整體思想在高中數(shù)學解題中的應用探討

李宣怡 指導老師：彭娟

摘要：數(shù)學思想方法是我們通過數(shù)學知識內(nèi)容學習與歸納所形成的思想類、方法類的認識，是對數(shù)學的理性的、規(guī)律性的認識，也是數(shù)學問題解決的重要策略。整體思想是我們高中生需要認真學習、全面掌握，從而在數(shù)學問題的研究與解決過程中，能夠?qū)⒁恍┛瓷先ケ舜霜毩?、毫不相關，但實際上密切關聯(lián)的條件和量作為一個整體進行全面考慮、綜合考量，這樣不僅能夠從固定模式的束縛中擺脫和解放出來，讓數(shù)學問題由陌生變得熟悉、由復雜變得簡化，還能夠?qū)σ恍┏Ｒ?guī)方法難以解決的題目進行解決。

關鍵詞：整體思想;高中數(shù)學;解題應用

一、整體思想的基本內(nèi)涵

整體思想主要指的是在問題研究中運用整體的視角和整體的思維，將問題之中的各個組成部分進行細化成不同的整體，以此實現(xiàn)數(shù)學解題效率的提升。高中數(shù)學解題中最基本、最常用的數(shù)學思想就是整體思想，也是問題研究的整體結(jié)構(gòu)和整體形式，借助整體思想就能夠?qū)忸}的思維、條件和方法進行調(diào)節(jié)、轉(zhuǎn)化和優(yōu)化，讓解題過程變得更加簡單、簡便，這也是我們解題速度提升、解題效率提高的重要手段和關鍵途徑。高中數(shù)學解題中整體思想的運用過程中應當堅持對問題的整體特征進行分析，將一些式子和圖形都看成是統(tǒng)一的整體，同時對不同整體之間的關系進行研究，進而有意識、有計劃、有目的、有的放矢地進行高中數(shù)學問題的整體處理。

二、高中數(shù)學解題中常用的整體思想

（一）整體代入的數(shù)學思想

高中數(shù)學解題過程中，一些題目如果對其中給定的已知條件進行孤立地利用，有時雖然也能夠?qū)崿F(xiàn)問題的解決，但往往會有著復雜的過程和運算，而如果我們從整體上對其中的已知條件進行分析和把握，借助直接代入或者變形代入等方法進行問題的求解，那么問題的求解就會變得簡單、容易，解題的思路和方法也會更加明確。

（二）整體換元的數(shù)學思想

高中數(shù)學解題過程中一些數(shù)學問題看上去有著繁雜的計算和復雜的結(jié)構(gòu)，直接求解幾乎是不可能的，但如果我們深入分析、合理加工，再巧妙地借助整體換元就能夠推動問題的整體轉(zhuǎn)化，問題也會變得更加簡單、容易，這個過程中需要對新元的性質(zhì)進行深入研究，以此推動問題的解決。

（三）整體構(gòu)造的數(shù)學思想

整體構(gòu)造主要指的是要以題目中給定的已知條件和需要求解的條件為依據(jù)，對相應的式子進行整體構(gòu)造，再有效聯(lián)合和整合兩個式子從而進行問題的研究和解決，當然問題也可以直接地進行求解，在解題過程中有時面對問題我們會感覺無從下手，但借助整體構(gòu)造的實施就能夠?qū)崿F(xiàn)答案的準確求解。比如：已知有這樣一個密碼：3BCDRST=4RSTBCD，密碼之中的每一個字母均表示十進制數(shù)字，請將這一密碼以數(shù)字的形式破譯。這一問題總共涉及到的未知數(shù)共有6個，如果考慮依次進行每一個未知數(shù)的求解，那么在一個算式之中幾乎是不可能完成的。而我們通過認真的審題和細致的思考就能夠發(fā)現(xiàn)BCDRST同RSTBCD之間的相互輪轉(zhuǎn)關系，基于此，我們可以將其中的BCD、RST分別看成是一個整體，之后可以設定X=BCD、Y=RST，那通過列算式我們就可以得出3（1000a+b）=4（1000b+a），由此可以得出428a=571b，由于a、b均代表了三位數(shù)，那么由此可以進行密碼的破譯，即密碼為4428571。

（四）整體補形的數(shù)學思想

在高中數(shù)學問題中的非特殊圖形、非規(guī)則圖形的求解過程中，我們可以嘗試和探索進行整體補形數(shù)學思想的應用，在完成補形之后，就能夠?qū)⒃械膱D形轉(zhuǎn)化為完整的、特殊的圖形，一些題目已知條件僅能夠進行一個局部圖形的提供，這樣往往會對學生的思維產(chǎn)生干擾，而此時如果將全部的圖形補全，再從整體上對圖形進行分析和研究，就能夠?qū)栴}的本質(zhì)突出出來，實現(xiàn)簡潔證法和解法的尋找與得出。比如，針對題目：球面上總共有四個點，即A、B、C、O，這四個點之中OA、OB、OC三條線段兩兩垂直，而且OA=OB=OC，那么球的半徑是多少？在這一題目的求解中就能夠借助整體補形的方式將整個球體補充完全，以此實現(xiàn)球半徑的準確求解。

（五）整體聯(lián)想的數(shù)學方法

整體聯(lián)想主要指的是將已知的各個數(shù)學元素充分放到一起，對數(shù)學中的某一公式、某一定理、某一性質(zhì)進行充分聯(lián)想和想象，這樣在高中數(shù)學解題過程之中，就能夠借助聯(lián)想的發(fā)揮、有效的構(gòu)造，實現(xiàn)問題由復雜向簡單的轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)結(jié)論的快速得出。比如，立體幾何是高中數(shù)學的難點，解題過程之中要先對點與點、線與線的關系進行處理，之后再對點與線、線與面、點與面、面與面的關系進行處理，計算過程中要從角、距離兩條主線進行思考和把握，循序漸進、層次遞進，從而從這整體上對點、線、面、角的知識形成理解和把握。

三、結(jié)語

綜上，高中數(shù)學解題中要強化對整體思想的認識和把握，對題目的特征進行認真觀察，將解題重點、焦點和著力點放到問題的整體結(jié)構(gòu)上，借助充分的挖掘、提煉逐步延伸和拓展到問題的本質(zhì)，再通過對整體結(jié)構(gòu)、整體形式的思考和處理，實現(xiàn)問題的快速解決、有效解決。

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