確定空間圓柱面方程的方法探析

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130)

三維Euclidean空間中都與給定空間曲線C相交的平行直線族所形成的幾何體稱為柱面，直線族中的每直線稱為柱面的一條母線，所有母線具有相同的方向，它稱為柱面的方向，定曲線C稱為柱面的一條準(zhǔn)線[1].若柱面的某一條準(zhǔn)線正好是圓周(稱為準(zhǔn)線圓)，則稱該柱面為圓柱面[1,2].圓柱面還可等價地描述為“三維Euclidean空間中到定直線的距離等于符號為正的定數(shù)的點的全體”，定直線稱為圓柱面的軸線，可發(fā)現(xiàn)軸線的方向同樣也是圓柱面的方向.圓柱面是一類特殊的直紋二次曲面，學(xué)習(xí)好圓柱面有助于提升學(xué)生的空間想象能力與科學(xué)計算能力，因此，它是學(xué)習(xí)與教授“解析幾何”課程中的重點；另一方面，因圓柱面的幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜，是故它也是學(xué)習(xí)與教授“解析幾何”課程中的難點.從多視角研究典型問題能加深對問題的理解，從而克服學(xué)習(xí)與教授問題所承載知識點過程中的困難[3].

1 問題提出

第一屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)專業(yè)類預(yù)賽[4](2009年)第一題要求考生確定經(jīng)過三條平行直線的圓柱面的方程，它突出考查應(yīng)考者的空間想象能力、轉(zhuǎn)化劃歸能力與科學(xué)計算能力，在圓柱面理論中具有極充分的代表性，其內(nèi)容完整表述如下：

問題(*)設(shè)三維Euclidean空間中的圓柱面S同時經(jīng)過三條兩兩相互平行的直線：

L1:x=y=z，L2:x-1=y=z+1，L3:x=y+1=z-1，

試確定圓柱面S的方程.

中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽由預(yù)賽與決賽構(gòu)成，有數(shù)學(xué)專業(yè)組與非數(shù)學(xué)專業(yè)組之別，每年10月舉辦預(yù)賽，翌年3月舉辦決賽，首屆預(yù)賽舉辦于2009年，實踐經(jīng)驗表明，它在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)與改革等諸多方向已經(jīng)取得顯著成效，例如，它已幫助提升大學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，已幫助改善大學(xué)數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)質(zhì)量，已幫助促進(jìn)高校的大學(xué)數(shù)學(xué)課程質(zhì)量的提升改革[5,6].作為中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)專業(yè)組預(yù)賽中的一道賽題，問題(*)的能力立意突出，既能體現(xiàn)賽事活動的辦賽宗旨，又能真實反映出學(xué)科學(xué)與教的重難點，有鑒于此，問題(*)具有極高的研究價值.經(jīng)初步分析，筆者發(fā)現(xiàn)問題(*)具有多種求解方法，而且每種解法能從一種或多種視角揭示圓柱面的幾何特性，從而能幫助加深對圓柱面的理解與認(rèn)識.本文旨以問題(*)為例，闡述確定三維空間中經(jīng)過三條平行直線的圓柱面的方程的8種視角下的若干方法.

2 確定圓柱面方程的方法探析

探析1 先確定出圓柱面S的軸線，再利用定義“到軸線的距離等于定數(shù)的點的全體”確定出圓柱面S的方程.確定軸線的思路是，由“直線L1，L2，L3上的點到軸線的距離為常數(shù)”得出：軸線上的所有點到直線L1，L2，L3的距離都相等.基于這些想法，可得出問題(*)的一種解答.

設(shè)直線L是圓柱面S的軸線.任取軸線L上的一點，記其坐標(biāo)為(x,y,z)，因該點到直線L1，L2，L3的距離為常數(shù)，故有

或等價地，有

x-1=y+1=z，

此即軸L線的方程.

任取圓柱面S上的一點，記其坐標(biāo)為(x,y,z)，S經(jīng)過直線L1，而直線L1經(jīng)過點O(0,0,0)，故O點在圓柱面S上，進(jìn)而得知以(x,y,z)為坐標(biāo)的點到軸線L的距離與點O到軸線L的距離相等，或等價地，有

經(jīng)化簡整理，得

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

此即為圓柱面S的方程.

探析2 先確定出圓柱面S的準(zhǔn)線圓，再借助于性質(zhì)“過圓柱面S上任何一點的母線與準(zhǔn)線圓相交”確定出圓柱面S的方程.基于這些想法，給出問題(*)的一種解答.

經(jīng)分析可知，圓柱面S與平面π：x+y+z=0的交線是圓周C，它是圓柱面S的準(zhǔn)線圓.直線L1，L2，L3與平面π的交點分別是O(0,0,0)，P(1,0,-1)，Q(0,-1,1).可驗證，以x2+y2+z2-2x+2y=0為方程的二次曲面是經(jīng)過點O，P，Q的一個球面.于是，準(zhǔn)線圓C的方程為

任取圓柱面S上的一點，記其坐標(biāo)為(x,y,z).設(shè)點以(x+t,y+t,z+t)為坐標(biāo)的點在圓周C上，則

消除參數(shù)t，并經(jīng)化簡整理可得

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

此即為圓柱面S的方程.

探析3 基于探究2的解答過程，可發(fā)現(xiàn)確定圓柱面S軸線方程的另一種方法：軸線是直線段OP與OQ的中垂面，其中O(0,0,0)，P(1,0,-1)，Q(0,-1,1).基于這一想法，給出問題(*)的一種解答.

圓柱面S的軸線L的方程為

仿照探析1的解答步驟，可得出圓柱面S的方程

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

注2 因點O(0,0,0)，P(1,0,-1)，Q(0,-1,1)都是圓柱面S的準(zhǔn)線圓上的點，故它們到圓柱面S的軸線上的任何一點的距離相等，利用此發(fā)現(xiàn)也可確定出圓柱面S的軸線的方程.

探析4 經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)，對任何(x0,y0,z0)，(x1,y1,z1)及(m,n,p)∈R3，有

直接利用后者可發(fā)現(xiàn)問題(*)的一種解答：

任取圓柱面S上的一點，記其坐標(biāo)為(x,y,z)，因該點到軸線L的距離與點O到軸線L的距離相等，故

經(jīng)化簡整理，得

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

此即為圓柱面S的方程.

探析5 基于平面系想法，給出問題(*)的一種解答.

設(shè)圓柱面S的方程為(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2+λ1(x-y)+λ2(y-z)=0，圓柱面S經(jīng)過直線L2與L3，故以(1,0,-1)與(0,-1,1)為坐標(biāo)的點都在圓柱面S上，進(jìn)而有

或等價地，有

由Cramer法則，

于是，圓柱面S的方程為

(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2-6(x-y)=0，

或等價地，為

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

探析6 基于平面系想法，還能給出問題(*)的另一種解答.

設(shè)圓柱面S的方程為

因圓柱面S經(jīng)過直線L1，而直線L1經(jīng)過點O(0,0,0)，故點O在圓柱面S上，進(jìn)而有

解得，λ=-3.于是，圓柱面S的方程為

或等價地，為

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

注3 探析5的原理是，先確定出經(jīng)過直線L1的圓柱面S族的方程，再利用圓柱面S經(jīng)過直線L2與L3建立方程并借此解出雙參數(shù)λ1與λ2的值.探析6的想法與探析5類似，先確定出經(jīng)過直線L2與L3的圓柱面族的方程，再利用圓柱面S經(jīng)過直線L1建立方程并借此解出單參數(shù)λ的值.

探析7 先借助于正交變換，將圓柱面“扶持歸正”，此時的圓柱面S′與原來的圓柱面S的形狀一模一樣，確定出圓柱面S′的方程，最后通過正交變換的逆變換(還是正交變換)，得出圓柱面S的方程.能達(dá)到上述功能的坐標(biāo)變換有無窮多，通過取特殊值能獲得其中的一個.“扶持歸正”圓柱面最大的優(yōu)點是圓柱面S′的方程在正好也是二維Euclidean空間中的圓周的方程，因此，通過確定圓周方程來達(dá)成確定圓柱面S′的方程的目的.基于這些想法，給出問題(*)的一種解答.

借助于正交變換

圓柱面S′的方程為

或等價地，有

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0，

此即圓柱面S的方程.

探析8 先設(shè)出圓柱面S含有待定參數(shù)的方程，再利用題設(shè)條件建立方程并進(jìn)而解出待定參數(shù)的值.基于這些想法，給出問題(*)的一種解答.

設(shè)圓柱面S的方程為

x2+y2+z2+2a12xy+2a23yz+2a13xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0.

因圓柱面S過直線L1(參數(shù)方程為x=t，y=t，z=t)，故對?t∈R，都有

t2+t2+t2+2a12t·t+2a23t·t+2a13t·t+2a14t+2a24t+2a34t+a44=0,

化簡整理，得

(3+2a12+2a23+2a13)t2+2(a14+2a24+2a34)t+a44=0.

(1)

類似地，因圓柱面S過直線L2(參數(shù)方程為x=t+1，y=t，z=t-1)與L3(參數(shù)方程為x=t，y=t-1，z=t+1)，故對?t∈R，有

(2)

由方程(1)與方程組(2)得

基于Gauss消元法，對上述方程組開展初等變換，得

于是圓柱面S的方程為

x2+y2+z2-xy-yz-xz-3x+3y=0.

注4 仿照探析8中發(fā)現(xiàn)的思路可證明下述一般性的結(jié)論：設(shè)某圓柱面S的方向向量為(m,n,p)，且其經(jīng)過三點，已知這三點的坐標(biāo)分別為(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，(x3,y3,z3)，則圓柱面S的方程為

證設(shè)圓柱面S的方程為

x2+y2+z2+2a12xy+2a23yz+2a13xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0.

根據(jù)題設(shè)條件，以

(x1+mt,y1+nt,z1+pt)，(x2+mt,y2+nt,z2+pt)，(x3+mt,y3+nt,z3+pt)

為參數(shù)方程的直線都包含于圓柱面S.仿照探析8的解答過程，可證明這等價于：對?t∈R，有

這事實上還等價于：參數(shù)a12,a23,a13,a14,a24,a34,a44滿足下述線性方程組

借助于Cramer法則可直接解出參數(shù)

a12，a23，a13，a14，a24，a34，a44

的值.

借助于這些，并利用行列式的計算性質(zhì)，可證得

(x2+y2+z2+2a12xy+2a23yz+2a13xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44)=0.

注5 借助于注4中發(fā)現(xiàn)的公式，

2 結(jié)束語

本文以問題(*),即第一屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)專業(yè)類預(yù)賽[4](2009年)第一題為例，從8種視角探析并給出了確定三維Euclidean空間中經(jīng)過三條平行直線的唯一圓柱面的方程的若干方法.圓柱面是大學(xué)“解析幾何”課程中的學(xué)與教方向的重難點，本文的研究在該方向有重要啟示.