動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)提效數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實(shí)證研究

韓仲亮 張蓉蓉

[摘? 要] 基于動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)，能讓數(shù)學(xué)符號(hào)與圖形的變化過(guò)程可視化，能讓概念的生成過(guò)程直觀(guān)化，能讓解題思路多維化，能有效改變傳統(tǒng)教學(xué)模式以靜態(tài)環(huán)境想象動(dòng)態(tài)過(guò)程的不足，不僅有效增強(qiáng)了學(xué)生的空間思維意識(shí)，而且培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維、發(fā)散思維、創(chuàng)新思維等數(shù)學(xué)思維能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù);提效;變式教學(xué);圖形的旋轉(zhuǎn)

變式教學(xué)法非常有利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)、科學(xué)的數(shù)學(xué)思維拓展訓(xùn)練，但只是單獨(dú)運(yùn)用變式教學(xué)法也有很多缺陷，譬如無(wú)法解決很多幾何概念的推理論證與拓展練習(xí);如果把動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)與變式教學(xué)法相結(jié)合，很多數(shù)學(xué)概念、公式、定理的教學(xué)問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，能夠顯著提升初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率.

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的概念內(nèi)涵及主要特征

“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)”指運(yùn)用動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件（如幾何畫(huà)板、Hawgent教學(xué)軟件），讓靜止的數(shù)學(xué)符號(hào)或圖形“運(yùn)動(dòng)”起來(lái)，讓數(shù)學(xué)符號(hào)與圖形的變化過(guò)程可視化，讓概念的生成過(guò)程直觀(guān)化.

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的主要特征是形象化、動(dòng)態(tài)化、可視化，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂靜態(tài)教學(xué)模式形成鮮明的對(duì)比，能有效增強(qiáng)學(xué)生的空間思維意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.

變式教學(xué)與動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的教學(xué)原理與融合途徑

1. 教學(xué)原理

變式教學(xué)的教學(xué)原理在于“變”：變條件、變結(jié)論、變方法……動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的核心價(jià)值也在于“變”：變形狀、變位置、變狀態(tài)……把變式教學(xué)與動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)相結(jié)合，就好比“強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手”，能讓初中數(shù)學(xué)課堂變得思維火花迸射，充滿(mǎn)生機(jī)與靈動(dòng).

2. 融合途徑

變式教學(xué)與動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)融合的途徑主要有概念生成、公式推導(dǎo)、定理論證、教學(xué)重難點(diǎn)突破、思維訓(xùn)練、拓展練習(xí)等方面，如蘇教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“9.1 圖形的旋轉(zhuǎn)”可按如下思路進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

（1）明確探究任務(wù)

根據(jù)教材內(nèi)容可制定如下探究任務(wù)：①探究圖形旋轉(zhuǎn)的概念，認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)三要素;②探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);③探究旋轉(zhuǎn)圖形的畫(huà)法.

（2）確定變式教法

根據(jù)探究任務(wù)以及變式教學(xué)和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)融合的原理，可制定如下變式教法：

①創(chuàng)設(shè)變式情境.通過(guò)不斷變化提問(wèn)的方式，不斷變化問(wèn)題生發(fā)的過(guò)程與方式，誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)沖突，從而激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望.

②開(kāi)展變式探究.讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形位置、形狀等的變式探究，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“猜想、操作、推理、驗(yàn)證、歸納、概括”等探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，完成對(duì)概念的生成與建構(gòu)過(guò)程.

③進(jìn)行變式訓(xùn)練. 通過(guò)一題多變、一題多解、一題多用等變式練習(xí)，從概念的條件與結(jié)論、問(wèn)題的深淺程度、思維的正反方向等多個(gè)維度，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新知識(shí)進(jìn)行“深化、吸收、遷移、創(chuàng)新”.

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)提效初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的課例實(shí)證

下面，以蘇教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“9.1 圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例，談?wù)剟?dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)變式教學(xué)的融合途徑與策略.

1. 感受旋轉(zhuǎn)，引入新知

（1）播放時(shí)鐘、風(fēng)車(chē)、車(chē)輪、摩天輪等學(xué)生熟悉的旋轉(zhuǎn)畫(huà)面，讓學(xué)生直觀(guān)感受旋轉(zhuǎn)，豐富學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的感性認(rèn)識(shí).

（2）利用Hawgent教學(xué)軟件出示靜態(tài)的三角形、長(zhǎng)方形、平行四邊形等圖形，再讓這些圖形旋轉(zhuǎn)起來(lái)，讓學(xué)生感受圖形的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)畫(huà)面，引發(fā)猜想：旋轉(zhuǎn)后所得的圖形與原圖形的形狀、大小相同嗎？進(jìn)而引入新知.

2. 變式探究，認(rèn)識(shí)新知

【探究目標(biāo)一】探究圖形旋轉(zhuǎn)的概念

活動(dòng)1：實(shí)驗(yàn)探究，建立旋轉(zhuǎn)概念.

（1）引導(dǎo)學(xué)生操作并思考：把三角尺ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到DEC的位置（如圖1），再度量線(xiàn)段AC與DC、BC與EC的長(zhǎng)度，以及∠ACD與∠BCE的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）學(xué)生測(cè)量后發(fā)現(xiàn)：AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE.（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。?/p>

（3）歸納總結(jié)：①將圖形繞一個(gè) 定點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)一定的 角度 ，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為圖形的旋轉(zhuǎn). 這個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為 旋轉(zhuǎn)中心 ，旋轉(zhuǎn)的角度稱(chēng)為 旋轉(zhuǎn)角 . ②旋轉(zhuǎn)的決定因素有 旋轉(zhuǎn)中心 、 旋轉(zhuǎn)角 和 旋轉(zhuǎn)方向 ，也稱(chēng)旋轉(zhuǎn)三要素.

（注意：旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)指出旋轉(zhuǎn)方向，如逆時(shí)針、順時(shí)針等）

活動(dòng)2：變式拓展，結(jié)合動(dòng)圖看概念.

利用Hawgent教學(xué)軟件出示△ABC，再將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），讓學(xué)生先獨(dú)立完成下面的思考題，再交流討論：

（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn) C ;

（2）點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 E ;

（3）CA的對(duì)應(yīng)邊是 CD ;

（4）∠A的對(duì)應(yīng)角是 ∠D ;

（5）點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)角是 ∠ACD ;

（6）點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)角是 ∠BCE .

【探究目標(biāo)二】探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

思考：三角形旋轉(zhuǎn)中心在圖形本身，其旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀與大小不變（性質(zhì)1），如果旋轉(zhuǎn)中心在圖形之外，會(huì)出現(xiàn)什么新情況？

活動(dòng)3：探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)2——線(xiàn).

如圖3，將△ABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△A′B′C′的位置.

（1）找出圖中的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段.

（2）度量線(xiàn)段OA與OA′、OB與OB′、OC與OC′的長(zhǎng)度，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）學(xué)生度量后發(fā)現(xiàn)OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′.

（4）學(xué)生討論后得出：圖形旋轉(zhuǎn)后，每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

活動(dòng)4：探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)3——角.

圖形旋轉(zhuǎn)后，除了兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)角相等外，還有哪些相等的角？

（1）度量圖3中的∠AOA′，∠BOB′，∠COC′的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）學(xué)生度量后發(fā)現(xiàn)∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.

（3）學(xué)生討論后得出：圖形旋轉(zhuǎn)后，每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)所成的角彼此相等.

活動(dòng)5：歸納、概括圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

（1）形：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形 形狀與大小不變 （對(duì)應(yīng)線(xiàn)段 相等 ，對(duì)應(yīng)角 相等 ）.

（2）線(xiàn)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離 相等 .

（3）角：每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)所成的角彼此 相等 .

【探究目標(biāo)三】探究旋轉(zhuǎn)圖形的畫(huà)法

活動(dòng)6：動(dòng)手畫(huà)——點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

出示：已知點(diǎn)A和點(diǎn)O，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)A繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的圖形.

（1）畫(huà)圖步驟：連線(xiàn)→畫(huà)角→截?。ㄈ鐖D4），即①連接點(diǎn)O和點(diǎn)A（用虛線(xiàn)）;②以O(shè)為頂點(diǎn)，以O(shè)A為一邊，畫(huà)∠AOC=90°（注意順時(shí)針）;③在射線(xiàn)OC上截取線(xiàn)段OA′=OA. 則點(diǎn)A′就是所要求作的點(diǎn).

（2）學(xué)生按上述步驟自主畫(huà)圖.

活動(dòng)7：變式——線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn).

出示：已知線(xiàn)段AB和點(diǎn)O，請(qǐng)畫(huà)出線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的圖形.

（1）按照“活動(dòng)6”的三個(gè)步驟，小組討論線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)畫(huà)法，即①分別連接OA和OB（用虛線(xiàn)）;②以O(shè)A為一邊畫(huà)∠AOC=90°，以O(shè)B為一邊畫(huà)∠BOD=90°;③在射線(xiàn)OC上截取線(xiàn)段OA′=OA，在射線(xiàn)OD上截取線(xiàn)段OB′=OB. 用實(shí)線(xiàn)連接A′B′，線(xiàn)段A′B′就是所要求作的線(xiàn)段（如圖5）.

（2）學(xué)生按上述步驟自主畫(huà)圖.

活動(dòng)8：變式——三角形的旋轉(zhuǎn).

出示：已知△ABC和點(diǎn)O，請(qǐng)畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的圖形.

（1）學(xué)生按照上面點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)、線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)的作圖步驟自主畫(huà)圖（如圖6）.

（2）交流談?wù)?，總結(jié)旋轉(zhuǎn)圖形的畫(huà)法.

歸納總結(jié)？搖 畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，關(guān)鍵是確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（如線(xiàn)段的端點(diǎn)、多邊形的頂點(diǎn)等）. 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再按原圖形的連接方式連接各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.

上面的變式探究活動(dòng)，利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)把實(shí)物轉(zhuǎn)化為平面圖形，并演示圖形旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，既有利于學(xué)生從直觀(guān)感受轉(zhuǎn)化為抽象概念，又有利于學(xué)生深入理解圖形旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì). 并且學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)學(xué)會(huì)了如何畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形，這為學(xué)生以后自主解決具體問(wèn)題奠定了知識(shí)與技能基礎(chǔ).

3. 變式訓(xùn)練，深化新知

（1）嘗試練習(xí)

原題1？搖 如圖7，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接AC，DE. 現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△AMN的位置（M在AC上）. 旋轉(zhuǎn)了多少度？CM的長(zhǎng)度是多少？（答案：旋轉(zhuǎn)了45°，CM= -1）

變式？搖 如圖8，在正方形ABCD中，E是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△ABP的位置. 旋轉(zhuǎn)了多少度？若連接EP，試說(shuō)出△AEP的形狀.（答案：旋轉(zhuǎn)了90°，△AEP是等腰直角三角形）

（2）延伸拓展

原題2？搖 如圖9，將等邊三角形ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40°后得△ADE （點(diǎn)B與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則∠BAE= 100° .（解答：∠BAE=60°+40°=100°）

變式1？搖 如圖10，將等邊三角形ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40°后得△ADE （點(diǎn)B與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則∠BAE= 20° .

變式2？搖 將等邊三角形ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)40°后得到△ADE （點(diǎn)B與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則∠BAE=? ? ?100° 或20°? ?. （解答：①逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠BAE=60°+40°=100°;②順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠BAE=60°-40°=20°）

上面的嘗試練習(xí)讓學(xué)生及時(shí)遷移、運(yùn)用新知解決實(shí)際問(wèn)題;拓展練習(xí)則進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深化吸收與拓展創(chuàng)新. 兩項(xiàng)練習(xí)都在原題基礎(chǔ)上對(duì)條件和問(wèn)題進(jìn)行變式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與創(chuàng)新思維能力.