初中數學速解動點問題的策略研究

谷琴

摘要：初中數學動點問題中的函數圖象問題是學生學習的重點，也是難點，更是中考熱點，通常多以選擇、填空題的形式出現。大多數學生遇到這個類型的問題都束手無策。其實，只要我們通過大量的實例，分析其本質，問題就迎刃而解。如何速解初中數學動點問題中的函數圖象問題呢？歸根結底主要還應夯實學生的“四基”，培養(yǎng)學生的“四能”。本文將對初中數學動點問題中的函數圖象問題的類型及速解策略進行探討研究。

關鍵詞： 初中數學; 動點函數;速解策略

初中數學動點函數圖象問題主要考查學生的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗以及發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，旨在通過解決這些問題培養(yǎng)學生的各種能力，掌握解題的基本思想和速解策略。

一、中考動點問題中的函數圖象問題的常見考查類型

1、分析實際問題判斷函數圖象

2、結合幾何圖形中的動點問題判斷函數圖象

3、分析函數圖象，然后進行幾何計算。

二、初中數學動點函數圖象問題的速解策略

想要速解動點函數圖象問題，應通過大量的實際例子，深入分析問題的本質，橫向找聯系和共性，縱向找本質的區(qū)別。具體策略如下：

1、分析題意，明確意義。明確橫軸、縱軸上的兩個變量所代表的意義、動點運動的方向、速度以及點在幾何圖形上運動過程中的特殊位置：起點、拐點和終點。

2、操作演示，找準對應。讓學生實際操作，畫出運動中的幾種圖形，然后，教師再借助于現代信息技術幾何畫板演示動點運動過程中所構造出的圖形，找準動點在幾何圖形中運動的過程中特殊點（起點、拐點和終點）與函數圖象中特殊點之間的對應關系。

例1：（2020·平頂山二模）如圖①，在? ?ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運動，設點P經過的路程為x，△ABP的面積為y，把y看作x的函數，函數的圖象如圖②所示，則圖②中的a等于（ ）

A.3 15 ? ? ?B.4 6? ? ? ?C.14? ? ? D.18

點評：本題中動點P在幾何圖形上運動的過程中分三種情況：⑴點P在BC上運動;⑵點P在CD上運動;⑶點P在BD上運動。運動中的這三種情況分別對應右圖中的三段函數圖象。其中點P在幾何圖形上運動的過程中有幾個特殊位置：起點B、拐點C、拐點D和終點B，它們分別對應右圖函數圖象中起點（0，0）、拐點（6，a）、拐點（14，a）、終點（18，0）。找準了對應關系，結合兩個變量的意義及所求的問題，列出符合題意的方程即可求解。

3、“動”中尋“靜”，以“靜”制“動”。例2：（2020·河南二模）如圖①，在正方形ABCD的邊BC上有一點E，連接AE.點P從正方形的頂點A出發(fā)，沿A→D→C以1 cm/s的速度勻速運動到點C.圖②是點P運動時，△APE的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的函數圖象。當x=7時，y的值為（? ? ）

A.7? ? ? ? ?B.6? ? ? ? C.132? ? ? ?D.112

點評：本題是動點函數圖象問題，我們要以不變應萬變，以不動制萬動，“動”中尋“靜”，以“靜”制“動”。其中點P在幾何圖形上運動的過程中有幾個特殊位置：起點A、拐點D和終點C，我們可以把點P運動到幾個特殊位置的那一瞬間的狀態(tài)看成是靜止的，它們分別對應右圖函數圖象中起點、拐點、終點。綜合幾何圖形和對應的函數圖象，分析點P運動到幾個特殊位置的那一瞬間的已知量和未知量，然后建立方程，從而解決問題。

4、橫縱對比，回歸本質。例3：（2020·鄭州二模）如圖，在正方形ABCD中，邊長CD為3 cm.動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AC方向運動到點C停止.同時動點Q從點A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿折線AB→BC方向運動到點C停止.設△APQ的面積為y（cm2），運動時間為x（s），則下列圖象能反映y與x之間關系的是（ ）

點評：根據點P、Q的運動速度和運動方向，可分兩種情況：①當點Q在AB上運動時，此時?APQ的底AP和高EQ都是變化的量，因為三角形面積= ×底×高，所以?APQ的面積是自變量x的二次函數。②當點Q在BC上運動時，?APQ的底CQ是變化的量，而高AB是常量，所以此時?APQ的面積是自變量x的一次函數。所以選D。

例4.（2020·銅仁）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D，設點P運動的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數關系的圖象大致是（ ）

點評：例4中，分兩種情況①當點P在BC上運動時，此時?APQ的底AD和高AB都是常量，因為三角形面積= ×底×高，所以?APQ的面積仍是一個常量，此時函數是常數函數。②當點P在CD上運動時，?APQ的底AD是常量，而高PD是變化的量，所以此時?APQ的面積是自變量x的一次函數。所以選D。

歸納：對于動點問題中的關于三角形面積的函數圖象的判斷問題，我們可以總結如下速解策略：當三角形的底和高都是常量時，其面積也是常數，因此是常數函數。當三角形的底和高中有一個變化的量，則其面積就是自變量的一次函數。若那個變化的量隨自變量的增大而增大，則面積也隨自變量的增大而增大，圖象從左到右呈上升趨勢;若那個變化的量隨自變量的增大而減小，則面積也隨自變量的增大而減小，圖象從左到右呈下降趨勢。當三角形的底和高中兩個量都是變量，那么其面積一定是自變量的二次函數。若兩個變量都隨自變量的增大而增大或者都隨自變量的增大而減小，則二次函數的二次項系數一定是正數，所以拋物線的開口向上;若兩個變量一個隨自變量的增大而增大，另一個隨自變量的增大而減小，則二次函數的二次項系數一定是負數，所以拋物線的開口向下。 掌握了常數函數、一次函數、二次函數的本質特征，解決這些問題就易如反掌。

因此，教學中我們要引導學生去發(fā)現問題，分析問題，對遇到的問題進行探究，從而解決問題，總結解決問題的方法策略。作為教師我們更要努力成為研究型教師、專家型教師。

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