非線性差分方程的幾種特殊求法

◎ 王君玉

非線性差分方程廣泛出現(xiàn)在自然科學(xué)領(lǐng)域，在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、工程學(xué)中都有著重要的應(yīng)用，因此如何求非線性差分方程的解是學(xué)者普遍關(guān)注的問(wèn)題，對(duì)解常見(jiàn)的線性差分方程問(wèn)題又較成熟的方法，筆者介紹非線性差分方程的幾種特殊求法。

一、不動(dòng)點(diǎn)法

若f(α)=α，則稱α為f(x) 的不動(dòng)點(diǎn)，用不動(dòng)點(diǎn)法可把非線性差分方程化為等差、等比數(shù)列或某些可求解的遞推關(guān)系，達(dá)到求解目的。

評(píng)注:分式差分方程由于它形式的特殊性，在求其通解時(shí)它的不動(dòng)點(diǎn)也必定會(huì)有一些更巧的用處，我們可以找出不動(dòng)點(diǎn)、xn和xn-1之間的等量關(guān)系，然后再由遞歸的方式來(lái)計(jì)算它的通解。

根據(jù)此類方法，筆者編出以下題。

二、取對(duì)數(shù)法

運(yùn)用取對(duì)數(shù)方法，可將含有指數(shù)或根式的遞推式轉(zhuǎn)化為等差、等比等數(shù)列求解。

評(píng)注:對(duì)于指數(shù)式或根式的差分方程，兩邊取對(duì)數(shù)，可把其化為一階線性差分方程，求得通解后再轉(zhuǎn)化為題目所求數(shù)列的通項(xiàng)。

根據(jù)以上方法，筆者編出以下題

例4 解差分方程

解設(shè)zn=lnxn，兩邊取對(duì)數(shù)，我們得到

三、代換方法

1.三角代換

運(yùn)用三角代換，可將差分方程中的分式或根式等化簡(jiǎn)，使問(wèn)題便于求解。

評(píng)注:根據(jù)此類差分方程的特點(diǎn)，暗含某些三角公式的運(yùn)算形式，應(yīng)用三角代換后，可去除差分方程中的根式，類比公式即可得出所要求的通項(xiàng)公式。

根據(jù)此類方法，筆者編出以下題.

2.分式代換

運(yùn)用分式代換，可以將復(fù)雜的差分方程轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的差分方程，以便求解。

根據(jù)此類方法，筆者編出以下題

評(píng)注:對(duì)于較復(fù)雜的差分方程形式，可將其用適當(dāng)?shù)姆质酱鷵Q，變?yōu)槌Ｒ?jiàn)的差分方程形式予以解決。