二年級(jí)教學(xué)“乘法分配律”的實(shí)踐與思考

文|吳銳潔

“乘法分配律”的教學(xué)在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要，承載著重要的數(shù)學(xué)模型，一般安排在中高年段系統(tǒng)學(xué)習(xí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算律的意義，使一些運(yùn)算簡便，提高運(yùn)算能力。然而，通過訪談我們發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)乘法分配律的掌握情況卻不盡如人意。到底是什么原因?qū)е逻@種情況的出現(xiàn)呢？大量的文獻(xiàn)資料表明：一是模型理解問題，學(xué)生著眼于方法的解釋“先求什么再求什么”而非方法間算式的內(nèi)在關(guān)系的闡釋，導(dǎo)致規(guī)律的機(jī)械記憶而沒有理解規(guī)律的內(nèi)涵本質(zhì)；二是難點(diǎn)集中問題，五個(gè)運(yùn)算律的系統(tǒng)學(xué)習(xí)共同奔著“簡算”的目的，這種高容量的學(xué)習(xí)方式造成學(xué)生對(duì)抽象的運(yùn)算律的混淆，也導(dǎo)致“乘法分配律”的本質(zhì)意義和價(jià)值得不到充分體現(xiàn)；三是練習(xí)指向問題，大量變式練習(xí)的過早干擾使學(xué)生誤入學(xué)習(xí)乘法分配律就是“為了簡算”的怪圈，學(xué)生的思維失去了著力點(diǎn)，難以在腦海里將各種“形似而神各異”的習(xí)題轉(zhuǎn)化成具有運(yùn)算律基本結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的算式。

能否讓學(xué)生對(duì)“乘法分配律”的認(rèn)知逐步遞加從而分散難點(diǎn)、把握重點(diǎn)呢？查看教學(xué)參考書，書中提到運(yùn)算律的學(xué)習(xí)第一階段沒有出現(xiàn)“乘法分配律”的概念，是自然滲透、自覺運(yùn)用階段，那我們能不能讓書中的這個(gè)建議更加顯性化些呢？查看教材，以北師大版為例，二年級(jí)“6～9的乘法口訣”單元中，通過點(diǎn)子圖、線段圖來說明像“7個(gè)6就是5個(gè)6加2個(gè)6的和”這樣的問題，通過“做乘法表”引導(dǎo)學(xué)生溝通理解口訣之間的內(nèi)在聯(lián)系，探索乘法表規(guī)律，這些已經(jīng)開始滲透乘法分配律了；在三年級(jí)學(xué)習(xí)整數(shù)乘法計(jì)算方法的過程，事實(shí)上也在不斷借助點(diǎn)子圖法、解釋表格法、豎式計(jì)算的步驟體會(huì)基于乘法分配律的計(jì)算道理；此外，在幾何領(lǐng)域，三年級(jí)學(xué)習(xí)長方形的周長和面積變化中，也隱含著“乘法分配律”的幾何模型。在正式學(xué)習(xí)“乘法分配律”之前，教材已有多次運(yùn)用乘法分配律解決問題。

那么，在保持現(xiàn)有教材體系的基礎(chǔ)上，如果我們?cè)谒哪昙?jí)或三年級(jí)學(xué)習(xí)“乘法分配律”之前做適當(dāng)?shù)臐B透，是不是可以更充分體現(xiàn)“乘法分配律”的本質(zhì)意義和價(jià)值，同時(shí)也使學(xué)生更好地理解和運(yùn)用呢？因此，本研究聚焦到二年級(jí)開展“乘法分配律”滲透的“縱向同課異構(gòu)”教學(xué)，以探尋學(xué)生學(xué)習(xí)的可能性。

【教學(xué)過程】

在教學(xué)“乘法口訣”時(shí)滲透乘法分配律，借助直觀實(shí)物模型抽象成點(diǎn)子圖模型的“分開看”與“合并看”——意義的“分開說”與“合并說”——算式的“分開算”與“合并算”來實(shí)施，教學(xué)過程如下：

一、課前小游戲：分開說與合并說

1.男生好，女生好。（這是分開說）→男生女生好。（這是合并說）

2.我愛閱讀，我愛運(yùn)動(dòng)?！覑坶喿x和運(yùn)動(dòng)。

3.我左手有3袋蘋果，我右手有4袋蘋果?！覂芍皇忠还灿校?+4）袋蘋果。

【設(shè)計(jì)意圖：以生活中“分開說與合并說”的小游戲拉近與學(xué)生的距離，緊密聯(lián)系本節(jié)課乘法分配律“分”與“配”的特征，激活學(xué)生對(duì)乘法分配律的生活經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情?！?/p>

二、圖式對(duì)接：看——說——算

1.實(shí)物蘋果模型，滲透算律。

（1）觀察下面的紅蘋果和青蘋果，并根據(jù)圖填空。

（2）把圖1和圖2合在一起成圖3，請(qǐng)問：現(xiàn)在一共有多少個(gè)蘋果？

追問：你是怎么得到16的？8是怎么來的？有幾個(gè)2？對(duì)應(yīng)的乘法算式怎么寫？請(qǐng)你用一句口訣快速計(jì)算。

學(xué)生在充分交流基礎(chǔ)上小結(jié)：3個(gè)2加5個(gè)2得到（3+5）個(gè)2，也就是8個(gè)2，對(duì)應(yīng)的算式是3×2+5×2=（3+5）×2=8×2，可以用口訣“二八十六”快速地得到結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)從可視化蘋果實(shí)物圖模型的“分開看”出發(fā)走向“合并看”，喚醒學(xué)生乘法意義“幾個(gè)幾”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，生成教學(xué)所需，初建模式。通過直觀性的模型圖使學(xué)生建立圖式對(duì)接，積累可視性學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，滲透乘法分配律?！?/p>

2.對(duì)比延伸模型，豐富算律。

（1）仔細(xì)觀察下面的蘋果圖，看圖寫出幾個(gè)幾、列出算式并寫出口訣。

（2）這兩幅圖有什么聯(lián)系，你是怎么想的？

請(qǐng)你結(jié)合“幾個(gè)幾+幾個(gè)幾”來解釋說明，并用一個(gè)等式來表示它們之間的關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)既是對(duì)上一環(huán)節(jié)的鞏固，也是對(duì)上一環(huán)節(jié)的延伸，學(xué)生在對(duì)比觀察中發(fā)現(xiàn)，有的可以豎著合并，有的可以橫著合并，這樣的設(shè)計(jì)讓教學(xué)內(nèi)容更具寬度?！?/p>

3.抽象點(diǎn)子模型，明晰算律。

請(qǐng)你仔細(xì)觀察，蘋果抽象笑臉，笑臉抽象點(diǎn)子圖，這幾幅圖有什么區(qū)別？

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)通過實(shí)物模型的動(dòng)態(tài)變化，直觀形象，過渡到點(diǎn)子圖這一半抽象模型的呈現(xiàn)，讓學(xué)生在對(duì)比中厘清不同模型圖本質(zhì)上是一致的，從而在腦海中建立起多元化又相互關(guān)聯(lián)的模型表征，有效積累表象操作，為后續(xù)轉(zhuǎn)向符號(hào)操作的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)?！?/p>

4.選擇模型，深化算律。

（1）請(qǐng)你在圖1、2、3中選擇兩幅圖，使它們合并在一起后能用類似3×2+5×2=（3+5）×2=8×2的算式表示。

（2）為什么你不選擇圖2和圖3合并在一起？

（3）圖1和圖3一定能拼成功嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)直接選用點(diǎn)子圖讓學(xué)生尋找可合并的模式，關(guān)注學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的學(xué)習(xí)，學(xué)生在合并擺的過程中逐步明晰模型特征。同時(shí)，以反例沖擊，為歸納算律埋下伏筆，讓教學(xué)內(nèi)容更具深度。】

5.歸納小結(jié)，表達(dá)算律。

觀察算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？兩個(gè)分開算的算式，怎樣才能拼成一個(gè)乘法算式呢？

學(xué)生觀察算式特點(diǎn)交流后小結(jié)：兩個(gè)分開算的乘法算式，如果有一個(gè)相同的乘數(shù)，可以合并成一個(gè)乘法算式。

【設(shè)計(jì)意圖：在經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過程后，自主觀察發(fā)現(xiàn)算式的特征，采用不完全歸納法小結(jié)，并學(xué)會(huì)用自己的語言表達(dá)算律，將內(nèi)在思維活動(dòng)外顯出來，提高探索數(shù)學(xué)問題的興趣。】

6.練習(xí)鞏固，應(yīng)用算律。

請(qǐng)你用一句口訣算出下面的算式。

5×7+4×7= 口訣：_______________

9×5+9×2= 口訣：_______________

【設(shè)計(jì)意圖：兩道簡單的練習(xí)對(duì)接乘法口訣，探究口訣的內(nèi)在聯(lián)系，從乘法意義角度加深對(duì)口訣的理解?！?/p>

三、全課小結(jié)，課后延伸

1.今天我們通過模型圖學(xué)習(xí)了分開算與合并算，你學(xué)會(huì)了什么？

2.請(qǐng)根據(jù)點(diǎn)子圖填空。

（1）這是一幅5行9列的點(diǎn)子圖，你可以橫著或豎著圈一圈，把它分開來研究，并分別寫出幾個(gè)幾、列出算式和寫出口訣（可以借助框圖幫助理解）。

（2）你發(fā)現(xiàn)了什么？

歸納：一個(gè)乘法算式，可以分開成兩個(gè)乘法算式再相加，這三個(gè)算式中都有一個(gè)相同的數(shù)。

（3）請(qǐng)你運(yùn)用“分開算與合并算”的方法計(jì)算下列算式，說說你的思考過程。

（9+7）×3= 18×4=

【設(shè)計(jì)意圖：回顧整理“分開→合并”的學(xué)習(xí)過程，同時(shí)以開放式問題的設(shè)計(jì)進(jìn)一步深化由“分開→合并”的過程轉(zhuǎn)向“合并→分開”的過程，打破學(xué)生的思維定勢(shì)，拓展學(xué)生自主探究的能力，完善對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解。】

【分析與思考】

這樣的教學(xué)，教學(xué)效果如何呢？我們針對(duì)“學(xué)生能根據(jù)算式特點(diǎn)用乘法分配律對(duì)合并型和分開型算式進(jìn)行計(jì)算嗎”做了前測(cè)和后測(cè)，情況如下：

合并型:前測(cè)中正確率達(dá)到69.05%，可以看出盡管學(xué)生沒有乘法分配律的滲透，但是類似于這種題目的解決還是不錯(cuò)的，訪談9人，有1人根據(jù)數(shù)字特點(diǎn)進(jìn)行選擇，其余8人都是先乘后加得出結(jié)果再選擇。后測(cè)中正確率是90.05%，提高了21%，訪談18人，有12人已經(jīng)能直接用乘法分配律合并算，超過66.7%的學(xué)生能靈活應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行解答。

分開型：正確率從前測(cè)的35.71%提升到后測(cè)的51.2%，訪談中發(fā)現(xiàn)，前測(cè)中學(xué)生大致有兩種做法：一是拆數(shù)法，將13拆成10和3或9和4再分別乘3；二是乘法意義法：3個(gè)13相加或13個(gè)3先算三九二十七，再連續(xù)加4個(gè)3。后測(cè)中情況有好轉(zhuǎn)，這部分學(xué)生幾乎都用拆數(shù)法結(jié)合乘法意義來解釋，也就是活學(xué)活用“乘法分配律”進(jìn)行解題。

我們?cè)谒伎迹喝绻o二年級(jí)學(xué)生滲透“乘法分配律”這一內(nèi)容，有何獨(dú)特的價(jià)值？經(jīng)過實(shí)踐，我們認(rèn)為有以下三點(diǎn)：

1.積累了學(xué)習(xí)乘法分配律的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

借助不同的模型讓學(xué)生在不同年級(jí)多元滲透乘法分配律的意義，從已有的模型如點(diǎn)子圖、線段圖、面積模型等喚醒學(xué)生對(duì)知識(shí)的直觀理解，積累直觀的操作活動(dòng)體驗(yàn)，讓學(xué)生學(xué)得清楚，悟得明白。

2.助力學(xué)生對(duì)口訣及乘法豎式等的深度理解。

查看教材，二三年級(jí)學(xué)習(xí)了乘法口訣、乘法豎式、長方形周長及面積變化中都隱含著乘法分配律。如果在二年級(jí)學(xué)習(xí)乘法口訣時(shí)滲透乘法分配律分與合的意識(shí)，溝通知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，一方面探究了口訣之間的內(nèi)在聯(lián)系，使口訣的記憶不再割裂，將相鄰或不同口訣之間進(jìn)行鏈?zhǔn)接洃?；另一方面加?qiáng)了學(xué)生對(duì)多位數(shù)乘法豎式算理的深度理解。

3.逐步感知，分散學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

“乘法分配律”為何成為學(xué)生的“負(fù)擔(dān)”？原因之一是難點(diǎn)集中，讓“乘法分配律”在不同年級(jí)“小步子”螺旋式循序呈現(xiàn)，初識(shí)“乘法分配律”淡化其簡算的痕跡，避免各種變式訓(xùn)練過早地把學(xué)生的視線引向簡算從而導(dǎo)致各種混淆和模糊不清，加深學(xué)生對(duì)“乘法分配律”的多維度理解，尤其是意義理解，分散其學(xué)習(xí)難點(diǎn)，保證學(xué)習(xí)內(nèi)容的連續(xù)性，使學(xué)生逐步掌握。

通過教學(xué)實(shí)踐研究，我們認(rèn)為在二年級(jí)學(xué)習(xí)乘法口訣時(shí)注重知識(shí)的整體性，有意識(shí)地滲透乘法分配律是有可能的。如果學(xué)習(xí)乘法口訣時(shí)只是一味地讓學(xué)生花更多的時(shí)間來背口訣，而非從乘法意義上探究口訣的內(nèi)在聯(lián)系，將導(dǎo)致高年級(jí)學(xué)生對(duì)乘法分配律的學(xué)習(xí)與理解出現(xiàn)障礙。