基于兩階段Gamma過程的機械產(chǎn)品剩余壽命預(yù)測研究*

姜 洋

(浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 現(xiàn)代信息技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310053)

0 引 言

傳統(tǒng)機械產(chǎn)品的可靠性評估大多基于大樣本假設(shè)下的強度-應(yīng)力干涉理論。隨著科技的進步，以高可靠性、長壽命、小子樣為特征的機械裝備的可靠性評估難以滿足強度-應(yīng)力干涉模型的大樣本要求，因此，需要充分利用機械裝備全壽命周期內(nèi)的退化信息，同時考慮機械裝備運行過程中的環(huán)境條件、材料本身的隨機性等因素，通過分析機械產(chǎn)品的性能退化數(shù)據(jù)建立產(chǎn)品的可靠性分析模型。

產(chǎn)品因溫度、濕度和磨損等原因會發(fā)生連續(xù)退化。從20世紀(jì)70年代開始，許多學(xué)者對具有退化特性的產(chǎn)品可靠性評估進行了研究。文獻[1]用線性退化模型描述了厚膜電阻的退化過程，完成了厚膜電阻在溫度應(yīng)力下的可靠性評估。文獻[2]利用加速退化數(shù)據(jù)得到了長壽命產(chǎn)品的可靠性評估新方法。文獻[3]利用B-S分布近似產(chǎn)品的可靠度，建立了多元退化下的可靠性模型。文獻[4]詳細(xì)描述了Gamma過程作為靜態(tài)應(yīng)力-強度模型的統(tǒng)計特性、參數(shù)估計以及在產(chǎn)品壽命預(yù)測研究中的應(yīng)用。文獻[5]提出了基于隨機參數(shù)Gamma過程模型的剩余壽命預(yù)測方法，結(jié)合產(chǎn)品加速老化數(shù)據(jù)，提高了預(yù)測結(jié)果的可信度。

機械產(chǎn)品的運行過得中，除了受到激發(fā)連續(xù)退化的平穩(wěn)載荷外，還受到外部環(huán)境和載荷波動的沖擊載荷，因此，在機械產(chǎn)品壽命預(yù)測中，計及沖擊失效的競爭效應(yīng)是提高機械產(chǎn)品壽命預(yù)測精度的重要因素。文獻[6]587根據(jù)性能退化數(shù)據(jù)建立了對產(chǎn)品連續(xù)退化過程的分析模型，并通過泊松過程描述了隨機沖擊對產(chǎn)品的離散作用過程，最終得到了產(chǎn)品實際可靠性模型。文獻[7]根據(jù)系統(tǒng)在變點前后受到的外部沖擊的損壞量所服從的分布不同，運用不確定性理論和機會理論，得到了3種不同沖擊模式下的確信可靠度模型。

傳統(tǒng)的可靠性分析模型是建立在二態(tài)(正常、故障)假設(shè)基礎(chǔ)上的，而越來越多的工程實踐表明，機械產(chǎn)品在全壽命周期內(nèi)具有一段潛在故障區(qū)間，即產(chǎn)品從正常狀態(tài)到故障狀態(tài)的過渡狀態(tài)，在潛在故障狀態(tài)下，產(chǎn)品相對正常狀態(tài)具有較高的失效率和性能退化率。機械產(chǎn)品疲勞裂紋的生長過程是最典型的實例。因此，應(yīng)用傳統(tǒng)的兩態(tài)可靠性評估模型進行機械產(chǎn)品壽命預(yù)測在潛在故障階段將產(chǎn)生較大的估計誤差，如何將機械產(chǎn)品的二態(tài)生命周期拓展為三態(tài)壽命周期，進行可靠性評估和壽命預(yù)測是另一個亟待解決的問題。

本文綜合考慮機械產(chǎn)品的連續(xù)退化過程和離散退化過程，并基于延遲時間理論描述產(chǎn)品的加速退化過程，得到退化型機械產(chǎn)品在沖擊載荷下的可靠性評估方法，并通過仿真實例驗證該方法的正確性與有效性。

1 可靠性模型

由CHRISTER教授在1973年提出的三態(tài)可靠性評估模型[8]中，提出了延遲時間的概念。延遲時間理論認(rèn)為，產(chǎn)品的全壽命周期可以分為兩個階段：第一階段為正常階段，包括產(chǎn)品投入使用到缺陷發(fā)生時刻t0；第二階段為延遲時間階段，包括缺陷發(fā)生時刻t0到產(chǎn)品發(fā)生故障，這兩個階段是互相獨立的[9]。

性能退化水平如圖1所示。

圖1 兩階段延遲時間理論

根據(jù)時間延遲理論，筆者將機械產(chǎn)品的全壽命周期從傳統(tǒng)的兩態(tài)空間拓展為三態(tài)空間，即在正常狀態(tài)和故障狀態(tài)之間，增加一個潛在故障區(qū)間(加速退化階段)，機械產(chǎn)品在該區(qū)間運行時雖然能夠工作，但是退化率相較于正常狀態(tài)顯著提升。

用t0表示兩個階段的分界時間點，可以根據(jù)產(chǎn)品生命周期所處時間t與t0的關(guān)系將系統(tǒng)狀態(tài)s分為3個狀態(tài)：

(1)正常退化態(tài)s0。t

(2)加速退化態(tài)s1。t>t0，產(chǎn)品加速退化但沒有發(fā)生故障；

(3)故障態(tài)s2。系統(tǒng)發(fā)生故障。

威布爾分布作為一種連續(xù)的概率分布模型[10]，是描述機械產(chǎn)品可靠性分布的最常用分布。因此，假設(shè)t0服從威布爾分布，且用β0表示比例參數(shù)，β1表示形狀參數(shù)。t0的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別用F(t0)和f(t0)表示。

伽馬過程具有獨立、非負(fù)增量的特性，可以很好地描述機械產(chǎn)品因磨損等原因造成的嚴(yán)格單調(diào)的退化過程[11]。

假設(shè)產(chǎn)品的連續(xù)退化過程服從伽馬過程，則任意時刻t產(chǎn)品的連續(xù)退化量x(t)服從伽馬分布，即：

(1)

式中：kt—形狀參數(shù)；λ—尺度參數(shù)。

根據(jù)上述假設(shè)，產(chǎn)品首先處于正常退化態(tài)，并且性能從0開始退化。假設(shè)正常退化態(tài)下的退化過程服從參數(shù)為(k0,λ0)的伽馬過程，則產(chǎn)品性能退化量的均值和方差分別為：

E=μ0tt

(2)

(3)

當(dāng)產(chǎn)品處于加速退化狀態(tài)下，產(chǎn)品性能從t0時刻的x(t0)開始退化。假設(shè)加速退化態(tài)下的退化過程服從參數(shù)為(k1,λ1)的伽馬過程，因此有：

E=μ0t0+μ1(t-t0)t>t0

(4)

(5)

文獻[12，13]討論了產(chǎn)品退化過程的參數(shù)擬合問題，并指出產(chǎn)品退化量的方差隨時間線性變化是合理的，即σ=σ0=σ1。

因此，產(chǎn)品全生命周期下產(chǎn)品退化量的期望和方差可以表示為：

(6)

Var=σ2t

(7)

在產(chǎn)品的使用中，除了有隨時間推移而產(chǎn)生的連續(xù)退化外，還有來自外界的隨機沖擊造成的離散退化。沖擊載荷作用后，產(chǎn)品的退化水平會發(fā)生明顯階躍性增長，因此，機械產(chǎn)品的退化失效是連續(xù)退化失效和隨機沖擊引起的離散退化失效競爭的復(fù)合過程。

單次沖擊載荷的發(fā)生時間和退化效應(yīng)幅值是一個隨機變量，一般情況下采用復(fù)合泊松過程描述上述隨機性。

假設(shè)時刻t已發(fā)生的沖擊次數(shù)N(t)服從泊松過程，則t時刻發(fā)生n(n=0,1,2,…)次沖擊的概率為：

(8)

式中：α—泊松過程的強度參數(shù)。

假設(shè)各次沖擊造成的退化量獨立同分布，則退化量為：

Di～N(e,v2)

(9)

式中：Di—第i(i=0,1,2,…)次沖擊造成的退化量；e—一次沖擊造成退化量的均值；v2—一次沖擊造成退化量的方差。

設(shè)y(t)是t時刻由沖擊造成的退化量，則有：

(10)

由于各次沖擊造成的退化量獨立同分布，y(t)仍然服從正態(tài)分布，且有：

y(t)～N(N(t)e,N(t)v2)

(11)

綜合考慮連續(xù)退化和隨機沖擊的影響，根據(jù)累計損傷模型，t時刻產(chǎn)品的退化量u(t)應(yīng)該由x(t)和y(t)共同組成，因此有：

u(t)=x(t)+y(t)

(12)

假設(shè)產(chǎn)品的退化量失效閾值為L，則t時刻系統(tǒng)可靠度可以表示為：

(13)

根據(jù)文獻[14]，利用B-S分布近似可得：

(14)

式中：Φ(·)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)；Eu—t時刻產(chǎn)品退化水平的期望。

Eu表達式為：

(15)

考慮t0的隨機性，可以得到產(chǎn)品全生命周期的可靠性模型為：

(16)

2 仿真分析

金屬材料是各種機械產(chǎn)品的主要材料，金屬材料的裂紋擴展是金屬材料可靠性的重要問題之一。

某金屬材料的性能退化數(shù)據(jù)[6]590如表1所示。

表1 某金屬性能退化數(shù)據(jù)

續(xù)表

該數(shù)據(jù)集共有13個樣本，每10 000次循環(huán)進行一次測試，每個樣本測試11次。

本文基于表1的退化數(shù)據(jù)，采用最大似然估計方法[15]對模型參數(shù)進行擬合。

考慮延遲時間后的加速退化過程，參數(shù)擬合的結(jié)果如表2所示。

表2 考慮延遲時間加速退化參數(shù)擬合結(jié)果

不考慮延遲時間后的加速退化過程，參數(shù)擬合結(jié)果如表3所示。

表3 不考慮延遲時間加速退化參數(shù)擬合結(jié)果

根據(jù)上述參數(shù)擬合結(jié)果，同時假設(shè)泊松過程的強度參數(shù)α=0.1，一次沖擊造成退化量的方差v2=0.044 1，退化量失效閾值L=50，可得出該金屬材料的可靠性模型；并基于MATLAB進行不同平均沖擊強度e下的仿真。

可靠度變化趨勢如圖2所示。

圖2 可靠性評估結(jié)果

圖2表明：在考慮沖擊載荷時，金屬材料可靠運行壽命顯著減小，工作壽命減小的程度和沖擊載荷的強度分布正相關(guān)。

由于機械產(chǎn)品在實際運行工況下，沖擊載荷無可避免，采用本文提出的退化失效與沖擊失效競爭情況下的損傷累積模型，能夠更加準(zhǔn)確地預(yù)測機械產(chǎn)品的剩余壽命。

在不考慮加速退化的狀態(tài)采用單階段Gamma模型，考慮加速退化的狀態(tài)采用兩階段Gamma模型，筆者根據(jù)金屬材料性能退化數(shù)據(jù)進行了剩余壽命預(yù)測仿真。

仿真結(jié)果如表4所示。

表4 壽命評估結(jié)果

由表4可知：在不考慮加速退化狀態(tài)時，采用單階段Gamma過程模型的壽命預(yù)測結(jié)果約30萬次循環(huán)；而考慮加速退化狀態(tài)時，采用兩階段Gamma過程的壽命評估結(jié)果約20萬次循環(huán)。

同時，筆者根據(jù)表1的退化試驗數(shù)據(jù)，采用最大似然估計法對Gamma模型參數(shù)進行擬合，預(yù)測該金屬材料的實際壽命長度。據(jù)擬合結(jié)果顯示;該樣本1壽命最短，為12.4萬次循環(huán);樣本13壽命最長,為25.9萬次循環(huán)。

對比表4可以得出，考慮金屬材料在全壽命周期范圍內(nèi)的潛在故障區(qū)間更符合實際金屬材料性能退化軌跡，其預(yù)測結(jié)果也更為精確。

3 結(jié)束語

在進行機械產(chǎn)品壽命預(yù)測時，由于傳統(tǒng)的兩狀態(tài)可靠性評估存在較大的估計誤差，在計及沖擊載荷條件下，筆者提出了一種基于兩階段Gamma過程模型的三態(tài)機械產(chǎn)品的壽命預(yù)測方法；該方法基于時間延遲模型，描述了產(chǎn)品的加速退化過程，并基于該方法對金屬材料的裂紋擴展過程進行了分析。

研究結(jié)果表明：

(1)相對于傳統(tǒng)兩狀態(tài)的可靠性評估模型，基于兩階段Gamma過程模型的三態(tài)壽命預(yù)測方法對機械產(chǎn)品的可靠性評估結(jié)果具有更高的精度；

(2)在考慮沖擊載荷條件下，考慮全壽命周期內(nèi)的加速退化階段更符合機械產(chǎn)品性能退化軌跡，且能有效提升剩余壽命預(yù)測的準(zhǔn)確性。

大多機械產(chǎn)品的運行工況比較復(fù)雜，僅靠單一性能指標(biāo)難以全面、準(zhǔn)確反映產(chǎn)品的退化過程。因此，在今后的研究中，筆者將綜合考慮多個關(guān)鍵性能指標(biāo)，來進行產(chǎn)品的可靠性建模和評估。