立足幾何特性，突破圓錐曲線

屈芳

[摘? 要] 圓錐曲線問題中的幾何條件可作為解題的突破口，即利用平面幾何知識(shí)來構(gòu)建解題思路. 中學(xué)階段常見的幾何特性包括特殊三角形、圓、矩形等圖形性質(zhì)，合理利用幾何性質(zhì)可實(shí)現(xiàn)條件、問題轉(zhuǎn)換. 文章剖析應(yīng)用幾何性質(zhì)解圓錐曲線問題的策略，以四類問題為例開展解題探究.

[關(guān)鍵詞] 幾何;性質(zhì);圓錐曲線;中位線;等腰三角形;勾股定理

問題綜述

圓錐曲線問題是高考?jí)狠S題之一，由于圓錐曲線含有“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)，問題解析通常有兩種策略：一是將圓錐曲線問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)性質(zhì)求解;二是利用幾何意義，即由曲線定義和平面幾何的相關(guān)結(jié)論來求解. 其中策略二需把握問題本質(zhì)特征的“幾何性”，然后利用圓錐曲線知識(shí)求解，是幾何性質(zhì)在圓錐曲線問題中的應(yīng)用體現(xiàn). 平面幾何性質(zhì)是中學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，應(yīng)用于圓錐曲線中要關(guān)注幾何與曲線、幾何與坐標(biāo)系之間的關(guān)聯(lián)，以線段、點(diǎn)坐標(biāo)為紐帶構(gòu)建思路.

利用幾何性質(zhì)求解圓錐曲線問題的一般思路如下：

第一步，根據(jù)題意繪制圖像，把握問題條件，提取幾何圖形;

第二步，構(gòu)建幾何模型，結(jié)合幾何性質(zhì)挖掘隱含條件;

第三步，綜合圓錐曲線知識(shí)和幾何特性構(gòu)建思路，從函數(shù)視角進(jìn)行解析.

實(shí)例探究

平面幾何的性質(zhì)定理眾多，在解析應(yīng)用時(shí)可圍繞基本圖形的特殊性質(zhì)來探究，如等腰、等邊三角形的“三線合一”特性，直角三角形的垂直特性，圓中的對(duì)稱、直角特性等，具體解析時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的策略，立足幾何特性開展解法探究.

類型1：三角形中位線性質(zhì)

三角形的中位線是圖形內(nèi)的特殊線段，由于連接了邊的中點(diǎn)，使得中位線與對(duì)邊在位置和線段長(zhǎng)兩方面具有幾何關(guān)系，解題時(shí)可利用中位線的性質(zhì)來推理長(zhǎng)度關(guān)系或平行關(guān)系，以此為中心構(gòu)建解題思路.

例1：已知點(diǎn)P是橢圓 + =1（y≠0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F 和F ，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn). 如果點(diǎn)M是∠F PF 的平分線上的一點(diǎn)，且 · =0，則 的取值范圍為________.

解析：根據(jù)題設(shè)條件繪制圖像，如圖1所示. 設(shè)F M與PF 延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為N，由于PM平分∠F PF ，可證△PF N為等腰三角形，PM⊥F N，進(jìn)一步易證△PF M≌△PNM，由全等性質(zhì)可得PF =PN，F(xiàn) M=MN.

在△F F N中，已知點(diǎn)O為F F 的中點(diǎn)，點(diǎn)M為F N的中點(diǎn)，則OM就為△F F N的中位線，所以O(shè)M= F N= PN-PF = PF -PF . 由橢圓定義可知PF +PF =8，所以O(shè)M= PF -（8-PF1）？搖=PF -4. 由橢圓方程易得4-2

評(píng)析：上述通過構(gòu)圖形成了等腰三角形，進(jìn)一步構(gòu)建了OM為△F F N的中位線，結(jié)合中位線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)即可推導(dǎo)出線段OM的長(zhǎng)度范圍. 中位線性質(zhì)在圓錐曲線問題中應(yīng)用極為廣泛，解題時(shí)要充分利用圖像中的中點(diǎn)，合理構(gòu)建幾何模型. 中位線性質(zhì)中的平行關(guān)系常與直線斜率相結(jié)合，可利用平行關(guān)系推導(dǎo)直線解析式.

類型2：等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形是特殊的幾何圖形，具有等邊對(duì)等角的特性，同時(shí)圖形中的“三線合一”性質(zhì)將角相等、垂直、線段相等關(guān)系有機(jī)地融合在一起，解題時(shí)靈活運(yùn)用可實(shí)現(xiàn)等量關(guān)系與位置關(guān)系的轉(zhuǎn)換.

例2：已知圓x2+y2+2x-15=0的圓心為點(diǎn)A，過點(diǎn)B（1，0）且不與x軸相重合的直線l與圓相交于點(diǎn)C和D. 現(xiàn)過點(diǎn)B作AC的平行線，與AD的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)E，回答下列問題.

（1）試分析EA+EB是否為定值，若為定值，求出該值;若不為定值，請(qǐng)說明理由.

（2）求出動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程.

解析：（1）由條件可知圓的圓心A坐標(biāo)為（-1，0），且半徑為4，根據(jù)題意可繪制圖2所示圖像. 由于AC=AD，則△ACD為等腰三角形，則∠EBD=∠EDB，故ED=EB. 此時(shí)EA+EB=EA+ED=AD=4，所以EA+EB為定值，且定值為4.

（2）由條件可得點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），點(diǎn)E是動(dòng)點(diǎn)，且EA+EB=4>AB，由橢圓定義可知，點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即a=2，b= ，c=1，所以點(diǎn)E的軌跡方程為 + =1.

評(píng)析：上述在探究定值問題時(shí)充分利用了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理，由等邊推等腰，再由等腰推等角、等邊，從而實(shí)現(xiàn)了線段的等量轉(zhuǎn)換.

類型3：直角三角形特性

直角三角形的直角特性應(yīng)用廣泛，利用直角可以進(jìn)行角度推導(dǎo)，也能由勾股定理構(gòu)建線段關(guān)系模型. 在圓錐曲線中主要運(yùn)用直角三角形特性構(gòu)建線段關(guān)系方程，或在圖形中構(gòu)建三角函數(shù)關(guān)系.

例3：已知橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F （-c，0），F(xiàn) （c，0），其中a，b，c均為正數(shù). 已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0），原點(diǎn)到直線l的距離為 .

（1）求橢圓的方程;

（2）如果點(diǎn)M和N是定直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知 · =0，證明：以MN為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：（1）簡(jiǎn)答，可得橢圓的方程為 + =1.

（2）根據(jù)題意可設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為O′（4，h），半徑為R，與x軸的交點(diǎn)為C和D，F(xiàn) M與F N相交于點(diǎn)P，如圖3所示，連接圖中的線段. 分析可知∠OPO′=∠OPF +∠NPO′=∠OF P+∠F NE=∠NF E+∠F NE=90°，即△OPO′為直角三角形，由勾股定理可得OO′2=OP2+O′P2=1+R2. 又知OO′2=OE2+O′E2=16+h2，所以1+R2=16+h2，即 = ，則CE=DE= . 又知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4- ，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+ ，0），所以以MN為直徑的圓與坐標(biāo)x軸相交于兩定點(diǎn)（4- ，0）和（4+ ，0）.

評(píng)析：上述在探究圓過定點(diǎn)時(shí)是引入了直角三角形，利用直角三角形的勾股定理來構(gòu)建方程，進(jìn)而推導(dǎo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo). 勾股定理反映了直角三角形的三邊關(guān)系，在圓錐曲線問題中有兩種使用策略：一是由直角特性構(gòu)建線段關(guān)系，二是由線段的平方和關(guān)系推導(dǎo)直角特性.

類型4：圓的幾何性質(zhì)

圓是特殊的幾何圖形，含有眾多的幾何性質(zhì)，如垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理等. 同時(shí)圓也是圓錐曲線重點(diǎn)研究的對(duì)象，解析過程可充分利用圓的性質(zhì)定理進(jìn)行條件推導(dǎo).

例4：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是直線l：y=2x上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l的另一交點(diǎn)為D. 若 · =0，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________.

解析：結(jié)合題意繪制圖4所示圖像，由于 · =0，則AB⊥CD. 又知點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D位于圓上，則△ABD為等腰直角三角形，即∠ADB= ，∠BAO= . 設(shè)直線l的傾斜角為θ，則tanθ=2，可推得直線AB與x軸的夾角∠ABx= +θ，則直線斜率k =tan +θ=-3，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可知直線AB的解析式為y=-3x+15，與直線l解析式聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6）.

評(píng)析：上述在探究點(diǎn)A的坐標(biāo)時(shí)充分利用了幾何性質(zhì)，由條件推導(dǎo)等腰三角形，結(jié)合斜率與傾角的關(guān)系確定了直線的解析式，進(jìn)而求出交點(diǎn). 解題過程涉及圓中的“直徑對(duì)直角”，等腰三角形的“三線合一”定理等，利用幾何性質(zhì)構(gòu)建思路更為簡(jiǎn)潔.

反思總結(jié)

幾何與代數(shù)的結(jié)合是研究圓錐曲線問題的重要策略，把握?qǐng)D形的幾何特性，利用性質(zhì)推導(dǎo)隱含條件可降低思維難度. 同時(shí)，圓錐曲線研究的對(duì)象是幾何圖形與曲線關(guān)系，解析過程顯然不能繞開幾何性質(zhì)而單純進(jìn)行代數(shù)推導(dǎo). 上述所涉及的幾何性質(zhì)在圓錐曲線問題中十分常用，考題探究要關(guān)注幾何性質(zhì)解題的構(gòu)建思路，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

建議一：數(shù)形結(jié)合，以圖像構(gòu)建為解題先導(dǎo)

數(shù)形結(jié)合是求解圓錐曲線問題的常用方法，數(shù)形結(jié)合解題一般分兩步進(jìn)行：第一步，結(jié)合問題條件繪制或完善圖像;第二步，結(jié)合圖像推導(dǎo)條件，轉(zhuǎn)化問題. 其中第一步圖像構(gòu)建是問題突破的先導(dǎo)，將直接決定思路構(gòu)建的難易. 因此在解題教學(xué)中，首要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建圖像，提取圖像中的特殊圖形、特殊關(guān)系. 教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，以及幾何建模能力.

建議二：知識(shí)總結(jié)，以性質(zhì)歸納為復(fù)習(xí)重點(diǎn)

利用平面幾何性質(zhì)可有效降低圓錐曲線問題的解析難度，解析時(shí)要合理處理圖形與曲線的位置關(guān)系、圖形特性與函數(shù)條件的關(guān)系. 圓錐曲線問題設(shè)問形式多變，但基于問題本質(zhì)可將其歸為常見的幾類，解題探究中要注重知識(shí)總結(jié)，可圍繞幾何性質(zhì)來歸納解題方法. 如上述利用中位線關(guān)系、勾股定理構(gòu)建線段關(guān)系，由等腰三角形特性開展等角、等邊轉(zhuǎn)換等. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生挖掘圖形特性，合理進(jìn)行性質(zhì)拓展，提升學(xué)生的總結(jié)歸納能力.