數(shù)學(xué)通報(bào)2530號(hào)問題引發(fā)的研究

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 葉秀錦

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2020年2月2530 號(hào)問題已知a,b,c ∈[?2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3的最大值.

供題人張?jiān)迫A老師構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)(x?2)(x+1)2=x3?3x?2,利用這個(gè)函數(shù)恒不大于0 的性質(zhì),得到a3+b3+c3≤3(a+b+c)+6= 6,最終指出a,b,c中有1 個(gè)2 和2 個(gè)1 時(shí)取得最大值[1].仔細(xì)研讀這個(gè)構(gòu)造的函數(shù)的方法,領(lǐng)悟到它有3 個(gè)要點(diǎn):(1)可以與0 比較大小(即0 是其值域的上確界);(2)消去x2項(xiàng),將x3項(xiàng)和x項(xiàng)聯(lián)系起來;(3)函數(shù)構(gòu)造的不等式等號(hào)最終可以取到.由此我們將原問題進(jìn)行一個(gè)推廣.

原題目的取值范圍是可以取到負(fù)數(shù)的,如果我們把原題目的取值范圍改為[0,2],再把和改為2(因?yàn)槿≈底兇罅?和必須增大,否則只有全等于0 一個(gè)可能性),得到如下變式.

變式已知a,b,c ∈[0,2],a+b+c=2,求a3+b3+c3的最大值.

解析如果我們按照原題的解法,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x?2)(x+1)2=x3?3x?2 ≤0,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c ∈{?1,2}.又?1 /∈[0,2],故a=b=c=2,a+b+c=6,這明顯是不可能的,違反了構(gòu)造函數(shù)要點(diǎn)(3).我們應(yīng)該用一種全新的構(gòu)造函數(shù)方法,依照三個(gè)構(gòu)造函數(shù)要點(diǎn),我們可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=x(x?2)(x+2)=x3?4x≤0,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x ∈{0,2}.于是a3?4a≤0,b3?4b≤0,c3?4c≤0,a3+b3+c3≤4a+4b+4c=8.設(shè)等號(hào)成立時(shí)a,b,c中有m個(gè)2,3?m個(gè)0,有2m=2,m=1,等號(hào)成立時(shí)a,b,c有1 個(gè)2,2 個(gè)0.

如果我們?cè)谠}中采取這種新的構(gòu)造函數(shù)方法,構(gòu)造函數(shù)f(x)=x(x?2)(x+2)=x3?4x,由于這時(shí)0 不再其值域的上界,從而對(duì)于解題而言失效.

從上分析可知取值是否非負(fù)時(shí),構(gòu)造的函數(shù)是不同的.同時(shí)我們類似原式推廣可得到變式的推廣1.

分析類似變式,構(gòu)造函數(shù)f(x)= (x?a)(x?b)(x+a+b)≤0 可解.

在得到這些推廣后,筆者嘗試將原題和變式由x3推廣到xn,原題的推廣失敗了,變式的推廣成功了.變式的推廣首先要解決構(gòu)造函數(shù)的問題,這是一個(gè)多項(xiàng)式恒等問題.