究?jī)?nèi)容是非五自由度非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析與五自由度線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。文獻(xiàn)[4]建立五自由度線性動(dòng)力學(xué)模型，分析動(dòng)載荷、預(yù)緊力及靜載荷對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步考慮滾動(dòng)體接觸非線性，建立了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌時(shí)變分段非線性單自由度動(dòng)力學(xué)模型，分析了平均載荷與激振力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性與穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[6-7]考慮導(dǎo)軌結(jié)合面非線性特征，建立三自由度非線性模型，研究了外部激振力下工作臺(tái)系統(tǒng)的振動(dòng)特性。然而，非五自由度分析未能全面反映導(dǎo)軌副各向振動(dòng)狀態(tài)，線性系統(tǒng)未能反映滾動(dòng)體與滾道之間的非線性接觸，非線性接觸使動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性變得復(fù)雜。

滾動(dòng)導(dǎo)軌副零部件幾何誤差影響其剛度，進(jìn)而影響其動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。文獻(xiàn)[8]分析了設(shè)計(jì)階段幾何誤差的不確定性對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差響應(yīng)規(guī)律的影響。文獻(xiàn)[9]探究了一般形狀與波形的導(dǎo)軌法向誤差下的工作臺(tái)五自由度運(yùn)動(dòng)誤差特性。文獻(xiàn)[10]將導(dǎo)軌幾何誤差等效成彈簧預(yù)緊力，建立了基于有限元方法的滾動(dòng)導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)誤差模型。文獻(xiàn)[11]等建立了基于機(jī)床導(dǎo)軌公差的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)誤差預(yù)測(cè)模型，構(gòu)建了幾何誤差、運(yùn)動(dòng)誤差與公差之間的映射關(guān)系。然而，導(dǎo)軌副幾何誤差多考慮在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)誤差分析中，較少考慮在動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析中。

綜上，本文將建立考慮導(dǎo)軌直線度誤差的五自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)考慮預(yù)緊力、外部靜載荷與外部激振力對(duì)振動(dòng)特性的影響，構(gòu)建多因素影響下的振動(dòng)分析理論基礎(chǔ)，分析振動(dòng)響應(yīng)特性與各振動(dòng)性能因素之間的影響規(guī)律。

1 滾動(dòng)導(dǎo)軌副動(dòng)力學(xué)建模

首先建立滾動(dòng)導(dǎo)軌副接觸變形模型，獲取接觸變形量，再將滾動(dòng)導(dǎo)軌副簡(jiǎn)化成五自由度非線性質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，基于拉格朗日方程推導(dǎo)動(dòng)態(tài)微分方程組，通過(guò)龍格-庫(kù)塔法完成方程組求解。本文以雙導(dǎo)軌四滑塊的滾動(dòng)導(dǎo)軌副為研究對(duì)象，如圖1所示，滑塊與工作臺(tái)固聯(lián)為運(yùn)動(dòng)部件，兩導(dǎo)軌與基座固聯(lián)，通過(guò)滾動(dòng)體實(shí)現(xiàn)導(dǎo)軌與滑塊的相對(duì)直線運(yùn)動(dòng)。圖中:H為工件高度,Lf為導(dǎo)軌跨距,R1為激振力x向分力Fod-x與x0軸的水平距離,R2為激振力y向分力Fod-y與y0軸的水平距離,T為工作臺(tái)厚度。

圖1 滾動(dòng)導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)與載荷示意圖Fig.1 Structure and load diagram of LMBS

滾動(dòng)導(dǎo)軌副動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，考慮滾動(dòng)體與滾道的實(shí)際接觸狀態(tài)，將滾動(dòng)體與滑塊滾道、導(dǎo)軌滾道的接觸變形等效成不同接觸系數(shù)的彈簧單元。外部激振力Fod=Foutsin(ωt)加載在工件上，ω為正弦激振力角頻率。

1.1 滾動(dòng)導(dǎo)軌副接觸變形分析

基于剛體理論進(jìn)行滾動(dòng)導(dǎo)軌副接觸變形分析，即滾動(dòng)體彈性變形分析。滾動(dòng)體彈性變形由振動(dòng)性能因素引起，影響機(jī)理為將導(dǎo)軌直線度誤差等效為滾動(dòng)體彈性變形；預(yù)緊力反映為滾動(dòng)體的理論直徑的改變；外部靜載荷與激振力改變滾動(dòng)體與滾道接觸力，接觸力引起滾動(dòng)體彈性變形。

滾動(dòng)導(dǎo)軌副的振動(dòng)響應(yīng)反映為運(yùn)動(dòng)部件的振動(dòng)位移變化。由于系統(tǒng)結(jié)合面處接觸變形的存在，使得運(yùn)動(dòng)部件產(chǎn)生五自由度上的位移，分別是沿著y0軸的水平振動(dòng)位移εy；沿著z0軸的垂直振動(dòng)位移εz；繞x0軸的側(cè)翻振動(dòng)位移θx；繞y0軸的俯仰振動(dòng)位移θy；繞z0軸的偏航振動(dòng)位移θz，如圖2所示。

運(yùn)動(dòng)部件的振動(dòng)位移描述為滾動(dòng)導(dǎo)軌幾何量的變化，幾何量包括滾道的曲率中心與滾動(dòng)體的尺度，導(dǎo)軌副的彈性變形導(dǎo)致幾何量的變化。在實(shí)際工況中，滾動(dòng)導(dǎo)軌副中不同滑塊處的接觸特性不同。運(yùn)動(dòng)部件的振動(dòng)位移隨著時(shí)間變化，幾何量的變化亦處于時(shí)變狀態(tài)，如圖3所示。Oc0,ijk，Oc,ijk分別是滑塊滾道理論和實(shí)際曲率中心?；瑝K理論曲率中心Oc0,ijk沿水平方向移動(dòng)ΔYc,ijk，沿垂直方向移動(dòng)ΔZc,ijk變成實(shí)際曲率中心Oc,ijk。位移量ΔYc,ijk和ΔZc,ijk的表達(dá)式為

圖3 滾動(dòng)導(dǎo)軌接觸變形模型Fig.3 Contact deformation model of LRG

ΔYc,ijk=εy-θxzc,ijk+θzxc,ijk,

(1)

ΔZc,ijk=εz+θxyc,ijk-θyxc,ijk,

(2)

式中：(xc,ijk，yc,ijk，zc,ijk)為第i號(hào)滑塊第j號(hào)滾道第k號(hào)滾動(dòng)體所在對(duì)應(yīng)位置滑塊滾道曲率中心在坐標(biāo)系O0x0y0z0中的坐標(biāo)值，i=1,2,3,4，j=1,2,3,4，k=1,2…Z；Z為單列滾動(dòng)體數(shù)。

導(dǎo)軌直線度誤差引起導(dǎo)軌幾何量的變化，改變滾動(dòng)體與滾道的接觸狀態(tài)，進(jìn)而影響滾動(dòng)體的彈性變形量。直線度誤差是指被測(cè)實(shí)際直線與理想直線的偏差。滾動(dòng)導(dǎo)軌副的理想直線選取為各導(dǎo)軌滾道初始曲率中心沿運(yùn)動(dòng)方向形成的直線。

Or0,ijk，Or,ijk分別是導(dǎo)軌滾道理論和實(shí)際曲率中心。導(dǎo)軌直線度誤差的存在使得導(dǎo)軌理論曲率中心Or0,ijk沿水平方向移動(dòng)ΔYr,ijk，沿垂直方向移動(dòng)ΔZr,ijk，如圖3所示。由于位移量ΔYr,ijk，ΔZr,ijk滿足狄利克雷邊界條件，因此可用傅里葉級(jí)數(shù)gijk描述公差范圍內(nèi)導(dǎo)軌直線度誤差的變動(dòng)，表達(dá)式為[12]

(3)

xijk=x0,ijk+vbt，

式中：σ為導(dǎo)軌直線度公差；n為諧波階數(shù)；λ為導(dǎo)軌直線度誤差波長(zhǎng)；φ為相位；x0,ijk為接觸點(diǎn)沿導(dǎo)軌方向初始位置；vb為滾動(dòng)體移動(dòng)速度；t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

隨著傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加，各項(xiàng)的諧波幅值減小，導(dǎo)軌直線度誤差對(duì)導(dǎo)軌曲率中心影響變小，因此取傅里葉級(jí)數(shù)第1項(xiàng)描述導(dǎo)軌直線度誤差。

滾動(dòng)導(dǎo)軌副幾何量的變化等效成滾動(dòng)體的彈性接觸變形量，滾動(dòng)體總接觸變形量δijk與幾何量之間的幾何關(guān)系為

(4)

fc=rc/D，

fr=rr/D，

式中：L0為曲率中心Oc0,ijk,Or0,ijk之間的理想距離；α0為理想接觸角；λb為反映預(yù)緊力的滾動(dòng)體理論直徑變化量；ΔYijk，ΔZijk分別為滑塊和導(dǎo)軌曲率中心的合位移分量(表1)；rc，rr分別為滑塊與導(dǎo)軌的曲率半徑。

表1 位移分量ΔYijk，ΔZijkTab.1 Displacement components ΔYijk and ΔZijk

考慮滾動(dòng)體與兩側(cè)滾道的接觸變形系數(shù)不同，將幾何關(guān)系下的滾動(dòng)導(dǎo)軌副接觸變形量通過(guò)載荷關(guān)系進(jìn)行分解。假設(shè)滾動(dòng)體總接觸變形量近似等于滾動(dòng)體與滑塊和導(dǎo)軌滾道接觸變形量之和，基于赫茲接觸理論，接觸變形量δijk，δc,ijk和δr,ijk的表達(dá)式為

(5)

(6)

(7)

Kijk=

(8)

式中：Kc,ijk，Kr,ijk分別為滑塊側(cè)與導(dǎo)軌側(cè)接觸變形系數(shù)；δ*為量綱一的接觸變形；∑ρ為曲率和；ζ為泊松比；E為彈性模量。

1.2 滾動(dòng)導(dǎo)軌副動(dòng)力學(xué)微分方程

復(fù)雜剛體動(dòng)力學(xué)模型微分方程可通過(guò)拉格朗日方程建立，表達(dá)式為[13]

(9)

1.2.1 滾動(dòng)導(dǎo)軌副勢(shì)能與動(dòng)能

滾動(dòng)導(dǎo)軌副勢(shì)能為滑塊側(cè)與導(dǎo)軌側(cè)接觸力沿滾動(dòng)體彈性變形方向所做合功。在第i號(hào)滑塊第j號(hào)滾道第k號(hào)滾動(dòng)體處，滑塊側(cè)接觸力使得滾動(dòng)體彈性接觸變形量從0增加至δc,ijk，滑塊側(cè)接觸力做功Wc,ijk，導(dǎo)軌側(cè)接觸力使得滾動(dòng)體彈性接觸變形量從0增加至δr,ijk，導(dǎo)軌側(cè)接觸力做功Wr,ijk。則滑塊側(cè)與導(dǎo)軌側(cè)接觸力所做合功Wijk為

(10)

則滾動(dòng)導(dǎo)軌副的勢(shì)能和動(dòng)能分別為

(11)

(12)

式中：m為運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量；Jx，Jy，Jz分別為運(yùn)動(dòng)部件相對(duì)于x0，y0，z0的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.2.2 滾動(dòng)導(dǎo)軌副動(dòng)力學(xué)微分方程

基于拉格朗日方程，考慮導(dǎo)軌副勢(shì)能、動(dòng)能和廣義力(外部激勵(lì)、外部靜載荷)，建立五自由度振動(dòng)微分方程組為

(13)

式中：Fos-y，F(xiàn)os-z，Mos-x，Mos-y，Mos-z分別為外部靜載荷各向分解量；Fod-y，F(xiàn)od-z，Mod-x，Mod-y，Mod-z分別為外部激振力各向分解量。

1.3 滾動(dòng)導(dǎo)軌副動(dòng)力學(xué)方程求解

基于滾動(dòng)導(dǎo)軌副初始輸入?yún)⒘?，?lián)立(1)—(12)式，采用龍格-庫(kù)塔求解動(dòng)力學(xué)方程，具體計(jì)算流程如圖4所示。

圖4 數(shù)值計(jì)算流程Fig.4 Numerical calculation flow chart

2 實(shí)例求解與分析

2.1 滾動(dòng)導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)參數(shù)

以某型單列四滾道型滾動(dòng)導(dǎo)軌為例進(jìn)行實(shí)例計(jì)算和分析，滾動(dòng)導(dǎo)軌副具體參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 滾動(dòng)導(dǎo)軌副參數(shù)Tab.2 Parameters of LMBS

2.2 直線度誤差對(duì)振動(dòng)位移響應(yīng)的影響

定義波長(zhǎng)比Λ(Λ=λ/λ0)，λ0為基礎(chǔ)波長(zhǎng)(λ0=500 mm)，λ為實(shí)際波長(zhǎng)。ΔYr,ijk,ΔZr,ijk用相同的一階傅里葉級(jí)數(shù)描述。當(dāng)波長(zhǎng)比Λ∈(0,2)時(shí)，誤差波長(zhǎng)比、誤差幅值對(duì)運(yùn)動(dòng)部件位移振幅響應(yīng)的影響規(guī)律如圖5所示。

圖5 不同誤差波長(zhǎng)和幅值下的振幅-波長(zhǎng)比響應(yīng)Fig.5 Amplitude-wavelength ratio response under different error wavelengths and amplitudes

當(dāng)誤差幅值相同時(shí)，水平位移與垂直位移(直線位移)的振幅整體變化趨勢(shì)相近，即隨著Λ增大呈現(xiàn)振幅先減小后增大且不斷重復(fù)的趨勢(shì)；俯仰位移與偏航位移(轉(zhuǎn)角位移)的振幅整體變化趨勢(shì)相近，即隨著Λ增大呈現(xiàn)振幅先增大后減小且不斷重復(fù)的趨勢(shì)；側(cè)翻位移振幅隨著Λ增加而減小直至趨于穩(wěn)定。因?yàn)殡S著波長(zhǎng)的增加，導(dǎo)軌直線度誤差變化緩慢，滑塊直線位移與直線度誤差變化趨近相同，滑塊間趨近量差距較小，進(jìn)而導(dǎo)致直線位移振幅與轉(zhuǎn)角位移振幅反向變化。由于滑塊間距與直線度誤差波長(zhǎng)相對(duì)大小的變化，使得滑塊間滾動(dòng)體的變形量不同，進(jìn)而導(dǎo)致趨勢(shì)重復(fù)現(xiàn)象。當(dāng)誤差波長(zhǎng)相同時(shí)，誤差幅值分別為4，8，10 μm，隨著誤差幅值的增大，各向位移振幅呈整體增大趨勢(shì)。

2.3 外部激振力對(duì)振動(dòng)位移響應(yīng)的影響

定義頻率比Ω=ω/ω0，ω0為基礎(chǔ)頻率(ω0=1 500 Hz)，ω為實(shí)際頻率。當(dāng)頻率比Ω∈(0.71,1.40)時(shí)，外部激振力的激振頻率、激振力幅值對(duì)運(yùn)動(dòng)部件位移振幅響應(yīng)的影響規(guī)律如圖6所示。

圖6 不同外部激振力頻率與幅值下的振幅-頻率比響應(yīng)Fig.6 Amplitude-frequency ratio response under different external excitation force frequencies and amplitudes

當(dāng)外部激振力幅值相同時(shí)，各向位移振幅在頻率比區(qū)間內(nèi)存在振幅峰值。不同位移振幅峰值對(duì)應(yīng)的頻率比不同：水平位移、垂直位移、側(cè)翻位移、俯仰位移、偏航位移的振幅峰值頻率比分別為1.00，1.13，1.00，1.28，1.13。位移振幅峰值出現(xiàn)的原因是激振力頻率與固有頻率接近產(chǎn)生共振現(xiàn)象，由于不同振動(dòng)位移方向的滾動(dòng)導(dǎo)軌副的固有頻率不同，導(dǎo)致位移振幅峰值對(duì)應(yīng)的頻率比不同。當(dāng)外部激振力激振頻率相同時(shí)，隨著激振力幅值增大(Fout-x，F(xiàn)out-y，F(xiàn)out-z值相同且等幅增加)，各向位移振幅整體有增大趨勢(shì)，但偏航位移振幅對(duì)激振力幅值的敏感度不高。

2.4 外部靜載荷對(duì)振動(dòng)位移響應(yīng)的影響

當(dāng)頻率比Ω∈(0.71,1.40)時(shí)，不同垂直外載荷作用下運(yùn)動(dòng)部件位移振幅響應(yīng)規(guī)律如圖7所示：隨著垂直外載荷的增大(外載荷為4，8，12 kN)，運(yùn)動(dòng)部件垂直位移振幅整體有明顯增大趨勢(shì)，振幅峰值對(duì)應(yīng)頻率比附近的增大趨勢(shì)不顯著；其余各向位移振動(dòng)幅值對(duì)外部靜載荷敏感度較低。因?yàn)樵跐L動(dòng)導(dǎo)軌副垂直方向上，隨著垂直外載荷的增加，上排滾動(dòng)體處接觸剛度增大，下排滾動(dòng)體處接觸剛度減小，直至為零，在此過(guò)程中，垂直剛度減小且變化率增大，進(jìn)而導(dǎo)致垂直位移振幅增大。

圖7 不同外部法向靜載荷下的振幅-頻率比響應(yīng)Fig.7 Amplitude-frequency ratio response under different external normal static loads

2.5 預(yù)緊力對(duì)振動(dòng)位移響應(yīng)的影響

當(dāng)頻率比Ω∈(0.71,1.27)時(shí)，不同預(yù)緊等級(jí)下運(yùn)動(dòng)部件位移振幅響應(yīng)規(guī)律如圖8所示。導(dǎo)軌副預(yù)緊等級(jí)分為輕度預(yù)緊、中度預(yù)緊和重度預(yù)緊。

由2.3節(jié)分析可知，同一預(yù)緊力下，當(dāng)外部激振力頻率與系統(tǒng)固有頻率接近時(shí)會(huì)出現(xiàn)位移振幅峰值。由圖8可知：隨著預(yù)緊等級(jí)的增加，各向位移振幅峰值對(duì)應(yīng)的頻率比增大，即預(yù)緊等級(jí)改變系統(tǒng)固有頻率，隨著預(yù)緊等級(jí)增加固有頻率有增大的趨勢(shì)。在任意局部區(qū)間中，位移振幅不一定隨著預(yù)緊等級(jí)增加而減小，不同預(yù)緊等級(jí)下的位移振幅與外部激振力頻率有著密切關(guān)系。

圖8 不同預(yù)緊力下振幅-頻率比響應(yīng)Fig.8 Amplitude-frequency ratio response under different preloads

3 結(jié)論

滾動(dòng)導(dǎo)軌副振動(dòng)響應(yīng)性能是導(dǎo)軌副重要的質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)，本文建立了滾動(dòng)導(dǎo)軌副多因素振動(dòng)響應(yīng)模型，通過(guò)實(shí)例計(jì)算分析得出結(jié)論：

1)隨著波長(zhǎng)比的增加，運(yùn)動(dòng)部件直線位移振幅先減小后增大，但側(cè)翻位移振幅變化趨勢(shì)與直線位移相反；波長(zhǎng)比相同時(shí)，各向位移振幅隨著誤差幅值的增加而增加。

2)隨著外部激振力幅值增加，除偏航位移振幅敏感度不高外，運(yùn)動(dòng)部件各向位移振幅都有明顯的增加；外部激振力頻率與系統(tǒng)固有頻率相同時(shí)出現(xiàn)振幅峰值。

3)垂直外載荷增大可以增大運(yùn)動(dòng)部件垂直位移振幅，其各向位移振幅對(duì)外載荷的敏感度不高。

4)隨著預(yù)緊力增大，各向位移振幅峰值對(duì)應(yīng)的頻率比增大，即導(dǎo)軌副各向位移振幅固有頻率增大；不同預(yù)緊等級(jí)下的位移振幅與外部激振力頻率密切相關(guān)。