利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)取值范圍方法賞析

廣東省廣州外國語學(xué)校(511455) 葉土生 吳小五

高中數(shù)學(xué)中,求某一個(gè)參數(shù)的取值范圍是很常見的一種題型.這類問題涉及知識點(diǎn)多,可考查的數(shù)學(xué)思想方法豐富,并能很好地體現(xiàn)“在知識交匯處命題,以能力立意”的高考宗旨,所以常受到高考命題專家的青睞.利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)取值范圍是一種常見的考查形式,可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、零點(diǎn)、最值、極值等知識考查.常見解題的方法有三種:

1.帶參直接處理.這一般將問題轉(zhuǎn)化為分類討論研究.

2.分離參數(shù).將參數(shù)與主元分離,轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)具體函數(shù)的最值問題或函數(shù)值范圍問題.

3.數(shù)形結(jié)合.這一方法常見于一些小題,此時(shí)要關(guān)注參數(shù)的幾何意義,轉(zhuǎn)化為研究圖像的位置關(guān)系.

下面通過具體的例子加以說明:

一、典例賞析

評注 解法二將參數(shù)m獨(dú)立出來后,將問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)m和具體函數(shù)f(x)的函數(shù)值間關(guān)系問題.化不確定性為確定性,是處理參數(shù)取值范圍的一種常見方法.對函數(shù)求導(dǎo)后,一般還需研究導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)位置以確定函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)值取值范圍等.這時(shí)如能根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)的簡圖,以幫助分析問題,可以降低思維梯度,提高解題準(zhǔn)度.

二、方法透析

思路2仔細(xì)分析不等式xlnx?ax+a≥0,可以發(fā)現(xiàn)不等式可以轉(zhuǎn)化為xlnx≥ax?a.左邊函數(shù)y=xlnx(x>1)是常見函數(shù),性質(zhì)明確易求.右邊y=ax?a,參數(shù)a是一條過定點(diǎn)(1,0)直線的斜率,幾何意義明確,將問題轉(zhuǎn)化為過(在)一點(diǎn)求曲線切線問題,所以數(shù)形結(jié)合也是合理的選擇.具體解答過程請讀者自行給出.

評注分離參數(shù)法一定要注意獨(dú)立出來的函數(shù)性質(zhì)易于研究,函數(shù)圖像容易給出,否則,如果你的知識儲備不夠往往將陷入困境.當(dāng)參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)明確,函數(shù)性質(zhì)清晰,帶參直接分類討論是這類問題的“通法”.學(xué)習(xí)時(shí)不能為了刻意追求“妙招”而忽視通法的訓(xùn)練.當(dāng)參數(shù)的幾何意義清晰明確,特別在小題中,可以先試著應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題,這一般計(jì)算量相對會小一些.

解析本例顯然不適合帶參直接處理,因?yàn)閹⑶髮?dǎo)f′(x)= (2x+ 1)ex?a后無法進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì),二次求導(dǎo)后又需進(jìn)行多重分類討論.因?yàn)閒(x)<0 等價(jià)于(2x?1)ex

思路1根據(jù)例3 分析,因?yàn)閰?shù)a的幾何意義明確,所以數(shù)形結(jié)合是首選方法,將問題轉(zhuǎn)化為過一個(gè)點(diǎn)作已知曲線的切線問題.

例4(2017 高考全國I 卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ae2x+ (a?2)ex?x.若f(x) 有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

思路1本例因?yàn)閰?shù)幾何意義不清晰,顯然不適合數(shù)形結(jié)合,另外解答題要避免以圖代證的不嚴(yán)謹(jǐn)表述.本例求導(dǎo)后f′(x)= 2ae2x+(a?2)ex?1= (aex?1)(2ex+1),發(fā)現(xiàn)參數(shù)a的取值范圍不同,函數(shù)的性質(zhì)發(fā)生很大變化,本例需要牢牢抓住a的范圍,才能得到清晰的函數(shù)性質(zhì).所以本例選擇對a進(jìn)行分類討論比較合理.結(jié)合導(dǎo)數(shù)零點(diǎn),先明確分類標(biāo)準(zhǔn),然后帶參分類討論是本例得以解決的關(guān)鍵.具體解答過程請參照相關(guān)資料,在此不再贅述.

思路2另外,由f(x)=0,即ae2x+(a?2)ex?x=0,得參數(shù)很容易被分離出來,所以本例利用參數(shù)分離法能不能研究呢? 又是否合理呢? 這就取決于同學(xué)們研究函數(shù)性質(zhì)的能力,代數(shù)式變形能力及意志品質(zhì).因在相關(guān)資料還沒有發(fā)現(xiàn)用分離參數(shù)法求解本例,以下給出簡單解答.

評注以上解法并不顯得很復(fù)雜,關(guān)鍵是能否根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)值取值范圍.另外,在解答題中要避免以圖代證的不嚴(yán)謹(jǐn)表述,一定要把函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)取值范圍等性質(zhì)說明清楚才能給出結(jié)論.

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)解題,一題多解是數(shù)學(xué)解題需要重視的一種提高自己解題能力的方法,也是一種有效途徑.但一題多解不是目的,不能為了一題多解而一題多解,要在解答過程中總結(jié)哪種方法適合哪類題型,選擇哪個(gè)方法更加合理有效.一題多解的目的在于將能力升華為多題一解,對于一道陌生的題目能快速找準(zhǔn)解題突破口,選擇最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法,以最快的方法給出準(zhǔn)確的解答,這才是一題多解的目的.

我們也常常說平時(shí)要注重“通性通法”的訓(xùn)練,但何為“通性通法”? 參數(shù)的取值范圍通法是什么呢? 分類討論、數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)都應(yīng)該是這類問題的通法.所謂“通性通法”一定是要建立在對問題形式、結(jié)構(gòu)有深刻理解的基礎(chǔ)上,在有多種方法選擇的情況下,能迅速找到最合理有效的方法給出正確的解答,才是對通性通法最準(zhǔn)確的理解.只有通過同學(xué)們自己深入思考,才能深刻明白方法的適用范圍,才更能深刻領(lǐng)悟方法的合理性,特別在高三復(fù)習(xí)過程中,要重視一題多解,更要重視多題一解,找準(zhǔn)一類問題的通法.