不同類型接觸面機(jī)械零件裝配誤差的自動(dòng)計(jì)算方法研究*

王 涵,吳玉光

(杭州電子科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,浙江 杭州 310018)

0 引 言

基于蒙特卡羅模擬的公差分析方法是公差分析研究和軟件技術(shù)中的常用方法。這種方法需要先模擬出實(shí)際零件的位置變動(dòng);然后,根據(jù)實(shí)際零件的具體裝配接觸關(guān)系,計(jì)算零件幾何要素在機(jī)器上的位置及其相對于理想位置的變動(dòng);最后,利用概率統(tǒng)計(jì)方法對大量的變動(dòng)實(shí)例進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出具體的誤差數(shù)據(jù)。

幾何要素在機(jī)器模型中實(shí)際裝配位置的計(jì)算是非常重要的,由于存在制造誤差,參與裝配的裝配接觸面必然偏離其理想位置,這就導(dǎo)致裝配接觸位置的計(jì)算必須采用帶誤差的幾何模型進(jìn)行計(jì)算。

機(jī)器零件的公差表示模型作為熱點(diǎn)領(lǐng)域受到研究人員的長期關(guān)注。一般來說,公差分析可以分為兩大領(lǐng)域,即零件層的公差信息分析和裝配層的公差關(guān)系分析：(1)在零件層的公差表示方面,最先由ARISTIDES R A G[1]使用了邊界表示法(boundary representation,Breps),從幾何建模的角度提出了漂移公差帶理論;ROY U等[2]研究人員進(jìn)一步對表示公差信息的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。(2)在裝配層的公差表示方面,BJORKE O[3]最早使用了公差鏈作線性尺寸的統(tǒng)計(jì)公差分析;TSAI J C等[4]提出了公差網(wǎng)絡(luò)(Tolerance Network)概念,拓展了幾何公差和配合信息的表示方式;CLEMENT A等[5]在漂移公差帶等理論的基礎(chǔ)上,提出了與工藝和拓?fù)湎嚓P(guān)的表面(topologically and technologically related surface,TTRS)理論,使用了拓?fù)湎嚓P(guān)的功能表面與最小幾何基準(zhǔn)要素的概念,將零件層和裝配層的公差分析很好地結(jié)合了起來,這對后來公差表示模型的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

在分析裝配過程的誤差時(shí),由于機(jī)器在實(shí)際裝配中具體的配合類型多種多樣,為了提供誤差分析時(shí)的自動(dòng)化算法,最先需要處理的就是機(jī)器中每個(gè)零件不同裝配形式的識別及歸納問題。HONG J等[6]也意識到了復(fù)雜裝配中的裝配類型對裝配公差規(guī)格和公差帶類型的影響,提出了多色集合理論來描述裝配特征、裝配約束類型、公差帶類型等之間的關(guān)系;該理論能處理的零件特征種類較多,但無法處理自由度信息,尚不能直接應(yīng)用于公差分析領(lǐng)域。鐘艷如等[7]提出的公差模型為了處理多種類型裝配面的公差計(jì)算問題,在特征表面和裝配公差之間引入了空間關(guān)系,進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了裝配公差類型的篩選。葛磊等[8]在文獻(xiàn)中分析了同類零件在不同的定位裝配方式時(shí),零件制造誤差對裝配控制目標(biāo)的影響。朱永國等[9]針對裝配過程裝配方案改變后,基準(zhǔn)變換致使幾何公差變化的問題,提出了一種基于公差圖(tolerance map, T-Map)的公差轉(zhuǎn)化方法。金少搏等[10]通過裝配體約束信息,提取了不同類型的形狀特征信息,提出了預(yù)測裝配的成功率的方法。黎泉等[11]基于TTRS理論對裝配表面的類型進(jìn)行了詳細(xì)的劃分,通過獲取零件標(biāo)注公差信息,建構(gòu)了裝配體的公差網(wǎng)絡(luò)。

盡管這些研究人員所提出的方法在他們所關(guān)注的應(yīng)用領(lǐng)域均具有適用性,但并不完善,尤其在裝配類型的自動(dòng)化識別和公差設(shè)計(jì)具體精度影響方面還存在不足。

本文采用控制點(diǎn)變動(dòng)模型[12](CPVM)來模擬制造誤差造成的實(shí)際位置變動(dòng)。該模型基于基本幾何要素自由度的理論,在符合GPS標(biāo)準(zhǔn)體系[13]的前提下,既能在零件層面表示基本的公差信息,也能在裝配層面獲取每個(gè)零件的裝配類型,按清晰的信息層次將獲取公差信息儲(chǔ)存在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中,便于與CAD實(shí)體模型結(jié)合,實(shí)現(xiàn)誤差傳遞,完成最終在機(jī)器上實(shí)際位置的模擬計(jì)算。

在合適的零件誤差表示模型基礎(chǔ)上,可以進(jìn)一步建立真實(shí)機(jī)器表示模型。真實(shí)機(jī)器模型[14]是指在零件層面考慮到零件在制造時(shí)產(chǎn)生的幾何誤差,在裝配層面考慮到不同裝配類型下,實(shí)際具體裝配接觸因素的公差分析模型：(1)首先,采用CPVM模擬零件的幾何誤差,采用替代幾何模擬零件實(shí)際幾何的位置變動(dòng),即當(dāng)理想幾何要素是平面時(shí),其替代幾何是平面,但該平面為實(shí)際表面的最外擬合平面;當(dāng)理想幾何要素是圓柱時(shí),其替代幾何是圓柱,但該圓柱為實(shí)際表面的最外擬合圓柱;(2)然后,按照裝配過程中裝配基準(zhǔn)的不同類型和先后次序,模擬實(shí)際零件的裝配過程,計(jì)算出相應(yīng)幾何要素的可能位置;(3)最后,基于蒙特卡羅模擬方法進(jìn)行概率抽樣,根據(jù)大量計(jì)算結(jié)果求出裝配結(jié)果的概率分布。

機(jī)械零件裝配的兩個(gè)接觸面通常具有相同的幾何類型,如兩個(gè)平面、內(nèi)外圓柱面、內(nèi)外球面等;但在特殊場合下,也存在不同幾何類型的兩個(gè)接觸面進(jìn)行裝配的情況,如傳動(dòng)機(jī)械、某些觸發(fā)和躍動(dòng)機(jī)構(gòu)以及機(jī)械夾具。此時(shí),理論上的接觸區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)點(diǎn)或者一條線,這種高副接觸場合通常接觸變形較大,因此研究這種裝配體的定位精度計(jì)算方法是具有實(shí)用價(jià)值的。

本文首先建立接觸面組合類型集合,在裝配接觸面僅限于最常見的平面和圓柱面的前提下,根據(jù)自由度約束準(zhǔn)則,確定正定位零件裝配接觸面的全部組合形式;然后,重點(diǎn)介紹不同幾何類型的裝配基準(zhǔn)相互接觸情況下的裝配位置計(jì)算方法。

1 機(jī)器裝配接觸面的可能組合類型

為了建立裝配位置自動(dòng)計(jì)算的完整算法,需要確定完整的裝配接觸模型。由于機(jī)器中裝配信息十分復(fù)雜,需要構(gòu)建一個(gè)讓計(jì)算機(jī)易于識別的裝配類型表示方法。零件的裝配過程可以看作把當(dāng)前待裝配零件通過與已知位置的定位零件進(jìn)行接觸的過程。因此,本文采用自由度約束分析方法來確定機(jī)械零件的全部裝配接觸關(guān)系形式。

從自由度分析角度看,裝配接觸就是約束兩個(gè)接觸面之間的相對位置,即限制相對運(yùn)動(dòng)的自由度。不同的裝配接觸表面類型約束不同的自由度,如兩平面接觸可以約束3個(gè)自由度,而兩圓柱面的接觸則可以約束4個(gè)自由度。此外,兩個(gè)裝配接觸幾何的類型既可以相同,也可以不同,如在夾具與被加工零件的裝配過程中,常見的定位元件包括支承板、圓柱銷、V形塊、心軸等,這些定位元件的接觸面與工件的定位接觸面的類型可以相同也可以不相同,不同幾何類型的接觸面所約束的自由度也不相同。

在裝配接觸面的幾何類型為圓柱面和平面兩種情況下,根據(jù)裝配基準(zhǔn)的約束自由度數(shù)量,可將機(jī)械零件的裝配接觸形式分為兩大類:

(1)第1大類

約束自由度方式為“3—2—1”方式:第一裝配基準(zhǔn)為兩平面“面接觸”,約束零件的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和1個(gè)平移自由度;第二裝配基準(zhǔn)為兩個(gè)接觸表面的“線接觸”,分別約束1個(gè)移動(dòng)自由度和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度;第三裝配基準(zhǔn)為兩個(gè)接觸表面的“點(diǎn)接觸”,只約束剩余的1個(gè)自由度。

3個(gè)裝配基準(zhǔn)中,以平面為主基準(zhǔn)的各裝配接觸形式自由度約束情況如表1所示。

表1 以平面為主基準(zhǔn)的各裝配接觸形式自由度約束情況

表1中,雙點(diǎn)劃線表示定位零件(夾具定位元件)上的接觸表面的幾何類型及其實(shí)際位置,實(shí)線表示裝配零件(被加工工件)上的接觸表面的幾何類型及其實(shí)際位置,黑點(diǎn)表示當(dāng)前接觸類型在裝配體中等效的約束點(diǎn)數(shù),這些接觸點(diǎn)的總數(shù)量可以對應(yīng)為約束自由度的數(shù)量。

表1中,從第二、第三基準(zhǔn)中各選擇其中1種方式,排列組合之后可以獲得12種裝配類型。此外,還有1種特殊的“3—2—1”裝配:第一裝配基準(zhǔn)為兩平面貼合,限制當(dāng)前零件的3個(gè)自由度;第二基準(zhǔn)為短軸與短孔的裝配,約束當(dāng)前零件的2個(gè)平移自由度;第三基準(zhǔn)為“點(diǎn)接觸”,限制剩下的最后1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

(2)第2大類

裝配接觸形式以圓柱面作為主基準(zhǔn)。第一裝配基準(zhǔn)為2個(gè)圓柱的孔軸配合,孔的內(nèi)圓柱面與軸的外圓柱面接觸約束裝配零件的2個(gè)平移自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度;第二裝配基準(zhǔn)和第三裝配基準(zhǔn)分別約束裝配零件剩下的1個(gè)平移自由度和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

根據(jù)約束自由度方式,這1類裝配形式可以稱之為“4—1—1”方式。以圓柱面為主基準(zhǔn)的各裝配接觸形式自由度約束情況如表2所示。

表2 以圓柱面為主基準(zhǔn)的各裝配接觸形式自由度約束情況

表2中,第二、第三基準(zhǔn)均有4種可能,可以得到16種裝配組合類型。需要說明的是,根據(jù)功能要求和降低制造成本考慮,零件的裝配并不需要限制裝配零件的所有自由度。因此,有時(shí)并不需要3個(gè)裝配基準(zhǔn)面。

2 不同類型接觸面裝配的零件位置誤差計(jì)算方法

2.1 幾何要素的控制點(diǎn)變動(dòng)模型

工程中常用的尺寸鏈分析法只能做線性尺寸的極值公差分析。漂移模型涉及到了復(fù)雜的幾何操作,可視化困難,實(shí)現(xiàn)難度較大。小位移矢量簇(small displacement torsor,SDT)模型[15]中的計(jì)算參數(shù)與公差沒有一致的對應(yīng)關(guān)系,不能體現(xiàn)公差間的作用。相較之前的分析方法,控制點(diǎn)變動(dòng)模型(CPVM)能夠表示基本幾何特征的全部公差類型及其互相作用關(guān)系,并且易于實(shí)現(xiàn)基準(zhǔn)優(yōu)先關(guān)系及基準(zhǔn)次序的辨識過程,適用于概率統(tǒng)計(jì)的公差分析方法。CPVM用理想幾何的尺寸、位置參數(shù)來表示實(shí)際要素,根據(jù)尺寸和位置參數(shù)的變動(dòng)來表示幾何要素偏離其理想狀態(tài),是一個(gè)符合公差意義和公差標(biāo)準(zhǔn)要求的表示模型。CPVM既可以表示零件上各關(guān)聯(lián)要素的實(shí)際位置,又可以表示零件的制造誤差的具體數(shù)值。

本文首先需要介紹圓柱面與平面的CPVM。

2.1.1 圓柱要素的CPVM

圓柱要素CPVM用軸線來表示實(shí)際位置,軸線具有4個(gè)自由度,即兩個(gè)垂直于軸線的平移自由度和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。軸線的公差帶形狀既有圓柱形的,也有四棱柱形的。

圓柱要素的CPVM如圖1所示。

圖1 圓柱要素的CPVM

圓柱CPVM中,圓柱軸線的兩端點(diǎn)為目標(biāo)要素的控制點(diǎn),參數(shù)(ρ1,θ1,ρ2,θ2)和(x1,y1,x2,y2)分別為兩種公差帶的位置誤差變量,它們表示了兩端點(diǎn)的位置,R1、R2為圓柱兩端的半徑變量。位置變量的變化遵循圓柱要素位置誤差的變動(dòng)規(guī)律,半徑變量的變化也遵循圓柱半徑的誤差變動(dòng)規(guī)律。對于給定的誤差變動(dòng)規(guī)律,可以由蒙特卡羅仿真方法對其進(jìn)行概率抽樣,獲得6個(gè)變量的抽樣實(shí)例,從而控制圓柱的變動(dòng)情況。CPVM的位置參數(shù)的概率抽樣既可以根據(jù)一種公差值進(jìn)行控制,也可以由兩種公差進(jìn)行疊加。即當(dāng)圓柱要求既標(biāo)注了方向公差、又標(biāo)注了位置公差時(shí),可以根據(jù)兩種公差之間的數(shù)值關(guān)系分別進(jìn)行概率抽樣,然后加以疊加,從而得到具體的數(shù)值。

因此,CPVM既可以模擬存在單一公差形式的幾何要素,也可以模擬存在多個(gè)公差復(fù)合的場合。

2.1.2 平面要素的CPVM

平面要素具有3個(gè)自由度,平面要素的控制參數(shù)為公稱平面規(guī)則邊界上3個(gè)頂點(diǎn)沿平面法線方向的變動(dòng)量。3個(gè)控制點(diǎn)為平面包圍盒邊界上的任意3個(gè)頂點(diǎn),但當(dāng)3個(gè)控制點(diǎn)的控制參數(shù)在公差范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí),根據(jù)3個(gè)點(diǎn)確定的替代平面會(huì)超出公差帶,說明3個(gè)控制點(diǎn)的變動(dòng)量還存在制約關(guān)系,即3個(gè)變動(dòng)參數(shù)的組合必須保證第4個(gè)頂點(diǎn)不超出平面的公差帶。

平面要素的CPVM如圖2所示。

圖2 平面要素的CPVM

平面邊界包圍盒頂點(diǎn)沿平面法線方向(z軸方向)的變動(dòng)參數(shù)分別為t1、t2、t3和t4,圖中虛線矩形邊界代表平面的公稱位置,粗實(shí)線四邊形邊界代表由3個(gè)控制點(diǎn)參數(shù)(t1,t2,t3)決定的替代幾何的一個(gè)實(shí)際位置,則第4個(gè)參數(shù)t4取決于前3個(gè)參數(shù),其計(jì)算方法為t4=t1+t3-t2。平面要素的CPVM既可以模擬單一誤差的變動(dòng)情況,也可以模擬復(fù)合誤差的變動(dòng)情況。根據(jù)給定的誤差分布規(guī)律,CPVM可以生成平面的概率抽樣實(shí)例。

2.2 基于真實(shí)機(jī)器模型的裝配位置計(jì)算原理

零件按照裝配順序進(jìn)行裝配時(shí),由于真實(shí)機(jī)器模型用替代幾何模擬了實(shí)際要素,考慮到幾何要素的剛體假設(shè),零件模型的全部裝配接觸面之間不再保持理想接觸,不同次序的裝配接觸幾何的接觸情況完全不同。替代幾何只是改變了理想幾何的位置,而沒有改變其形狀。第一裝配基準(zhǔn)接觸為理想接觸,由于第一基準(zhǔn)裝配時(shí)沒有外界約束,兩個(gè)零件的第一基準(zhǔn)屬于自由裝配,即第一基準(zhǔn)裝配依然保持面面貼合。而第二基準(zhǔn)裝配時(shí)必須在保證第一基準(zhǔn)面面貼合的約束條件下的裝配,由于第二基準(zhǔn)替代幾何的位置已偏離了理想位置,兩者之間的接觸位置需要根據(jù)實(shí)際位置進(jìn)行計(jì)算。因此,在基于真實(shí)機(jī)器的零件裝配位置計(jì)算中,第二基準(zhǔn)接觸位置的計(jì)算是其中的難點(diǎn)。

本研究團(tuán)隊(duì)已經(jīng)完成常見的裝配情況,本文著重研究了“3—2—1”裝配下第二基準(zhǔn)和第三基準(zhǔn)均為平面-圓柱面接觸時(shí)的零件裝配位置計(jì)算方法。

零件在機(jī)器中的最終裝配位置可以用一個(gè)4×4的齊次變換矩陣M4×4來表示,對于不同的裝配順序和裝配接觸幾何,矩陣M4×4中的元素?cái)?shù)值完全不同。為了方便計(jì)算這些矩陣元素,本文將裝配過程分解為4個(gè)步驟:

(1)裝配零件和定位零件的第一基準(zhǔn)面面貼合,將裝配零件的第一基準(zhǔn)的坐標(biāo)系與第一定位基準(zhǔn)的坐標(biāo)系重合;

(2)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)裝配零件,使得第二裝配基準(zhǔn)(圓柱)與第二定位基準(zhǔn)(平面)平行;

(3)平移裝配零件,使得第二裝配基準(zhǔn)與定位零件的第二基準(zhǔn)相切接觸;

(4)保證第二基準(zhǔn)相切情況下平移裝配零件,使得裝配零件和定位零件的第三基準(zhǔn)接觸。

設(shè)4個(gè)步驟的坐標(biāo)變換矩陣分別為M1_mov、M2_rot、M2_mov、M3_mov,這一裝配模式的變換矩陣是以上4個(gè)矩陣的相乘,即:

M4×4=M3_mov·M2_mov·M2_rot·M1_mov

(1)

其中,M1_mov的計(jì)算十分簡單,只需把兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)差的數(shù)值分別填入相應(yīng)的平移分量位置即可。

以下重點(diǎn)介紹第二、三基準(zhǔn)分別為平面-圓柱接觸條件下,M2_rot、M2_mov、M3_mov的計(jì)算原理。

2.3 第二定位基準(zhǔn)和裝配基準(zhǔn)分別為平面和圓柱面的裝配接觸位置確定原理

第二基準(zhǔn)中,定位零件上的定位基準(zhǔn)為平面、裝配零件上的裝配基準(zhǔn)為圓柱面影響下裝配位置計(jì)算原理簡圖,如圖3所示。

圖3 第二基準(zhǔn)平面-圓柱接觸位置計(jì)算原理F1A—裝配零件上第一基準(zhǔn)平面;F1L—定位零件上第一基準(zhǔn)平面;C2A—裝配零件上第二基準(zhǔn)圓柱面;F2L—定位零件上第二基準(zhǔn)平面;Fv—輔助的虛構(gòu)平面λ1—Fv與F1L的交線;λ2—定位基準(zhǔn)平面F2L與F1L的交線;l1—圓柱面C2A的軸線;d—坐標(biāo)原點(diǎn)到λ2的垂線

圖3中所示為兩個(gè)零件在保證第一基準(zhǔn)面面貼合后,第二裝配基準(zhǔn)圓柱面與第二定位基準(zhǔn)平面沒有接觸之前的一般相對位置。

為了不失算法的一般性,假設(shè)平面F2L與F1L之間成一般角度,設(shè)為β。要保證第二基準(zhǔn)裝配圓柱和定位平面接觸,首先將裝配零件繞z軸旋轉(zhuǎn)一定的角度(設(shè)為α2),使得圓柱軸線l1平行于第二定位基準(zhǔn)平面F2L;然后,沿垂線d方向平移裝配零件使得圓柱C2A與平面F2L線接觸。

下面分別介紹這兩個(gè)過程的算法:計(jì)算旋轉(zhuǎn)角度α2。由于裝配圓柱的軸線l1與定位平面基準(zhǔn)F2L在空間中均處于一般位置,要想計(jì)算將l1繞z軸旋轉(zhuǎn)使其平行于F2L的角度,需要構(gòu)造輔助平面Fv。Fv首先應(yīng)該包含第二裝配基準(zhǔn)圓柱C2A的軸線l1,并且它與F1L之間的角度為β。計(jì)算出Fv與F1L的交線λ1,再計(jì)算λ1與λ2之間的夾角,就是裝配零件需要繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度α2。

第二基準(zhǔn)的接觸旋轉(zhuǎn)矩陣M2_rot為:

(2)

在這種算法中,一個(gè)難點(diǎn)問題就在于輔助平面Fv的確定問題,下面介紹Fv的計(jì)算方法。

由于Fv包含l1,而l1的位置在CPVM的信息獲取框架中是已知的,只要找到直線外的1點(diǎn),即可確定平面Fv的位置,關(guān)鍵問題就變?yōu)橛?jì)算出輔助平面Fv上l1以外的第3點(diǎn)P3。

以下根據(jù)圓柱軸線l1的位置介紹其計(jì)算方法:

(1)圓柱軸線l1平行于第一基準(zhǔn)平面。輔助平面Fv上的3個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3位置及P3的計(jì)算方法,如圖4所示。

圖4 P3計(jì)算方法P1—C2A圓柱軸線l1的中點(diǎn);P2—C2A圓柱軸線l1上的另一點(diǎn);P3—Fv上l1之外未知的第3個(gè)點(diǎn);在第一基準(zhǔn)平面上的垂直投影

(x-x1)(x1-x2)+(y-y2)(y1-y2)=0

(3)

(4)

若l1處于一般位置,方程(3)可表示為直線的一般方程：

y=k1x+b1

(5)

將方程(5)代入方程(4)，方程(4)可以表示為一般方程：

A1x2+B1x+C1=0

(6)

(2)圓柱軸線l1不平行于第一基準(zhǔn)平面。輔助平面Fv上的3個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3位置及P3的計(jì)算方法如圖5所示。

圖5 P3計(jì)算方法P1—C2A圓柱軸線l1的中點(diǎn);P2—C2A圓柱軸線l1與第一基準(zhǔn)平面的交點(diǎn);P3—Fv上l1之外未知的第3個(gè)點(diǎn);在第一基準(zhǔn)平面上的垂直投影

根據(jù)P1P3與P2P3垂直關(guān)系和β的計(jì)算式，可得：

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

(7)

(8)

若l1的鉛垂面處于一般位置，方程(7)與方程(8)相減，可得一條直線的一般方程：

y=k2x+b2

(9)

將方程(9)代入方程(8)，方程(8)可表示為：

A2x2+B2x+C2=0

(10)

計(jì)算平移距離d2。將擬合圓柱面C2A的軸線與擬合平面F2L均投影到以交線λ2為法線的平面上。在已創(chuàng)建旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換矩陣M2_rot的約束下,λ1平行于λ2,并且在該角度上都聚集為一個(gè)點(diǎn);F1A和F1L重合;F2L、C2A的投影為直線。

第二基準(zhǔn)平移距離計(jì)算方法如圖6所示。

圖6 第二基準(zhǔn)平移距離計(jì)算方法

替代平面基準(zhǔn)F2L在邊界頂點(diǎn)上構(gòu)造出4個(gè)控制點(diǎn)P2L1、P2L2、P2L3、P2L4;替代圓柱基準(zhǔn)C2A的軸線端點(diǎn)上構(gòu)造出2個(gè)控制點(diǎn)P2A1、P2A2。圖6中的空心圓圈,即表示這些控制點(diǎn)在所選投影視角中所占據(jù)的位置。這一過程的總體步驟為在已有的幾何約束下,將第二裝配基準(zhǔn)圓柱沿一定方向朝第二定位基準(zhǔn)平面移動(dòng),最終實(shí)現(xiàn)圓柱與平面呈線接觸。

(11)

2.4 第三定位基準(zhǔn)和裝配基準(zhǔn)分別為平面和圓柱面時(shí)的裝配接觸位置確定

經(jīng)過第一、二基準(zhǔn)的限制之后,裝配零件只剩下了1個(gè)自由度,此時(shí)裝配零件只能沿某一直線方向自由平移或者繞著某一軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。

根據(jù)表1和表2所知:第三基準(zhǔn)的幾何類型組合有平面-平面接觸、平面-圓柱接觸、圓柱-平面接觸和外圓柱-外圓柱接觸4種。由于平面-平面接觸的情況在文獻(xiàn)[14]中已經(jīng)介紹過了,這一節(jié)只對平面-圓柱接觸表面介紹其位置計(jì)算方法。本節(jié)主要就是根據(jù)具體的裝配類型,完成第三基準(zhǔn)的接觸模擬平移矩陣M3_mov的計(jì)算,實(shí)現(xiàn)對裝配零件在剩余自由度方向下微小平移距離的模擬,形成裝配零件與第三基準(zhǔn)的接觸,限制全部的自由度。

第三基準(zhǔn)平移距離計(jì)算方法如圖7所示。

圖7 第三基準(zhǔn)平移距離計(jì)算方法F3L—定位零件上第三實(shí)際定位基準(zhǔn)平面;C3A—裝配零件上第三裝配基準(zhǔn)實(shí)際外圓柱面;當(dāng)前裝配零件的未約束自由度方向

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3 編程實(shí)現(xiàn)算法步驟

本文介紹的算法已經(jīng)在筆者的研究團(tuán)隊(duì)研制了公差分析自動(dòng)化原型軟件上得到了實(shí)現(xiàn)。該軟件總體算法步驟如下:

(1)通過CAD軟件提供的編程接口獲取裝配文檔的裝配配合信息表,獲得整個(gè)機(jī)器全部裝配零件及基準(zhǔn)幾何信息;

(2)在零件層建立幾何要素頂點(diǎn)類,在裝配層建立裝配零件頂點(diǎn)類,基于CAD軟件接口整理機(jī)器的信息流,為實(shí)現(xiàn)裝配層與零件層之間信息的傳遞提供基礎(chǔ);

(3)基于配合信息表,建立兩個(gè)核心的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),即裝配層上目標(biāo)零件的裝配路徑圖、零件層上每個(gè)零件的幾何要素誤差傳遞關(guān)系圖,作為整個(gè)程序的計(jì)算流程;

(4)建立坐標(biāo)系體系,建立各級齊次坐標(biāo)變換矩陣;

(5)根據(jù)不同裝配方案對實(shí)際位置進(jìn)行模擬。在具體的分支中,使用CPVM提供的零件、幾何要素位置描述信息,根據(jù)基準(zhǔn)設(shè)置的先后次序,考慮實(shí)際的接觸情況制作接觸模擬偏移矩陣,完成實(shí)際位置的計(jì)算,向基礎(chǔ)核心框架中添加理想位置與實(shí)際位置的映射,最終實(shí)現(xiàn)信息連接;

(6)利用概率統(tǒng)計(jì)方法對大量的變動(dòng)實(shí)例進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出具體的誤差數(shù)據(jù)。

4 實(shí)例分析

一個(gè)包含平面-圓柱裝配類型的示例如圖8所示。

圖8 平面-圓柱裝配示例驗(yàn)證

該裝配體包含3個(gè)零件,有多種裝配接觸面的類型。其中淺色零件為裝配目標(biāo)零件,深色零件為定位擋板、定位支撐板。其中,定位擋板以一面兩孔的方式裝配在定位支撐板上,它的兩個(gè)豎直平面用以定位目標(biāo)零件。目標(biāo)零件上的裝配基準(zhǔn)表面為兩個(gè)互相垂直的外圓柱表面,通過與定位擋板豎直平面的相切線接觸形成幾何約束,實(shí)現(xiàn)目標(biāo)零件自由度的約束。

對目標(biāo)零件來說,具體的裝配要求是:長條形的底面作為第一基準(zhǔn),與定位支撐板的頂面接觸,面面貼合,控制目標(biāo)零件的3個(gè)自由度;平行于底面的較長外圓柱側(cè)面作為第二基準(zhǔn),與定位擋板的豎直側(cè)面呈線接觸,控制目標(biāo)零件的2個(gè)自由度;豎直外圓柱面與定位擋板的側(cè)面呈點(diǎn)接觸,控制目標(biāo)零件的最后1個(gè)自由度。

組成裝配體零件關(guān)鍵裝配面的具體公差信息如圖9所示。

圖9 裝配體公差信息

對話框?yàn)樵蛙浖慕换ソ缑婕澳繕?biāo)要素實(shí)際位置的模擬結(jié)果,如圖10所示。

圖10 目標(biāo)要素實(shí)際位置的模擬結(jié)果

整個(gè)界面總共分7個(gè)功能區(qū):左半?yún)^(qū)域從上至下分成了5個(gè)部分,依次為目標(biāo)顯示區(qū)、裝配路徑區(qū)、仿真設(shè)置區(qū)、結(jié)果顯示區(qū)、概率分布區(qū);右半部分是敏感度與貢獻(xiàn)率列表區(qū)。左1目標(biāo)顯示區(qū)表示的信息為用戶選擇的目標(biāo)零件名稱。左2裝配路徑區(qū)表示的是零件名稱及基準(zhǔn)信息。

由于裝配體零件繁多,目標(biāo)零件在整個(gè)機(jī)器中需要一系列中間的定位零件參與定位,與機(jī)架建立位置固定關(guān)系,會(huì)形成1個(gè)包含一系列零件信息的裝配路徑。這是一個(gè)交互區(qū),通過前后按鈕的選擇可以依次查看裝配路徑中的零件名稱及定位當(dāng)前零件的基準(zhǔn)。左3仿真設(shè)置區(qū)也是1個(gè)交互區(qū),用于設(shè)置仿真計(jì)算時(shí)采用概率分布的方式及仿真次數(shù)的設(shè)置,常見的分布方式有正態(tài)分布、均勻分布、偏態(tài)分布、三角分布等。左4結(jié)果顯示區(qū)是1個(gè)信息輸出,用來顯示仿真結(jié)果的均值和方差信息。左5概率分布區(qū)也是1個(gè)信息輸出區(qū),利用仿真過程中獲得的數(shù)據(jù),繪制出具體概率分布。

基于真實(shí)機(jī)器模型的公差分析方法的思想是:先使用CPVM根據(jù)幾何要素遵循的誤差分布規(guī)律,自動(dòng)生成零件實(shí)例,即平面和圓柱面的位置變動(dòng);然后,根據(jù)實(shí)際目標(biāo)零件不同裝配類型模擬出具體裝配接觸關(guān)系造成的誤差,依次計(jì)算零件幾何要素在機(jī)器上的位置及其相對于理想位置的變動(dòng);多次運(yùn)算后,計(jì)算目標(biāo)要素控制點(diǎn)實(shí)際位置相對于理想位置在公差影響最顯著方向上的偏移距離,并保存計(jì)算結(jié)果,形成基礎(chǔ)的偏移數(shù)組;接著,對偏移數(shù)組記錄的數(shù)值求均值與方差,在結(jié)果顯示區(qū)中進(jìn)行字符輸出;最后,對統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行概率分析,獲取偏移數(shù)組中記錄值所覆蓋到的數(shù)值范圍,并將這個(gè)范圍分成40個(gè)區(qū)間,統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)間上所落入的樣本數(shù)量。計(jì)算各自概率,在整體界面中以適當(dāng)?shù)谋壤龑γ恳粋€(gè)區(qū)間的樣本統(tǒng)計(jì)值進(jìn)行圖形輸出。圖10為目標(biāo)平面位置的誤差分布情況,因?yàn)樗幸氐恼`差都遵循正態(tài)分布,裝配仿真計(jì)算的結(jié)果也大致遵循正態(tài)分布。

根據(jù)裝配體中相關(guān)零件表面的公差標(biāo)注信息,可以利用關(guān)聯(lián)表面之間的約束關(guān)系模擬誤差的積累與傳遞,計(jì)算推導(dǎo)得出目標(biāo)圓柱軸線理想位置與實(shí)際位置之間的距離d,即:

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式中:dx2L—對第二定位基準(zhǔn)平面垂直度公差對微小偏移量的模擬;dx3L—對第三定位基準(zhǔn)平面垂直度公差數(shù)值的模擬;dx3A—第三裝配基準(zhǔn)圓柱垂直度誤差的模擬;dxt2—對目標(biāo)幾何要素位置度誤差相對于第二裝配基準(zhǔn)圓柱方向上實(shí)際偏移量的模擬;dxt3—對目標(biāo)幾何要素位置度誤差相對于第三裝配基準(zhǔn)圓柱方向上實(shí)際偏移量的模擬。

在該示例中,定位擋板中提供的第二、三基準(zhǔn)平面相對于底面基準(zhǔn)均由垂直度公差0.1 mm控制,目標(biāo)零件第二、三基準(zhǔn)圓柱相對于本零件上的基準(zhǔn)A均由上垂直度公差?0.1 mm控制,目標(biāo)要素在目標(biāo)零件上的位置由位置度公差?0.5 mm控制。

將公差帶范圍內(nèi)的極端情況代入公式計(jì)算可得:最終誤差累計(jì)應(yīng)該處在0 mm～0.92 mm的范圍內(nèi),使用計(jì)算機(jī)計(jì)算的結(jié)果基本處在這個(gè)范圍內(nèi)。該結(jié)果符合誤差的累積規(guī)律，證明該方法是有效的。

5 結(jié)束語

在裝配接觸面僅限于最常見的平面和圓柱面的前提下,根據(jù)自由度約束準(zhǔn)則,筆者提出了正定位零件裝配接觸的全部組合形式,為實(shí)現(xiàn)裝配公差分析的自動(dòng)化創(chuàng)造了條件,便于為每種方案編寫計(jì)算方法,模擬真實(shí)機(jī)器中各基準(zhǔn)的裝配接觸,使裝配誤差的計(jì)算更為便捷;

基于控制點(diǎn)變動(dòng)模型公差分析理論,在CAD環(huán)境中模擬零件的基準(zhǔn)要素在制造過程中產(chǎn)生的幾何誤差,以第一基準(zhǔn)為兩平面貼合,第二、三基準(zhǔn)均為平面-圓柱接觸時(shí)的裝配方案為例子,模擬關(guān)聯(lián)表面的制造誤差在裝配時(shí)造成的微小旋轉(zhuǎn)量、偏移量,提出了目標(biāo)零件在實(shí)際裝配接觸影響下,目標(biāo)要素在機(jī)器中的位置的計(jì)算方法;并通過案例證明了方法的有效性。

當(dāng)前方法僅考慮了平面、圓柱面作為裝配基準(zhǔn)情況的裝配位置計(jì)算,更多的幾何類型的裝配接觸情況、各種欠定位情況下的裝配位置計(jì)算方法還需要在之后的研究中進(jìn)一步探索,以完善方法的通用性。