利用同構(gòu)法解決一類雙切線問題*

廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)(518040) 高軍

在高考題或各地模擬題中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一類與雙切線(過(guò)一點(diǎn)作二次曲線的兩條切線)有關(guān)的問題,這類問題難度較大,對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力要求較高,本文主要介紹同構(gòu)法在解決這類問題中的應(yīng)用.所謂同構(gòu)法,即在求解一些數(shù)學(xué)問題中,往往會(huì)出現(xiàn)一些除變量外完全相同的結(jié)構(gòu),解題時(shí)利用其同構(gòu)的特點(diǎn),尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系,繼而利用同構(gòu)后的某種性質(zhì)進(jìn)行解題的方法.

一、問題呈現(xiàn)

題目(2021年高三八省聯(lián)考數(shù)學(xué)第7 題) 已知拋物線y2= 2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x?2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析圓的切線AB,AC具有性質(zhì)相似、地位相同的特點(diǎn),在解題過(guò)程中,進(jìn)行類比推理得到結(jié)構(gòu)相同的式子,合理構(gòu)造共性,可化繁為簡(jiǎn),輕松解決問題.

二、解法探究

三、方法應(yīng)用

四、問題及變式

由上述同構(gòu)法得到的三個(gè)結(jié)論,我們可以解決一系列的有關(guān)二次曲線的雙切線問題.

(一)雙切線交點(diǎn)的軌跡方程

(二)雙切線斜率的調(diào)和性質(zhì)

(三)圓錐曲線的一個(gè)等角性質(zhì)

評(píng)注 可見由同構(gòu)法得出的三個(gè)結(jié)論,在解決二次曲線雙切線問題中發(fā)揮了重要作用.解決問題及變式的過(guò)程滲透方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想,有利于培養(yǎng)學(xué)生四能(提出和發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題的能力),發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).對(duì)于其它的雙切線問題,由于雙切線的性質(zhì)相似、地位相同的特點(diǎn),我們也可用同構(gòu)法加以解決,讀者不妨試一試.

五、考題鏈接