HPM視角下的初中數(shù)學(xué)單元整體復(fù)習(xí)教學(xué)

余立海　栗小妮

【摘 要】研究者利用14世紀(jì)意大利的一個關(guān)于土地分配的法律案例設(shè)計圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用角平分線的性質(zhì)、三角形的兩邊之和大于第三邊、同一直角三角形中斜邊大于直角邊等知識對原法律案例進(jìn)行解釋，通過對原法律案例進(jìn)行問題變式，讓學(xué)生綜合運用與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的知識解決問題，提升了數(shù)學(xué)建模的意識與能力，并整體性復(fù)習(xí)初中階段與圓相關(guān)的知識。

【關(guān)鍵詞】圓的基本性質(zhì);數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)建模

【作者簡介】余立海，杭州市蕭山區(qū)南陽初級中學(xué)數(shù)學(xué)教師;栗小妮，教育學(xué)博士，上海市長寧區(qū)教育學(xué)院教研員。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實立德樹人根本任務(wù)的研究（A8）

在全國積極深化義務(wù)教育課程改革，落實立德樹人根本任務(wù)之際，研究適合改革需要的課堂教學(xué)刻不容緩。然而，筆者經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前已有的復(fù)習(xí)課教學(xué)大部分以“練習(xí)+講評”為主[1]，課堂教學(xué)乏味且低效。很多教師對課程標(biāo)準(zhǔn)、教材以及試題缺乏研究，直接將教輔資料的內(nèi)容作為上課的主要內(nèi)容。還有的教師因為復(fù)習(xí)課時間緊，往往采用一講到底或邊做邊講的模式，學(xué)生沒有思考和表達(dá)的機會。復(fù)習(xí)課的教學(xué)目的之一是將碎片化的知識體系化，而有的教師因為找不到合適的線索把要復(fù)習(xí)的知識串聯(lián)起來，所以只能讓學(xué)生重復(fù)操練，學(xué)生往往不清楚自己解決了什么問題。究其原因，主要是教師未能提供相對真實并可供解決的問題背景。

整體教學(xué)以知識的相互關(guān)聯(lián)性、整體性與學(xué)習(xí)者的參與性為原則[2]，倡導(dǎo)情境式的、問題定向的、案例式的、社會性的和內(nèi)在驅(qū)動的教學(xué)方式，利用講練結(jié)合、支架式生成與建模等策略使學(xué)生獲得有意義的學(xué)習(xí)[3]。而復(fù)習(xí)課就是要幫助學(xué)生建構(gòu)知識之間的聯(lián)系，形成對知識的整體理解，在建立知識之間的聯(lián)系的過程中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，在應(yīng)用知識解決問題的過程中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗[4]。所以，筆者嘗試?yán)弥惺兰o(jì)一個典型的法律案例進(jìn)行單元整體復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生參與到有意義的情境任務(wù)中，通過問題解決，建構(gòu)和完善相關(guān)知識體系。

一、歷史素材

1355年，意大利法律教授巴托魯斯（Bartolus）討論過一個關(guān)于淤積地分割的案例：如圖1，具有公共邊界OC的甲、乙兩塊土地的主人都想獲得洪水過后所產(chǎn)生的一塊肥沃的淤積地OAB（其中甲、乙兩塊土地與淤積地接壤的邊界為不規(guī)則曲線AOB，河岸線AB也為不規(guī)則曲線），雙方該如何分割淤積地呢？

有人建議延長已有的分割線CO將淤積地進(jìn)行分割，但這樣的分割方式可能會引發(fā)爭端。巴托魯斯教授意識到要公正合理地解決這樣的問題非常重要。他發(fā)現(xiàn)早在公元160年的羅馬法律著作中就有類似的問題出現(xiàn)，法律著作中雖然沒有給出實際的解決方案，但給出了一個一般性的分割原則。淤積地是由于河水沖刷原有的土地而形成的，那么分割的原則就是“沖刷誰的地形成的歸誰”?；谶@樣的原則，巴托魯斯教授給出了淤積地分割的方案：淤積地中的任何區(qū)域，離誰家原有土地更近，就歸屬誰家。

巴托魯斯教授將這一原則應(yīng)用于不同的幾何情境中。如若邊界線AOB是一條線段，那么，分割線就是過點O作垂直于AB的線段;若邊界線AOB構(gòu)成一個角（如圖2），那么，分割線就是∠AOB的角平分線;若邊界線AOB構(gòu)成圓弧，則分割線是圓心與點O的連線。

荷蘭學(xué)者馮馬楠（Jvan Maanen）認(rèn)為，將類似這樣的生活中的真實問題融入課堂，可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的融合，如本案例可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)和法律的融合，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法解決法律問題，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。這樣的分割原則，在一些國家的法律中現(xiàn)在也依然在用[5]。

“圓的基本性質(zhì)”是浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊第3章的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)對于學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法的形成都有著重要的價值?；谝陨显?，筆者利用上述法律案例設(shè)計問題串，對圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，并擬訂以下教學(xué)目標(biāo)。

（1）能對本法律問題發(fā)表自己的觀點，知道問題的歷史解決方案，并知道法律問題的解決需要滿足公平、公正和可操作的原則。

（2）能通過建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)圓的基本性質(zhì)和相關(guān)知識解決該問題的延伸問題串，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

（3）在問題解決過程中，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

二、教學(xué)設(shè)計與實施

（一）情境引入

教師將原法律案例進(jìn)行了改編（將分割線OA、OB分別改成了線段[6]），如圖2，并在上課前一天發(fā)放學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生自行設(shè)計分割方案。

課上，教師投影部分學(xué)生的分配方案，然后讓對應(yīng)的學(xué)生說明自己設(shè)計的分配方案的依據(jù)，教師在學(xué)生表達(dá)自己的觀點后與其他學(xué)生一起進(jìn)行評價。

師：根據(jù)收集上來的統(tǒng)計情況，同學(xué)們的分配方案主要有平均分配、補差分配、按比例分配、按分割線分配等，其中大部分同學(xué)都是按分割線分配，可見大家都喜歡從數(shù)學(xué)的角度來思考問題。老師選了一些比較典型的分割線分配方案，請同學(xué)們自己來說一說這樣分配的依據(jù)。

生1：我想盡量平均分配，方法是連接AB，取AB中點D，連接OD并延長至河岸線交于點E，OE為分割線（如圖3）。

師：這位同學(xué)表述非常規(guī)范，用了“盡量”平均，因為他這樣操作并不一定能平均。

生2：我也是想盡量平分面積，方法是取河岸線AB的中點C，連接OC即為分割線。

師：這位同學(xué)也用了“盡量”平分，因為他這樣操作也并不一定能平分，而且不規(guī)則曲線AB的中點很難找到。

生3：我是想盡量按比例分，方法是過點O作一條分割線使得Sa∶Sb=S甲∶S乙。

師：由于不規(guī)則，這位同學(xué)的分割線也很難準(zhǔn)確得到。

生4：我是想盡量平分面積，方法是連接AB，作AB的中垂線，中垂線與河岸和邊界的交點連線作為分割線（如圖4）。

師：這位同學(xué)也想平分這塊淤積地的面積，但這樣的操作也無法真正平均分配。

師：聽了同學(xué)們的講解，我發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)都希望平均分配，都希望公平、公正地解決這個問題，但具體的操作和同學(xué)們所想的依據(jù)并不完全符合，而按比例分配可能會造成多的越多，少的越少的情況，也無法得到甲、乙雙方的認(rèn)可，而且操作起來也非常困難，那么當(dāng)初這個問題又是如何解決的呢？我們一起來看一下。

教師先出示巴托魯斯教授的分配依據(jù)——就近，并說明此依據(jù)當(dāng)初得到了甲、乙雙方的一致認(rèn)可，然后介紹在這樣的依據(jù)下的具體操作，并提出新的問題。

師：巴托魯斯教授這樣操作為什么符合離誰原有土地邊界近就歸誰這個依據(jù)呢？

生：他利用角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

師：那為什么角平分線右邊的點離乙的邊界OB更近呢？

生：假設(shè)任意取點P，先向兩個邊界作垂線段，記作PM、PN，量取后進(jìn)行比較即可。

師：你說的方法能解決點P，但其余的點呢？我們都靠量取的話這個工作能做得完嗎？

生：如圖5，我們可以記PM與角平分線的交點為C，過點C再作OB的垂線，與OB交于點M′，由角平分線的性質(zhì)可得CM=CM′，所以根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，以及在同一三角形中，斜邊大于直角邊可以得到PM=PC+CM=PC+CM′>PM′>PN。

師：同學(xué)們借助數(shù)學(xué)知識科學(xué)地解釋了點P離分界線OB比較近，由于點P的任意性我們可以說明角平分線右側(cè)的點都離分界線OB比較近，反之也可以用同樣的方法去說明左側(cè)的點離分界線OA比較近，這樣就能解釋他的操作是符合當(dāng)時的分配依據(jù)的。

（二）情境再創(chuàng)

因為本節(jié)課的目標(biāo)是復(fù)習(xí)圓的基本性質(zhì)，而且學(xué)生之前的分割方案中已涉及圓的相關(guān)性質(zhì)，所以教師采用對學(xué)生分割方案通過情境再創(chuàng)的方式進(jìn)行問題設(shè)計，這樣既可以縮短理解新問題的時間，又可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

問題1：如圖6，在學(xué)生做法的基礎(chǔ)上，連接AB，分別作AB與OB的垂直平分線，并交于點D，若此時淤積地的法定分割線恰為OD的一部分，判斷原邊界線OA和OB的數(shù)量關(guān)系。

生1：如圖6，過點D作AO的垂線交AO于點M，因為DN⊥BO，且DO是角平分線，則由角平分線的性質(zhì)定理可得到DM=DN，作圖可知點D是△ABO的外接圓圓心，所以根據(jù)圓心角定理的逆定理可以直接得出AO=BO。

生2：由DO是角平分線，則∠AOD=∠BOD，又因為點D是△ABO的外接圓圓心，所以根據(jù)圓周角定理的推論——同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，可以得到與弧AO和弧BO度數(shù)互補的弧相等，則AO=BO，再根據(jù)圓心角定理逆定理可以得到AO=BO。

生3：還可以先證明△DOM≌△DON，得到MO=NO，然后由垂徑定理得到AO=2MO，又由條件知BO=2NO，得到AO=BO。

師：很好，同學(xué)們用到了圓周角定理的推論、圓心角定理逆定理、垂徑定理以及三角形全等等數(shù)學(xué)知識證明AO=BO。

（三）問題遷移

在不改變分割規(guī)則的前提下，教師通過改編原始圖形設(shè)計問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，進(jìn)一步復(fù)習(xí)圓的相關(guān)性質(zhì)。

問題2：如圖7，邊界線AOB為長度80米的線段，且河岸線為一段半徑為50米的圓弧，則淤積地的法定分割線如何畫？[6]

圖7

生：只要過點O作AB的垂線交弧AB于點H，OH即為所求分割線，其實還是角平分線，只是現(xiàn)在是一個平角而已。

師：非常好，這位同學(xué)不僅給出了分割線，還解釋了原因。那這個法定分割線OH的長度可求嗎？

生1：會隨著O點位置的改變而改變，只有點O確定才可求。

師：那我們選一個特殊的位置，比如中點，然后試著計算它的長度。

生2：如圖8，延長HO，由HO是弦AB的中垂線，根據(jù)找圓心的方法可知圓弧AB所在圓的圓心一定在射線HO上，假設(shè)為點D，連接BD，由勾股定理可得DO=30米，則HO=20米。

師：那如果不是中點，而是AO∶BO=1∶3，還可以求嗎？

生3：如圖9，在原來的基礎(chǔ)上假設(shè)有一點O′滿足AO′∶BO′=1∶3，再構(gòu)造一個由半徑、半弦、弦心距組成的Rt△DMH′，和剛才一樣利用勾股定理就可以求解。

師：非常好，從方法上來看，在知道半徑和弦長的情況下，只要知道AO∶BO的值，就可以求出此時分割線OH的長度，請同學(xué)們課后思考AO∶BO=1∶n時的情況。

（四）變式深化

在不改變分割規(guī)則的前提下，教師在問題2的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步改編原始圖形，將邊界線改為圓弧，讓學(xué)生尋找解決問題的方案。

問題3：如圖10，若邊界線AOB為圓弧，該如何分配淤積地？[6]

師：如果我們繼續(xù)改變邊界線和河岸線的形狀，若邊界線AOB為圓弧，則按照剛才的分配依據(jù)，你能不能把分割線畫出來？

生1：如圖11，在淤積地區(qū)域任意找個點P，那么從圖中點P的位置可以猜想點P與邊界AO的最近的點就是點O，即PO的長，而點P與邊界BO最近的點是過圓心D時直線DP與邊界BO的交點H，即PH的長，目測PH

師：誰能借助已學(xué)的數(shù)學(xué)知識用推理的方式解釋PH

生2：根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊得PD+PO>OD=DH=PD+PH，即PH

師：也就是說，淤積地中任意一個點與圓心D連接的直線與邊界線的交點在哪家邊界上就離哪家的邊界近，這樣就能解釋為什么分割線是DO上的一段。

（五）回顧總結(jié)

在該教學(xué)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面進(jìn)行總結(jié)。

（1）一個原則。淤積地分割問題的解決原則是對雙方都公平、公正，即雙方都認(rèn)可的分配方案且具有可操作性。從最初的淤積地分割到教師改編的問題2、問題3都遵循了一個基本準(zhǔn)則——就近。

（2）一塊知識。本節(jié)課利用淤積地分割問題整體復(fù)習(xí)了與圓的性質(zhì)有關(guān)的知識。在分配方案的解決過程中，主要運用以下數(shù)學(xué)知識：①角平分線上的點到角兩邊的距離相等;②三角形的兩邊之和大于第三邊;③直角三角形的斜邊大于直角邊。在問題1的解決過程中，主要復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)知識有：①不在同一直線上的三點確定一個圓;②圓心角逆定理——在同圓或等圓中，相等的弦心距所對的弦相等;③圓周角定理的推論——同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等;④圓心角逆定理——在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等;⑤全等三角形的判定方法（AAS）;⑥垂徑定理——垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

問題2和問題3都對原情境進(jìn)行了改編，增加了學(xué)生的思維難度，考查學(xué)生綜合利用知識的能力。問題2主要運用的數(shù)學(xué)知識包括垂徑定理推論，即垂直于弦（弦非直徑）并平分弦的直線過圓心，以及與圓有關(guān)的計算;問題3在新的情境下尋找分配方案，本質(zhì)上是圓內(nèi)一點到圓周的最短路徑問題，學(xué)生需通過仔細(xì)審題，將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)問題后再尋求解決方法。

（3）一種思想?；跉v史上的法律問題設(shè)計問題串，用數(shù)學(xué)知識來分析和解決現(xiàn)實問題。在不同的情境下，用數(shù)學(xué)方法來解釋“就近”原則，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的模型思想和應(yīng)用價值，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題，用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實世界。

三、學(xué)生反饋

課后，筆者收集了該班25名學(xué)生對于本節(jié)課的反饋信息。對于“通過這節(jié)課，你體會到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有哪些價值？”這個問題，有18名學(xué)生提到了可以利用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實際問題;有6名學(xué)生提到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助思維更有邏輯性;有1名學(xué)生提到了可以用類似的方法解決其他的問題。由此可以看出，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂能使學(xué)生更深刻地體會到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

對于“你認(rèn)為要解決本節(jié)課所遇到的法律問題應(yīng)遵循怎樣的原則？”這個問題，96的學(xué)生提出應(yīng)遵循公平、公正、可操作的分配原則，由此可以說明，數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)對學(xué)生學(xué)習(xí)是有意義的。

對于“這節(jié)課你印象最深的是什么？為什么？”這個問題，有8名學(xué)生提到了用數(shù)學(xué)知識解決法律問題，認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識有實際應(yīng)用價值;7名學(xué)生提到了一題多解，認(rèn)為問題1的解法多種多樣，很有意思，也讓他們知道解題思路的多樣性;7名學(xué)生提到了主要用到了圓的基本性質(zhì)解決問題，復(fù)習(xí)了圓的基本性質(zhì);3名學(xué)生提到了各種分配方案。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課利用淤積地分割問題設(shè)計問題串，一方面讓學(xué)生在解決問題的過程中整體性復(fù)習(xí)與圓的性質(zhì)有關(guān)的知識，另一方面，通過問題的不斷改編和層層深入研究，讓學(xué)生在不同情境下基于“就近”原則，給出了不同數(shù)學(xué)解釋，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

本節(jié)課對淤積地分割問題的研究主要可以分為三個階段。第一階段，無原則嘗試分割。課前教師利用學(xué)生學(xué)習(xí)單展示問題，讓學(xué)生設(shè)計分配方案。課上展示方案，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生有機會表達(dá)自己的觀點，大部分學(xué)生的分配分案都是基于自己對問題的理解并用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了初步的分割操作，但分割存在無原則或者不好操作的問題。第二階段，初步嘗試按“就近”原則分割。教師展示了歷史上巴托魯斯教授給出的分割原則，并讓學(xué)生利用所學(xué)知識進(jìn)行分割，并給出解釋，學(xué)生初步用數(shù)學(xué)的方法解釋“就近”原則，通過教師的設(shè)問，初步復(fù)習(xí)了與圓的性質(zhì)有關(guān)的知識。第三階段，不同情境下的“就近”解讀。問題2和問題3是將淤積地的形狀改變后，讓學(xué)生重新用數(shù)學(xué)的方法解讀已有的分割原則，體會不同情境下“就近”的不同數(shù)學(xué)解釋，進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實問題。在將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)問題解決的過程中，利用與圓的性質(zhì)有關(guān)的知識解決問題。

不同情境下的分割方案均隱藏著統(tǒng)一的“就近”原則，讓學(xué)生體會到解決法律問題時對于公平、公正要求的數(shù)學(xué)解釋。在利用數(shù)學(xué)知識解決問題時，讓學(xué)生感受到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)精神，感受到做人做事要講“道理”，彰顯了德育之效。

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（責(zé)任編輯：陸順演）