回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升解題能力

劉暢

[摘? 要] 在解題中以認(rèn)清數(shù)學(xué)問題的本源為基礎(chǔ)回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，找尋解題的根本規(guī)律，即可達(dá)到善于解題的目標(biāo). 文章提出，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)是提升學(xué)生解題能力的路徑和方法，具體來說，回歸概念的本質(zhì)是善于解題的前提，回歸數(shù)學(xué)思想是善于解題的根本，回歸多種視角是善于解題的利器.

[關(guān)鍵詞] 高三數(shù)學(xué);習(xí)題講評課;數(shù)學(xué)本質(zhì);解題能力

數(shù)學(xué)是一門專注于規(guī)律研究的學(xué)科，毋庸置疑，解題過程具有其根本規(guī)律和屬性，而這個根本規(guī)律與屬性即數(shù)學(xué)本質(zhì). 高三復(fù)習(xí)中，習(xí)題講評課是最為常見的課型，講評內(nèi)容覆蓋了整個高中的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生分析和糾正問題提供了幫助，為知識的系統(tǒng)理解和能力的發(fā)展提供了機會，習(xí)題講評的成敗決定著高三復(fù)習(xí)的質(zhì)量，使得學(xué)生在深度思考中強化“四基”，在探究發(fā)現(xiàn)中提升“四能”.

沒有人懷疑習(xí)題講評對于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要作用，但落實在教學(xué)實踐中卻是千差萬別的. 學(xué)生的解題能力大多數(shù)時候都是在解題、析題和評題的活動中得以培養(yǎng)的. 筆者認(rèn)為，在解題中以認(rèn)清數(shù)學(xué)的問題的本源為基礎(chǔ)回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，找尋解題的根本規(guī)律，即可達(dá)到善于解題的目標(biāo). 本文對習(xí)題講評的理解是，通過對數(shù)學(xué)解題的教學(xué)研究，體會問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，探究解決數(shù)學(xué)問題的基本規(guī)律，感受數(shù)學(xué)探究的“味道”，從而學(xué)會數(shù)學(xué)思維.

回歸概念的本質(zhì)是善于解題的前提

在高三習(xí)題講評中，不少教師對所涉知識一帶而過，輕描淡寫地強調(diào)死記硬背，學(xué)生對此也是走馬觀花，根本不會探究本質(zhì). 張建躍博士曾言“解題錯誤主要源于概念把握不準(zhǔn)”，不少學(xué)生和教師口中的粗心實質(zhì)上就是概念、定理等知識的理解不清或不到位，缺乏對概念本質(zhì)的理解和把握. 因此，理解和回歸概念的本質(zhì)是善于解題的前提. 習(xí)題講評的過程中，教師應(yīng)在概念復(fù)習(xí)上下足功夫，幫助學(xué)生理清概念本質(zhì)，實現(xiàn)對其認(rèn)知的螺旋提升，在解題中凸顯回歸概念解題的規(guī)律，從而輕松解題.

例1：如圖1，已知等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=1，AB∥CD，∠DAB=60°，且點E為該梯形上的任意一點，試求出 · 的取值范圍.

師：下面誰愿意來說一說這道習(xí)題的解題思路呢？

生1：可以將 · 看成一組基底，再通過三種情形以基底向量來表示 一一求出范圍，進(jìn)而得出結(jié)論.

生2：我的想法類似于生1，我與他不同的是我是通過建系并利用坐標(biāo)得出的.

生3：可以根據(jù)向量數(shù)量積的定義，觀察 在 方向上的投影，即可直接得出結(jié)論.

師：三位同學(xué)的解法都非常棒，尤其是生3的解法最為簡潔易懂，是通過向量數(shù)量積的定義直接得出的結(jié)論，具有運用定義解題的意識，省略了煩瑣的運算過程，這一點值得其他同學(xué)學(xué)習(xí). 由此可見，數(shù)學(xué)概念的深刻理解對于我們解題是十分重要的……

評析：在解題中，一個問題的繁難往往不在于題目的抽象、形式的復(fù)雜或知識點的綜合性，關(guān)鍵在于是否能準(zhǔn)確定位題目中包含的相關(guān)概念，從而將抽象問題轉(zhuǎn)化為對一個或多個概念的理解[1]. 觀察例1可以看出難度較小，那它的講評價值是什么呢？事實上，通過本題的講評，不僅可以幫助學(xué)生對基底法和坐標(biāo)法這兩種解決向量問題的基本思路有一個深層次的認(rèn)識，還可以讓學(xué)生感受到向量數(shù)量積的定義優(yōu)化解法的效能，感知概念的重要性，深化對概念的理解.

回歸數(shù)學(xué)思想是善于解題的根本

知識是“基礎(chǔ)”，方法是“手段”，思想是“深化”，從而數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)的靈魂. 新課程理念下提出的“提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，其核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的理解和運用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合表現(xiàn)即為“能力”. 習(xí)題講評課中，不少教師對解題思路的探究，熱衷于解法1、解法2、解法3……從而引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上談解法，即站在數(shù)學(xué)思想和方法的高度去解說，讓學(xué)生切實感受數(shù)學(xué)思想和方法挖掘本質(zhì)的過程，讓學(xué)生真實感受優(yōu)化解法的過程，讓學(xué)生清晰理解解題的方向，并擁有一雙透過現(xiàn)象看到本質(zhì)的“慧眼”，深刻領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想，使問題的解決變得自然而簡單，充分發(fā)展學(xué)生的思維和能力.

例2：已知S 為各項均是非零實數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和，并滿足a +a ≤4，試求出S 的最大值.

師：下面請兩名學(xué)生板演具體解法.

生1：設(shè){an}的公差是d，據(jù)題意，可得2a +18a d+81d2≤4 ①，又S =9a +36d，所以a = S -4d. 將其代入①式后，化簡可得41d2+ S d+ S -4≤0.

因為關(guān)于d的以上不等式有解，所以Δ= S? -4×41× S -4≥0，可解得-2 ≤S ≤2 ，所以S 的最大值是2 .

生2：令a =rcosθ，a =rsinθ（0

師：其他同學(xué)覺得生1和生2呈現(xiàn)出的兩種解法，哪一種解法更簡潔，你更喜歡用哪一種解法呢？

生（齊）：生2的解法更簡潔.

師：這里數(shù)列基本量的相對性決定了此處可以不失時機地運用整體換元的思想和方法……

評析：探尋解題的自然性和簡潔性，當(dāng)感受一般方法按部就班求解不易時，不少學(xué)生則會想到探尋解題的簡潔性. 本題解決的關(guān)鍵在于整體化思想的運用，只需將a ，a 這兩個量利用好相對性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則可大大地簡化運算過程，避免學(xué)生陷入思維在低水平重復(fù)的單一運作中，讓學(xué)生充分感受解法與步驟的簡潔性和自然性. 往往具有簡潔性這一特質(zhì)的解法對學(xué)生思維品質(zhì)的要求較高，因此回歸數(shù)學(xué)思想和方法來解題可以簡化數(shù)學(xué)運算，利于提升學(xué)生解題中的思維層次和思維強度，進(jìn)而完善思維品質(zhì).

回歸多種視角是善于解題的利器

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解題是不可或缺的一種訓(xùn)練方式，我們都深知數(shù)學(xué)題是解不完的，需要的是通過手邊題目中那些有助于解析后面題目的特征，以此想方設(shè)法揭示出隱藏于內(nèi)的一般模型，從而彰顯拓展數(shù)學(xué)問題的自然. 實踐證明，引導(dǎo)學(xué)生從不同的方向、以不同的方式、從不同的數(shù)學(xué)視角來觀察并解決一個問題，無論是成功還是失敗的嘗試，都可以使其對本質(zhì)的理解更深一步，從而易探求到最優(yōu)化的方式，對提高解題能力和啟迪發(fā)散思維有著重要的積極作用，最終可提高數(shù)學(xué)解題的收益率[2].

例3：已知y= （a，θ∈R），則對于任意a和θ，y的最大值和最小值之和為________.

本題為上一課結(jié)束時教師留下的思維題，課后學(xué)生進(jìn)行了深入探究，并有了一定的認(rèn)識.

師：剛才看了大家的習(xí)題完成情況，非常好！下面大家一起來看看以下兩種解法（PPT演示）：

解法1：據(jù)題意，可得y（a2+2acosθ+2）=a2+2asinθ+2，將等式整理為關(guān)于a的方程，則有（y-1）a2+2（ycosθ-sinθ）a+2y-2=0. 因為關(guān)于a的方程有解，所以Δ=4（ycosθ-sinθ）2-4（y-1）（2y-2）≥0，化簡后可得4（y-1）2-（y2+1）≤（y2-1）cos2θ-2ysin2θ. 又因為上式的右邊≤ ，所以4（y-1）2-（y2+1）≤ ，化簡后可得y2-4y+1≤0，所以y =2+ ，y =2- .

解法2：y= 表示的是點M（ + ， + 到點N（-sinθ，-cosθ）連線的斜率. 又因為點M在y=x（x≥ ）所表示的兩條射線上，點N在單位圓上，再借助圖形，探求臨界值，得出y =2+ ，y =2- .

師：以上兩種解法都十分精妙，其他同學(xué)有沒有明白呢？

生（齊）：明白.

師（追問）：那么，還有哪些方法可以求雙變量函數(shù)的最值？

……

評析：上例是一節(jié)主題習(xí)題講評課的導(dǎo)入部分，教師選擇此例導(dǎo)入用意深刻，一是及時反饋學(xué)生的作業(yè)情況，并激勵學(xué)生的積極思維和點滴進(jìn)步;二是指引學(xué)生找尋到以上兩種優(yōu)化解法的共同點，適時延伸、拓展，以引起學(xué)生對雙變量函數(shù)最值問題的解決方法的探究和討論，從而自然生成解題路徑[3].

總之，高三習(xí)題講評課需要追求解題的根本方法——回歸概念的本質(zhì)，回歸數(shù)學(xué)思想，回歸多種視角，從而深挖數(shù)學(xué)精髓，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦，感悟數(shù)學(xué)價值，學(xué)會數(shù)學(xué)思維，使高三習(xí)題講評課真正走上高效之路[4].

參考文獻(xiàn)：

[1]? 楊德焱. 一道錯誤習(xí)題的錯因探究及命題思考[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2011（17）.

[2]? 齊欣. 明確轉(zhuǎn)化方向，探求一題多解——一道中考題多種解法探究與思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（11）.[3]? 雍明亮. 評卷得法，講之有效——談高三數(shù)學(xué)試卷講評課策略[J]. 課程教育研究，2017（04）.

[4]? 李寬珍. “評”“講”并舉 有效提高——也談高三試卷講評課的幾點有效策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（21）.