“加法交換律”的種子特質(zhì)在哪里

編者按：

深度學(xué)習(xí)是人類學(xué)習(xí)的本來狀態(tài)。但是，當(dāng)教學(xué)簡化為記住知識以用于考試時，知識學(xué)習(xí)就成為與生活相脫離的空轉(zhuǎn)活動，思考力與價值觀也漸漸從我們的課堂中抽離出去。種子課，是找回深度學(xué)習(xí)樣式的有效路徑。種子課沒有套路，沒有程序，但有生動的課例。老師們可以在課例的討論中漸漸掌握種子課的精髓，并將其自如地實現(xiàn)于自己的教學(xué)實踐中。

我們有幸邀請到長期從事教學(xué)論研究的北京師范大學(xué)郭華教授和小學(xué)教學(xué)一線資深數(shù)學(xué)老師俞正強校長，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)的幾個典型課例，就種子課如何實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)展開系列筆談。希望這組“深談”，能夠給關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的老師帶來啟發(fā)，或帶來更多的討論。

運算律，即簡便運算的學(xué)習(xí)，是小學(xué)數(shù)學(xué)計算學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容。簡便計算，是讓計算簡單方便的竅門。照理說，小學(xué)生應(yīng)該很喜歡才對。可事實上并非如此，許多學(xué)生其實挺害怕簡便計算的，除非題目中要求能簡便的必須簡便，否則，許多學(xué)生寧愿不用簡便計算，舍簡求繁。對此，許多一線的小學(xué)教師都有深刻的體會，這也是一線教師感到困惑的地方。認(rèn)識以及破解這個問題，其根在于我們的教學(xué)，今做一簡單分析。

一、舉例：“加法交換律”通常是這樣教的

不同的教材雖然有些差別，但加法交換律的教學(xué)過程基本是一致的，大致分為以下幾個環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)一：發(fā)現(xiàn)交換位置和不變

1.觀察：7+8=15

2.觀察：8+7=15

3.發(fā)現(xiàn)：7+8=8+7

結(jié)論：

兩個加數(shù)交換位置，和不變。

環(huán)節(jié)二：概括a+b=b+a

1.舉例：5+6=6+5

2.舉例：10+8=8+10

......

結(jié)論：

a+b=b+a

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用a+b=b+a

1.例題

2.練習(xí)

環(huán)節(jié)四：小結(jié)

整節(jié)課沒什么困難，加法交換律的發(fā)現(xiàn)、概括、應(yīng)用均可以在較短時間內(nèi)完成。好像也沒什么樂趣，因為對學(xué)生而言，得到7+8=8+7的結(jié)論是一件不需要觀察、不需要思考的事情，是一件理所當(dāng)然的事情，這還需要發(fā)現(xiàn)嗎？

但學(xué)生是不會把這種意識深處的感受表達(dá)出來的。他們依然裝作很有發(fā)現(xiàn)的樣子，應(yīng)付著我們的老師。因為這一“加法交換律的發(fā)現(xiàn)”有個根本的缺陷：學(xué)生不知道這個發(fā)現(xiàn)的意義是什么。發(fā)現(xiàn)過程的無聊帶來后面應(yīng)用規(guī)律的無聊。

為此，我們需要思考：加法交換律應(yīng)該怎么教？

二、思考：“加法交換律”應(yīng)該怎么教

計算中有算理、算法與算律。

1. 算理與算法

算理主要解決為什么可以得到這個計算結(jié)果的問題。算法是對算理熟能生巧后的概括：怎么得到這個結(jié)果。

比如：+

算理是1個加2個等于3個，寫作。

算法是分母不變，分子相加。

所以簡單地說，算理解決“對”的問題，算法解決“快”的問題。

2. 算法與算律

算法是怎么可以得到這個結(jié)果。算律是怎么可以比較快地得到這個結(jié)果。

算法與算律放在一起，算法解決“對”的問題，算律解決“快”的問題。

比如：15+98+75

算法解決怎么得到這個結(jié)果：連加，從左到右依次計算。

算律解決怎么比較快地得到這個結(jié)果：15和75可以湊整，先加15和75。

須知，算律是對算法的一次叛逆。

再如：98+15+75

算法同樣是從左到右依次計算。

算律是后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加。

算律依然是對算法的一次叛逆。

學(xué)生是先學(xué)算法，再學(xué)算律的。對學(xué)生而言，算法是一種大如天的東西，是十分神圣的東西，是與書本和老師權(quán)威相連的，怎么可以隨便變來變?nèi)ツ兀?/p>

因此，算律的學(xué)習(xí)，必須向著學(xué)生的這個心理痛點而行，這個痛點正是算律的意義所在。

三、實踐：“加法交換律”應(yīng)該這樣教

環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)

材料：計算12+25+76 41+15+17

1.學(xué)生自主完成

2.反饋討論

結(jié)論：

連加：從左到右依次計算。

環(huán)節(jié)二：新授

材料：計算45+78+55 77+66+13

1.學(xué)生自主完成

2.反饋

3.討論

45+78+5545+78+55

=123+55=45+55+78

=178=100+78

=178

77+66+1377+66+13

=143+13=77+13+66

=156=90+66

=156

討論：書上說連加要從左到右依次計算，可以這樣換位置嗎？

結(jié)論：

連加是將三個數(shù)合并成一個數(shù)的運算，怎么合并最后結(jié)果都是合并，而且合并可以湊整，讓計算又對又快。

環(huán)節(jié)三：練習(xí)

材料：計算72+64+28? 84+77+16

1.學(xué)生自主完成

2.反饋討論

結(jié)論：

交換位置有兩個條件：①連加;②能湊整。

環(huán)節(jié)四：小結(jié)

小結(jié)：連加中，兩個加數(shù)交換位置，和不變。

a+b+c=a+c+b

【分析】這一教學(xué)過程，沒有單獨把加法交換律作為一個規(guī)律讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”，而是放在一個連加的運算環(huán)境中，這樣有兩個好處：

一是學(xué)生充分體會了交換位置是為了算得快，這是誘惑交換的力量。

二是學(xué)生充分體驗了在連加中改變運算順序的糾結(jié)困難，這是阻礙交換的力量。

誘惑交換的力量與阻礙交換的力量交織組成學(xué)生們學(xué)習(xí)這節(jié)課的樂趣，也是這節(jié)課作為種子課的價值所在。

解決這兩種力量糾結(jié)的方法是回到運算意義中。什么是加法？加法是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。同樣，連加是把三個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。連加重要的是把三個數(shù)合并在一起，至于合并的先后順序并不重要，只要不影響三個數(shù)的合并就可以。

這也許是學(xué)生們?nèi)松械谝淮误w驗“變法”的過程，在變法的過程中，得到一個加法交換律。我們經(jīng)常講教書育人，這節(jié)課的育人的點正在這里。

四、討論：為什么“加法交換律”是種子課

小學(xué)階段的運算律有：加法交換律、加法結(jié)合律、減法性質(zhì)、除法性質(zhì)、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

在這些運算律中，加法交換律這節(jié)課是具有“牽一發(fā)動全身”的功能的：

加法交換律學(xué)好了，加法結(jié)合律基本就不用教了，因為理是同一個。

加法交換律與結(jié)合律學(xué)會了，乘法交換律與結(jié)合律順手為之即可。

此外，有減法交換律嗎？有減法結(jié)合律嗎？

75-16-15=75-15-16，這應(yīng)該就是減法交換律了。

126-75-25=126-（75+25），這應(yīng)該就是減法結(jié)合律了。

但書上不叫減法結(jié)合律，叫減法性質(zhì)。

最后，有除法交換律嗎？有除法結(jié)合律嗎？自然是有的。在連除算式中可以有除法交換律。連除中的除法結(jié)合律，也不叫除法結(jié)合律，叫除法性質(zhì)。

加法交換律如同多米諾骨牌的第一張牌，這張牌一倒下，后面五張牌便都倒下了，只剩下乘法分配律。乘法分配律怎么講？我在《種子課2.0》中已經(jīng)詳細(xì)說明了，這里不再展開。

“加法交換律”這節(jié)課能否起到多米諾骨牌中第一張牌的效用，取決于我們是否真正上到了它的根。它的根在于“算律”兩個字。

切記：算律不是規(guī)律。

（作者系浙江省金華師范學(xué)校附屬小學(xué)校長）

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