自然、有序的平面及其基本性質的教學研究

何正能 李興華

[摘? 要] 教師告知式教學方式增加了學生學習平面的難度. 創(chuàng)設情境，使學生發(fā)現(xiàn)、提出問題等，明晰其意象，體會其基礎性，了解公理（推理）之間的邏輯關系. 搞清知識的邏輯等級性是構建自然、有序的平面教學策略.

[關鍵詞] 自然;有序;平面;基本性質;教學研究

引言

高一學生學習平面及其基本性質時，他們感到無趣和困難. 這一司空見慣的圖形有什么研究價值，即存在學習動力問題. 學生學習平面的類比知識是直線的知識，但對直線的“直”的性質缺乏足夠的認識. 因此，影響平面定義中的“平”的感知，即知識基礎存在缺陷;生活中已經積累了一些關于平面的生活類、圖形類的初步知識，如平靜的水面、長方體的表面，而這些知識并沒有進行真正的數(shù)學化，即經驗成為學習平面內容的障礙，影響平面的無限延展性的感悟，等等. 這些是造成學生學習平面困難的原因之一. 當然，學生學習平面相關內容感到困難的主要原因是教師教學不當，采用告知式的教學方式，忽視了知識之間的邏輯性的揭示，造成學生感到本節(jié)內容多，沒有頭緒.

傳統(tǒng)教學設計及缺陷

教科書給出的素材“廣闊的草原、平靜的湖面”給了我們平面的形象，和點、線一樣，平面也是從現(xiàn)實世界中抽象出來的幾何概念.平面通常用平行四邊形來表示，即當平面水平放置的時候，一般用水平放置的平行四邊形作為平面的直觀圖[1].

傳統(tǒng)教學根據上面的素材，實例引進，告知平面的含義及表示，電腦展示圖形. 這一教學，學生并沒有實現(xiàn)對實例的抽象，可以預測：學生學到的平面概念與理論上的平面概念是有很大差距的，導致學生后來難以畫出符合條件的截面.對于公理及推論的教學讓學生解讀公理內容，然后用圖形語言、符號語言表示，其結果是學生把學習它們的重點放在了記憶內容上，不能厘清知識之間的邏輯關系，感到知識雜亂無章，學習負擔重. 因此，反思傳統(tǒng)教學，對平面概念的教學必須進行補充，展示平面概念對公理及推論的作用，使學生對平面的概念有一個清晰的意象，為認識公理的合理性和邏輯性打下基礎.

教學研究

1. 平面概念教學內容補充

平靜的水面、光滑的桌面和長方體的表面都給人以平面的形象，但不能形成平面的無限延展的意象，而對平面的“平”的認識也局限于實物的“平”.將直線作為平面學習的類比模型，得出平面的含義，要求學生具有很強的空間想象和直覺思維能力.因為從直線“一維”到平面“二維”，需要抽象出對象的數(shù)學本質，這對高一學生來說思維跨度太大，能力要求過高，所以教學方式只能是告知式. “學生得到的只是靜態(tài)的、僵化的、沒有遷移能力和發(fā)展?jié)摿Φ闹R”.[2]為此教學中除了介紹上面的關于平面的生活類、圖形類知識外，再動態(tài)展示平面的形成，因為運動的物體更能激發(fā)學生的注意和認知，有助于了解平面的“平”，揭示平面的構成要素，獲得可發(fā)展的知識.

學生討論：線由什么組成？平面呢？點沿一個方向運動成線，直線如何運動形成平面？讓學生交流，如何運動直線形成平面？借助數(shù)學家傅里葉對平面的定義“平面由經過直線上一點且與直線垂直的所有直線構成”，可以使教學進一步深化，用幾何畫板展示圖1.

“直線a在轉動過程中始終與直線l垂直，又由于直線是‘直的，所以平面應該是‘平的;直線是無限延伸的，所以平面是無限延展的.”[2]對數(shù)學史的應用，為課堂教學提供了素材，也為突破難點提供了幫助. 教學沿著數(shù)學家傅里葉探究平面的概念的足跡，學生的形象思維能力和抽象思維能力，直觀想象能力和合情推理能力得到了培育，也使數(shù)學核心素養(yǎng)得到落實.

盡管上面傅里葉的平面定義有助學生理解平面的本質，但定義遠離學生的認知：為什么過一點與一條直線垂直的所有直線在一個平面內？這對學生的直觀想象是挑戰(zhàn). 因此讓學生想象利用水平放置的相交直線，如何構造平面？

多媒體展示：平移直線m，使得直線m和始終直線n相交，形成一個平面，更有利于學生直觀感受平面的“平”和無限延展性，而且是更為精致的感受，也為平面的圖形表示奠定了基礎，并且認識到所畫的平行四邊形表示的平面是局部的.

學生的學習必有歷史的再現(xiàn)，數(shù)學史給人以教學智慧，對歷史進行必要的改造，使之更符合學生的認知，需要創(chuàng)新使用數(shù)學史，使教學進一步深化.

2. 平面基本性質的教學研究

為了揭示平面概念對公理及推論的奠基作用，教學從平面的概念出發(fā)，引導學生發(fā)現(xiàn)和研究公理1至公理3及推論，教學自然、有序，思路清晰.充分發(fā)揮漢語這一載體對思維的引領作用，使得符號語言呼之欲出，避免告知學生圖形語言和符號語言，使學生感到不自然.

（1）對公理1的傳統(tǒng)教學改進.

既然認為平面是由直線運動而成的，那么直線和平面的位置關系是什么？學生歸納直線和平面的位置關系：線在平面內和不在平面內并用符號表示，很容易理解符號表示，因為平面是由直線構成的. 那么如何判定直線在平面內呢？學生能夠發(fā)現(xiàn)公理1的條件和結論.這里學生的思維省略了直線的“直”和平面的“平”性質的考量. 為什么直線上有兩點在平面內，就可以推導出直線上所有點在平面內？

學生對公理的內容進行深入思考，以漢語語言為思維媒介，特別是，對公理1的條件和結論的辨認，圖形語言、符號語言表示公理1就水到渠成了. 形成三種語言之間的一一對應，體會數(shù)學語言的簡潔. 而真正確認公理1的關鍵是平面“平”的性質. 如圖3，在公理1的符號表達“A∈αB∈α？圯AB？奐α”的前面增加“由于α是平面”，更顯推理的邏輯性.進一步，如圖4，如何說明直線l在平面α內？體現(xiàn)認知的漸進性和嚴密的邏輯性.

（2）對公理2教學的深入研究.

公理2是本節(jié)課最重要的內容，它是畫出兩個平面的交線和證明多點共線問題的理論基礎. 傳統(tǒng)教學教師示范有余，學生思考不足.沒有引導學生根據實例概括出公理2，缺乏對其表達的合理性和精確性的思考過程，導致很多學生不能建立公理2的準確意象，作出的相交平面缺乏立體感等缺憾. 因此，必須引導學生參與公理探究，利用平面概念發(fā)現(xiàn)、理解公理. 糾正學生對相交平面錯誤的理解，增強公理的理解程度，讓學生畫圖，鞏固公理.

為什么強調兩個平面有一個公共點，而不是說它們有無數(shù)個公共點？從數(shù)學對象判定的可操作性，當然期望無限化為有限，但條件必須是等價的，而兩個平面有一個公共點和有無數(shù)個公共點是等價的. 另外，從學生學習來看，給他們的探究提供素材，激發(fā)學生思考.探討是否就是一個公共點，如何說明還有其他公共點？

教學中，教師用手頭30°角的三角板放置在桌面內，告知學生平面無限延展，所以兩個平面有無數(shù)個公共點，其組成一條直線，這個推理是不嚴密的. 事實上，是平面的“平”保證公共點組成一條直線. 因此，教師讓學生討論下列問題：三角板ABC表示一個平面ABC，其與桌面表示的平面α有一個公共點A，那么平面α和平面ABC是否就只有一個公共點？學生很容易想到有無數(shù)個公共點，但對公共點的屬性是模糊的. 引導學生用反證法說明，如果公共點組成的圖形不是一條直線，那么與平面的“平”存在矛盾，因此公共點組成的圖形是一條直線.

H.Wu指出，“數(shù)學并不停止于實驗，而必須把它與理性的解釋聯(lián)系起來：在這些看上去并無聯(lián)系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某一統(tǒng)一的數(shù)學結構？”這就要求教師在引導學生觀察實驗的同時，也要進行必要的理性思考，不應滿足實驗所得的結果，而應該把它作為認識更為廣泛的數(shù)學結構的基礎.

教學中有學生給平面相交下的定義為：“兩個平面把空間分成四個部分，這兩個平面相交.”處理方式是肯定學生思維的創(chuàng)造性，讓學生發(fā)現(xiàn)其不合理的成分.

引導學生思考，研究直線和平面的位置關系時，用點來定義它們的位置，因此平面與平面的位置關系也可以采用點來刻畫. 讓學生知道用已知的概念定義未知的概念是必要的，定義中的“空間、部分”是一個未知的概念，不能用它來定義平面相交;只能用點、線和面來定義兩個平面的位置. 由此學生通過糾錯體會到數(shù)學概念構建的邏輯方法，更新了觀念.

對兩個平面相交的畫法教學，讓學生想象圖形構成的要素：兩個平面，其特點是有且只有一條公共直線. 學生思考的是：先畫一條直線，然后畫過直線的兩個平面;還是先畫一個平面，然后在平面內作一條直線，再畫一個經過該直線的平面？想到平面用平行四邊形表示，畫出兩個平面相交是容易的. 例如，先畫一條直線a，然后作出有一組對邊與直線a平行的兩個平行四邊形，調整圖形，直到大多數(shù)學生畫出自己認為立體感好的圖形為止.展示學生的圖形，讓其辨別、感受，吸取他人的長處，這是培養(yǎng)學生直觀想象和數(shù)學抽象的途徑. 給學生畫圖的機會，使他們愛畫圖，對自己畫圖有信心. 少展示電腦畫圖，因為電腦展示圖形標準、漂亮，容易使學生產生要求完美而達不到的自卑，這可能是日本中小學數(shù)學教師很少使用多媒體快速地顯示實踐過程的原因吧[3].

（3）公理3、推論的邏輯性及教學研究.

它們涉及確定平面的條件問題.為了揭示這一部分內容嚴密的邏輯關系，展示自然、有序的教學內容，從整體到局部，采用這樣的過渡性語言：剛才兩個公理揭示了已知平面的情況下，來研究平面與平面及相關要素之間的關系，那么如何找到一個平面？

學生找到確立平面的條件：畫兩條相交直線，畫兩條平行直線，畫直線和直線外一點，畫不共線的三點.

這四個條件的關系是什么？它們是等價關系.這里只有兩條平行直線與其他三個條件的等價關系不明顯.讓學生選擇，把哪一個作為已知條件. 學生經過討論，把不共線的三點作為公理，其他作為推論，因為條件簡單，當然要與教科書吻合.

由于公理1教學中，學生對“有且只有”的含義認知，因此理解“經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面”是容易的.

初中的三角形是在平面內研究的，而不在同一直線上的三點與一個三角形的三個頂點一一對應，由此得出：經過不在同一直線上的三點，有一個平面. 那么是唯一一個平面嗎？通過幾何畫板作圖，如圖2，說明是唯一一個平面.

下面可以讓學生判定“如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合”這一論斷是否正確. 體現(xiàn)數(shù)學語言的精確性，也體現(xiàn)立體幾何公理與代數(shù)中相等關系的對應.

公理是數(shù)學家規(guī)定的、公認的規(guī)律，但學生不是數(shù)學家，他們對公理的學習，必然重復前人走過的彎路，體現(xiàn)公理形成的歷史路徑. 由于學生的學習主要是繼承行為，沒有時間重復前人的研究，因此，公理教學也要講究“道理”，避免重犯前人的錯誤而浪費時間. 讓學生認識公理的合理性和必要性，培養(yǎng)邏輯思維的習慣，這是立體幾何起始課的重要教學目標. 學生由前面學習奠定的心理基礎和學習經驗，推論教學便水到渠成.

（4）公理1、公理2和公理3邏輯關系的分析.

公理3是基礎.只有對確立平面的條件有了深刻的認識，研究公理1、公理2才有理論基礎. 因此，教材的公理呈現(xiàn)順序改為“公理3—公理2—公理1”[4]，更顯邏輯性、科學性.

自然、有序的教學構造策略深刻理解教材的知識體系，搞清楚本源知識和再生知識之間的聯(lián)系，強調本源知識對再生知識的理論奠基作用，教學中要努力向學生展示知識的邏輯鏈條，使每個相關的知識都被構造在這個鏈條的相應位置，形成知識整體的“序”，從而不至于忘記其中的部分.

強調知識邏輯的等級性：一級邏輯等級、二級邏輯等級和三級邏輯等級. 一級邏輯等級指元認知數(shù)學知識的邏輯，教科書展示知識研究邏輯. 如幾何知識，實例抽象出幾何研究對象、定義幾何對象、表示幾何對象、研究構成幾何對象及其相關要素之間的關系，在實際中檢驗和完善對幾何對象的理解，這也是科學研究的步驟. 二級邏輯等級指幾何概念、幾何性質、解決問題三者之間的關系，這一等級往往更體現(xiàn)知識的邏輯性，課堂上要將重點呈現(xiàn)給學生. 三級邏輯等級指具體的命題、公理、定理等的條件和結論之間的邏輯關系，體現(xiàn)清晰的邏輯性，是思維的載體. 教學中教師要從一級邏輯等級出發(fā)，幫助學生了解研究科學的一般思路，自主發(fā)現(xiàn)具體研究內容及邏輯關系，善于用符號表達內容的條件和結論之間的關系，從而學生可以在高觀點下理解教材，把握構建知識的邏輯思維，如此課堂教學將顯得自然、有序，學生學到的知識是靈動的、包容的、發(fā)展的知識，學習不會感到困難、無趣.

參考文獻：

[1]? 單墫. 普通高中課程標準實驗教科書（必修2）[M]. 南京，江蘇鳳凰教育出版社，2007.

[2]? 胡浩. “平面”教學設計的理性突圍——兼談原始概念的教學[J].? 數(shù)學通報，2019，8（1）.

[3]? 代欽. 2021年日本《初中數(shù)學學習指導要領》評價[J]. 數(shù)學教育學報，2018，27（4）.

[4]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 人民教育出版社，北京.