圖形的旋轉(zhuǎn)變換在初中平面幾何中的運(yùn)用探討

劉志敏

【摘要】圖形變換在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中經(jīng)常遇到，在一些特殊圖形變換——圖形旋轉(zhuǎn)類的試題往往是很多學(xué)生頭疼的地方。文章基于幾種圖形旋轉(zhuǎn)試題的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探討如何在這幾類試題中尋找解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，在解題分析中梳理邏輯思路，從而有效提高這類問(wèn)題的教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);平面幾何;圖形的旋轉(zhuǎn);教學(xué)探討

一般而言，初中幾何課程中的圖形變換涵蓋平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)，是對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)變化規(guī)則的論述，尤其圖形旋轉(zhuǎn)重中之重。在歷年的中考試題中，這類題目考查往往是重分，常受到命題者的青睞，考查的知識(shí)點(diǎn)又多又雜。因?yàn)檫@類試題涉及三角形、四邊形、圓等初中數(shù)學(xué)幾何的重要圖形內(nèi)容，里面考查的知識(shí)點(diǎn)往往很復(fù)雜、綜合性、邏輯性很強(qiáng)。在初中畢業(yè)班考試中，這類試題是各類考試中常見(jiàn)試題之一。教師需要結(jié)合具體圖形需要尋找策略，只改變圖形位置這一特性，把分散的元素集中起來(lái)，充分利用題中各元素最終使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最終形成求解幾何題的依據(jù)、思維方向。文章就圖形旋轉(zhuǎn)法在以下幾種問(wèn)題中的應(yīng)用舉例說(shuō)明。

一、在求三角形角度問(wèn)題中的應(yīng)用

教師需要抓住題目要求，分析題目條件，選擇合適的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，從而構(gòu)造性的圖形，再將新的圖形與原來(lái)的條件對(duì)應(yīng)，從而找到問(wèn)題的破口。其實(shí)很多這類問(wèn)題都是如此，沒(méi)有找到突破口將不會(huì)解決問(wèn)題。下面一道三角形角度問(wèn)題而言，教師需要在試題中分析問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，即突破口才能迎刃而解。諸如，如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60。，AP=4，BP=3，CP=5，求∠APB的度數(shù)。

在閱讀題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生這樣分析題目：由于條件中的AP=4，BP=3，CP=5像是勾股數(shù)，但又比較分散，不在同一個(gè)三角形中無(wú)法有效利用，于是想到利用圖形的旋轉(zhuǎn)方式改變圖形位置但不改變形狀大小這一性質(zhì)，把分散的元素集中起來(lái)。在這道試題中，我們需要找到必要的關(guān)系量。因?yàn)榈冗叀鰽BC中有共頂點(diǎn)等線段AB和AC，所以在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP'位置，連接PP‘（如圖1-1）得到△APP'是等邊三角形，通過(guò)轉(zhuǎn)移把已知條件中的AP=4，BP=3，CP=5集中到了△PP'C中，再結(jié)合勾股定理逆定理得到∠PP'C=90。，又由∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60。+90。=150。。

二、在求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題中的應(yīng)用

梳理題目條件與要求，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，適當(dāng)將線段長(zhǎng)度問(wèn)題分散的條件集中在一起，對(duì)圖形合適旋轉(zhuǎn)即可。這類問(wèn)題在求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題方面，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將分散的條件進(jìn)行巧妙地集中。諸如，如圖2，在Rt△ACB中，CA=CB，點(diǎn)P為Rt△ACB內(nèi)一點(diǎn)。已知AP=10，BP=8，且∠CPB=135。，求CP的長(zhǎng)。

在閱讀題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生這樣分析題目：由于題中各元素條件比較分散，不將其集中起來(lái)，直接求CP的長(zhǎng)度不好完成求解任務(wù)，是否可以考慮將分散的元素集中起來(lái)？條件中有共頂點(diǎn)等線段CB和CA，于是以C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ACP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BCP位置，連接PP（如圖2-1）得到等腰直角△PCP并且把AP=10，BP=8，轉(zhuǎn)移到了中△BPP。由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到等腰直角△PCP中∠CPP=45。和∠BPP=90。，再根據(jù)勾股定理可以求得PP的長(zhǎng)度，于是在等腰直角△PCP中直角邊PC的長(zhǎng)度就迎刃而解了。

三、求線段的和差關(guān)系

在求解復(fù)雜幾何題時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生有效地進(jìn)行圖形變換，將分散的已知條件集中起來(lái)，構(gòu)成新的基本圖形，創(chuàng)造有利條件，綜合分析，破題解題。在關(guān)于線段和差問(wèn)題中，一般要看能否將圖形旋轉(zhuǎn)到某處，看看是否能共線，這樣就能將問(wèn)題得以解決。例如，如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別為BC、CD上動(dòng)點(diǎn)，且∠FAE=45。，請(qǐng)根據(jù)條件分析線段BE、DF、EF存在什么樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

在閱讀題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生這樣分析題目：線段BE、DF、EF的關(guān)系為DF+BE=EF。要證明兩條線段之和等于某線段，即可以考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”求解。不過(guò)，在這道題目中，顯然又難以實(shí)現(xiàn)這種做法，必然導(dǎo)致由于這題中條件不足截長(zhǎng)法不易證得。其實(shí)，題中條件正方形ABCD中含有共頂點(diǎn)等線段AB和AD，為此，不妨將以A點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，將Rt△ADF以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到Rt△ABF'位置（如圖3-1）。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠F'BE=180。，即點(diǎn)F'、B、E三點(diǎn)共線。接著，再證EF'=EF即可得證原問(wèn)題。

四、在求圖形面積問(wèn)題中的應(yīng)用

在涉及圖形面積上，顯然不是直接要求問(wèn)題最后圖形的面積，是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成同已知條件相符的特殊圖形，這就是一種轉(zhuǎn)換思想。當(dāng)然，部分題目還需要兩個(gè)旋轉(zhuǎn)圖形，才能使問(wèn)題得以解決。例如，如圖4，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，由點(diǎn)P到其中三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3，請(qǐng)問(wèn)正方形ABCD的面積是多少。

在閱讀題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生這樣分析題目：此題已知為PA=1，PB=2，PC=3，要求正方形ABCD的面積，剛看真的有點(diǎn)風(fēng)馬牛不相及無(wú)從下手，但考慮到正方形中不乏有共頂點(diǎn)等線段的條件，肯定要想著一些等量替換的做法。不妨將△ABP點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADP'，將△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCP''，再分別連接PP'，PP''得到等腰直角△APP'和△CPP'（如圖4-1），由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得∠P'DP''=180。，即P'、D、P''三點(diǎn)共線。通過(guò)計(jì)算PP'、PP''、P'P''三邊長(zhǎng)并根據(jù)勾股定理逆定理可以得到△PP'P''也是直角三角形。從而可以得到正方形ABCD的面積等于Rt△AP'P''、Rt△PP'P''，Rt△PCP''的面積之和。

另外，針對(duì)一些復(fù)雜圖形，即兩種或兩種以上圖形的情況，要懂得圖形與圖形之間的關(guān)系，在特殊關(guān)系中尋求問(wèn)題的突破口。諸如，圓與三角形、圓與四邊形等都需要特殊考慮，因?yàn)閮煞N圖形結(jié)合的考查的知識(shí)點(diǎn)更多，需要的綜合性思維更加強(qiáng)。例如，如圖5，等邊△ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是劣弧BC上一點(diǎn)，PA=2，求四邊形ABPC的面積。

在閱讀題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生這樣分析題目：題中條件只給出一條線段長(zhǎng)度，要求四邊形ABPC的的面積，直接求很難找到突破口。由于題中條件給的是等邊三角形，存在等線段共頂點(diǎn)的線段，于是可以嘗試用旋轉(zhuǎn)法解題?，F(xiàn)將△APC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°讓AC=AB與重合（如圖5-1），得到△AP'B。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得∠P'BP=180?！螾'，即點(diǎn)P'，B，P三點(diǎn)共線，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將求四邊形ABPC的面積轉(zhuǎn)化為求△APP'的面積。而△APP'是等邊三角形且邊長(zhǎng)PA=2，所以△APP'的面積不難求得。

綜上所述， 很多時(shí)候，學(xué)生會(huì)感覺(jué)幾何證明題存在困難，要么是難以綜合現(xiàn)有條件尋找解題方法，要么是輔助線添加存在問(wèn)題……其主要根源在于學(xué)生對(duì)圖形的性質(zhì)、判定不夠，因而導(dǎo)致對(duì)幾何知識(shí)的恐懼。文章通過(guò)以上幾種題型分析可以看出， 旋轉(zhuǎn)變換對(duì)解決平面幾何中的某些問(wèn)題舉足輕重， 特別是在解決有關(guān)等邊三角形、等腰直角三角形、正方形、圓形等問(wèn)題時(shí)， 更是經(jīng)常用到它。當(dāng)然，教師在平時(shí)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生做題時(shí)的思維退出課本要求，要懂得幾何知識(shí)的學(xué)以致用，以知為謀，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能，破題解題。只要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多加研究， 就可以讓平面幾何中的某些問(wèn)題迎刃而解， 起到事半功倍的作用。

參考文獻(xiàn)：

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