高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的策略探究
——以人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊函數(shù)的概念教學(xué)為例

文/中山市濠頭中學(xué) 喬爽麗

數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，其學(xué)科本質(zhì)是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)思維，追求數(shù)學(xué)精神。數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是高中階段學(xué)生育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生在中學(xué)階段需要的必備品格和關(guān)鍵能力。在新課標(biāo)要求下，數(shù)學(xué)抽象在高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中有重要地位。

高中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的主要任務(wù)是:引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生產(chǎn)生活、社會中的活動經(jīng)驗(yàn)和具體問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識和方法進(jìn)行思考，把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確地抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言或者數(shù)學(xué)符號表述出來并加以解決，逐步養(yǎng)成理性思考問題的習(xí)慣，從而更好解決問題。

函數(shù)是描述變量間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。用集合和對應(yīng)的語言更清楚地表達(dá)函數(shù)的概念，有助于我們正確認(rèn)識函數(shù)、理解函數(shù)和運(yùn)用函數(shù)解決問題。函數(shù)概念是新人教A 版數(shù)學(xué)必修第一冊第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”中第一節(jié)。本節(jié)課主要蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象四大核心素養(yǎng)，是高中學(xué)習(xí)函數(shù)的起始課。作為中學(xué)階段數(shù)學(xué)課程的一條主線，函數(shù)內(nèi)容的安排體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念抽象的層次性。第一個層次，作為第一冊第三章內(nèi)容，它是對第一章集合內(nèi)容的鞏固和發(fā)展。第二個層次，高中函數(shù)學(xué)習(xí)具有系統(tǒng)性，與后面三角函數(shù)、數(shù)列、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等內(nèi)容存在密切聯(lián)系?，F(xiàn)代，函數(shù)的應(yīng)用已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、自然科學(xué)乃至人文科學(xué)的各個領(lǐng)域中了。在計(jì)算機(jī)程序語言中，函數(shù)概念有了很大拓展并得到了充分應(yīng)用。特別是在某些人工智能語言中，幾乎所有的操作都用函數(shù)來表示。因此，在函數(shù)概念教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的必然要求。

一、情境設(shè)計(jì)，抽象數(shù)學(xué)問題

教科書60 頁首先回顧了初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的函數(shù)的定義。然后引出情境設(shè)計(jì):“正方形的周長l 與邊長x 的對應(yīng)關(guān)系式是l =4x，而且對于每一個確定的x都有唯一的l 與之對應(yīng)，所以l 是x 的函數(shù). 此函數(shù)與正比例函數(shù)y =4x 是否相同?又如，你能用初中學(xué)過的函數(shù)知識判斷y =x 與是否相同嗎?”如果學(xué)生要回答這些問題，需要對函數(shù)的概念再認(rèn)識。

通過適當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)置，讓學(xué)生體會到，由于知識儲備有限，利用初中所學(xué)函數(shù)定義回答這些問題有困難，需要對函數(shù)概念有更高層次的解釋和理解. 需要從根本上揭示函數(shù)的本質(zhì)。重新從集合和對應(yīng)的語言更清楚來表達(dá)函數(shù)的概念。

二、歸納探索，抽象函數(shù)概念

新人教A 版數(shù)學(xué)必修第一冊教科書60 －62 頁，問題1 是運(yùn)動中的路程問題，以解析式呈現(xiàn)。通過問題設(shè)置激發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的沖突，發(fā)現(xiàn)初中函數(shù)概念“變量說”的不嚴(yán)謹(jǐn)、不完整性，使學(xué)生體會用集合語言和對應(yīng)關(guān)系重新定義函數(shù)的必要性。在教師的引導(dǎo)下，給出了用更高層次的數(shù)學(xué)語言抽象具體問題中對應(yīng)關(guān)系的示范。為后續(xù)三個實(shí)例做鋪墊，在變化的情境中引導(dǎo)學(xué)生用同樣的語言描述相應(yīng)的變量關(guān)系和規(guī)律，從而形成歸納、概括概念的素材。

第2 個問題屬于經(jīng)濟(jì)生活問題，教科書中是用解析式呈現(xiàn)。通過問題2，學(xué)生能鍛煉抽象概括能力，知道函數(shù)的三個要素能完全確定一個函數(shù)。

第3 個問題屬于自然界情境問題，教科書中是用圖像呈現(xiàn)的。學(xué)生在理解圖像呈現(xiàn)的函數(shù)時會出現(xiàn)困難，特別是當(dāng)函數(shù)值的集合和函數(shù)值所在的集合不一樣時，從而增強(qiáng)用抽象符號表示函數(shù)的必要性。

第4 個問題屬于生活問題情境，教科書中是用表格呈現(xiàn)的。使學(xué)生注意到函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不僅可以用解析式、圖像表示，還可以用表格表示，為抽象出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f 做鋪墊，讓學(xué)生進(jìn)一步體會到函數(shù)的三個要素的意義，也再次讓學(xué)生體會函數(shù)值的集合和函數(shù)值所在的集合是不同的。

通過上述問題1 ～問題4 中的函數(shù)的共同特征，回顧用集合與對應(yīng)語言刻畫函數(shù)的過程，引導(dǎo)學(xué)生以表1的形式抽象出函數(shù)的本質(zhì)特征。

表1 函數(shù)特征表

引導(dǎo)學(xué)生對4 個問題歸納、概括，從而得出函數(shù)的3 點(diǎn)共同特征:①都有兩個非空的實(shí)數(shù)集，我們用A，B來表示;②都有一個對應(yīng)關(guān)系;③雖然4 個問題中對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但都有一個共同的特征:一個數(shù)集到另一個數(shù)集的一種確定的對應(yīng)關(guān)系。對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B 中都有唯一確定的數(shù)y 和它對應(yīng)。

由上面的共同特征，抽象出函數(shù)的一般性定義。強(qiáng)調(diào)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不僅可以用解析式、圖像表示，還可以用表格表示，在高中數(shù)學(xué)定義中，我們引進(jìn)用抽象的符號f 來表示對應(yīng)關(guān)系。

三、巧用數(shù)學(xué)抽象符號y =f(x)，理解數(shù)學(xué)抽象內(nèi)涵

在認(rèn)識了函數(shù)自變量與函數(shù)值這兩個要素后，如何理解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系成為很關(guān)鍵的教學(xué)問題。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過四個問題的分析，在解析式、圖像和表格中認(rèn)識并抽象出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。對于數(shù)學(xué)抽象符號y = f(x)，很多學(xué)生不理解函數(shù)符號的意義。1797 年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日指出:“我們用字母 f 或者F 放在一個變量前面以表示該變量的一個函數(shù)，即表示依賴于這個量的另一個量，它按一種給定的規(guī)律隨那個變量一起變化”。當(dāng)自變量為x 時，f(x)表示對應(yīng)的唯一確定的函數(shù)值，并不表示f 與x 的乘積。此處的抽象符號f 實(shí)際上是一種對應(yīng)關(guān)系，在題目中可以是解析式，也可以是圖像或者圖表來呈現(xiàn)。

四、類比聯(lián)想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

用這個新的函數(shù)定義，引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)識初中學(xué)過的三類函數(shù)，如表2 所示。

表2 函數(shù)類形表

讓學(xué)生用新的語言描述學(xué)過的函數(shù)，既可以熟悉新概念，又能和舊的概念做比較，感受“集合—對應(yīng)說”函數(shù)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)。

五、概括演練，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象

例題:試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x(10 －x)來描述。

我們把y =x(10 －x)看成一個二次函數(shù)，那么它的定義域就是R，值域是對應(yīng)關(guān)系f把R 中的任意一個數(shù)x 對應(yīng)到B 中唯一確定的數(shù)x(10 － x)。

構(gòu)建問題情境，解析函數(shù)y =x(10 －x)的對應(yīng)關(guān)系，這是一個從抽象到具體的過程，也可以看成是不同表示方式之間的相互轉(zhuǎn)換，可以使學(xué)生體會函數(shù)的三要素，以及一個一般抽象函數(shù)表達(dá)式的廣發(fā)適用性，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維。