關(guān)于近擬常曲率空間具有常平均曲率超曲面

耿 杰, 宋衛(wèi)東,2

(1.安徽信息工程學(xué)院 通識學(xué)院,安徽 蕪湖 241000；2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

引言

設(shè)(Nn+p,g)是n+1維單連通完備的黎曼流形,Mn是其緊致的極小子流形,S表示Mn的第二基本形式模長的平方,對于單位球面Sn+p(1),則有著名的J.Simons型積分不等式[1]

(1)

其中*1表示Mn的體積元。不等式(1)對子流形幾何的研究和發(fā)展產(chǎn)生了重大影響,應(yīng)用J.Simons方法,建立了Sn+p(1)中各種子流形的J.Simons型積分不等式。于是將J.Simons積分不等式推廣到非空間形式自然就成了大家的研究課題。

文獻(xiàn)[2]中,Z.G.Bai引入了擬常曲率空間的概念,其黎曼曲率張量KABCD取如下形式：

(2)

其中g(shù)為Nn+p的黎曼度量,a,b為Nn+p上的C∞一函數(shù),{λA}為Nn+p上的單位向量函數(shù),并建立了擬常曲率空間的J.Simons積分不等式。

顯然,擬常曲率空間是常曲率空間Sn+p(a)的推廣。

進(jìn)一步,U.C.De等人建立了近擬常曲率空間[3],其黎曼曲率張量KABCD,取如下形式：

(3)

其中{fAB}為Nn+p上單位向量函數(shù),并給出了一個具體的例子。

顯然,近擬常數(shù)曲率空間是擬常曲率空間的推廣，此時

fAB=λA·λB。

(4)

W.D.Song等建立了擬常曲率空間中具有常平均曲率緊致超曲面關(guān)于其第二基本形式模長平方S的J.Simons型積分不等式[4]。本文將這個結(jié)果,推廣到近擬常曲率空間,具體結(jié)果如下：

定理1設(shè)Mn是n+p維單連通完備的近擬常曲空間Nn+p中具有常平均曲率緊致超曲面。則有下列積分不等式

其中S為Mn的第二基本形式模長的平方,H為Mn的平均曲率。

由定理1,有

1 一些局部公式

本文對各類指標(biāo)的取值范圍約定如下：

1≤A,B,C,…≤n+1,1≤i,j,k,…≤n。

設(shè)Nn+1是n+1維單連通完備的黎曼流形,Mn是Nn+1中緊致超曲面，在Nn+1上選取局部標(biāo)準(zhǔn)正交基{eA},使得它們限制在Mn上,{ei}與Mn相切,于是在此標(biāo)架下,若Nn+1是近擬常曲率空間,則具黎曼曲率張量為：

(5)

設(shè){ωA}、{ωAB}分別是{eA}的對偶標(biāo)架場及聯(lián)絡(luò)1-形式,限制在Mn上,有[5]

(6)

(7)

(8)

Rijkl=Kijkl+hikhjl-hilhjk,

(9)

式中h,Rijkl及Kijkl分別是Mn的第二基本形式、曲率張量場及Nn+1的曲率張量場,又Mn的第二基本形式模長的平方S及Mn的平均曲率H分別是

(10)

用hijk、hijkl表示hij的共變導(dǎo)數(shù),則[6]

hijk-hikl=-Kn+1 ijk,

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

2 定理的證明

從而

又Mn具有常平均曲率,結(jié)合(5)(11)式,有

(17)

(18)

于是

A≥-2(n-1)b2-dω。

(19)

下面估計B,為此,選擇Mn的局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場{ei},使得hij=λiδij,令

(20)

從而

(21)

引理[7]記號如上,對于n>2,有下列不等式

(22)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)n-1個μi相等。

因此,由(9)得

(23)

由(21)(22)得

(24)

由(5)及|fjj|≤1,有

≥n(a-2|b|)|Z|2,

(25)

從而由(23-25)得

(26)

作正交變換

(27)

F(x,y)可以寫成

(28)

從而

(29)

于是,由(14)、(19)及(29),即完成定理1的證明。