基于反步法的SCARA機(jī)器人軌跡跟蹤控制

趙娜，呂成興

(1.齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 山東省海洋儀器儀表研究所 山東省海洋環(huán)境監(jiān)測(cè)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 國(guó)家海洋監(jiān)測(cè)設(shè)備工程技術(shù)研究中心，山東 青島 266033；2. 青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院， 山東 青島 266000)

選擇順應(yīng)性裝配機(jī)器手臂(selective compliance assembly robot arm，SCARA)機(jī)器人是典型的機(jī)械臂系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖 1所示。由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，目前已廣泛應(yīng)用于組裝、焊接、加工等行業(yè)[1-5]。同時(shí)，這些領(lǐng)域?qū)τ赟CARA機(jī)器人的運(yùn)行速度和軌跡跟蹤精度也提出了更高的要求。因此，研究SCARA機(jī)器人的軌跡跟蹤問題在理論和實(shí)踐中都具有極其重要的意義。

圖1 SCARA機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of SCARA robot

由于機(jī)械臂系統(tǒng)是高度非線性的系統(tǒng)，因此線性控制的方法難以獲取良好的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。滑?？刂频幕Ｃ娌皇鼙豢貙?duì)象的參數(shù)不確定性和外部干擾的影響，因此經(jīng)常在機(jī)械臂的控制中使用，然而滑模控制容易引入顫振現(xiàn)象[6-7]。模糊控制不需要建立精確的數(shù)學(xué)模型，但是其穩(wěn)態(tài)性能并不理想[8]。反步設(shè)計(jì)方法對(duì)于非線性系統(tǒng)、尤其是帶有不確定性的非線性系統(tǒng)具有較強(qiáng)的處理能力。Nikdel等[9]通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)反步控制器來提高機(jī)械臂的軌跡跟蹤性能，控制器在模型非線性和參數(shù)不確定性的情況下保證了系統(tǒng)穩(wěn)定性以及良好的跟蹤性能。反步法相對(duì)于其他的漸近收斂算法，具有收斂速度快、控制精度高和抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。目前SCARA機(jī)器人系統(tǒng)的時(shí)變軌跡跟蹤問題依然存在控制精度不足、抗干擾能力較差等缺點(diǎn)。針對(duì)SCARA機(jī)器人系統(tǒng)時(shí)變軌跡跟蹤的控制精度問題，本文提出了一種新型的反步法軌跡跟蹤控制器，該控制器具有優(yōu)良的動(dòng)態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能，且能夠快速消除誤差。

1 機(jī)器人模型

二自由度機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程表示為：[10]

(1)

其中q∈2為機(jī)器人關(guān)節(jié)的角位移向量，2為機(jī)器人關(guān)節(jié)的角速度向量，2為機(jī)器人關(guān)節(jié)的角加速度向量。M(q)∈2x2為慣性矩陣且為正定，2x2為離心力和哥氏力向量，τ∈2為系統(tǒng)的輸入力和力矩向量，τd∈2為擾動(dòng)輸入且假定其為有界的。

2 控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于二自由度SCARA機(jī)器人的非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，忽略擾動(dòng)項(xiàng)，采用反步法設(shè)計(jì)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制律。

選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量分別如下

(2)

則誤差向量為

(3)

(4)

選取虛擬控制量為

(5)

沿系統(tǒng)的軌線，對(duì)V1微分，得

(6)

(7)

設(shè)計(jì)李雅普諾夫候選函數(shù)為：

(8)

(9)

(10)

V=V1+V2。

(11)

3 仿真與討論

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)算法的有效性，我們進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。機(jī)器人模型參數(shù)為：

(12)

其中，控制器參數(shù)設(shè)計(jì)為：kp1=kp2=300，kd1=kd2=100。

我們?cè)O(shè)計(jì)兩個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性。場(chǎng)景一為給定期望軌跡信號(hào)為階躍信號(hào)，場(chǎng)景二為給定期望信號(hào)為時(shí)變信號(hào)。q=[q1pd,q2pd]T為非線性PD軌跡跟蹤控制器產(chǎn)生的軌跡信號(hào)，q=[q1,q2]T為所設(shè)計(jì)反步法控制器產(chǎn)生的軌跡信號(hào)。

3.1 階躍信號(hào)軌跡跟蹤仿真

關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的期望位置信號(hào)q=[q1d,q2d]T為單位階躍信號(hào)。由圖 2可以看出，在極短的時(shí)間內(nèi)關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的位置跟蹤到了期望信號(hào)，所設(shè)計(jì)的控制器的動(dòng)態(tài)能性優(yōu)于非線性PD控制器的動(dòng)態(tài)能性。由圖3可以看出，輸入力矩為光滑曲線，所設(shè)計(jì)控制器的力矩曲線光滑合理。

圖2 關(guān)節(jié)階躍信號(hào)軌跡跟蹤仿真圖Fig.2 Tracking position of joint step signal

圖3 階躍信號(hào)的系統(tǒng)輸入力矩Fig.3 Input torque of system under step signal

由圖4可以看出，加入定值擾動(dòng)τd=[5,5]T時(shí)，跟蹤曲線有誤差存在，而所設(shè)計(jì)的反步控制器動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能均優(yōu)于PD控制器。

圖4 加入擾動(dòng)時(shí)關(guān)節(jié)階躍信號(hào)軌跡跟蹤仿真圖Fig.4 Tracking position of joint with disturbance under step signal

3.2 連續(xù)時(shí)變信號(hào)軌跡跟蹤仿真

設(shè)計(jì)期望時(shí)變軌跡信號(hào)為：q1d=2.5sin (0.2t) ，q2d=2.5cos (0.2t)?？刂破鲄?shù)設(shè)置不變。由圖5可以看出，對(duì)于連續(xù)時(shí)變信號(hào)期望軌跡，所設(shè)計(jì)的控制器可以快速跟蹤，并具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。由圖6可以看出所設(shè)計(jì)控制器的力矩曲線光滑合理。

圖5 關(guān)節(jié)時(shí)變信號(hào)軌跡跟蹤仿真圖Fig.5 Tracking position of joint under time-varying signal

圖6 時(shí)變信號(hào)的系統(tǒng)輸入力矩Fig.6 Input torque of system under time-varying signal

圖7為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的位置跟蹤曲線，可以看出，加入定值擾動(dòng)τd=[5,5]T時(shí)，對(duì)于時(shí)變軌跡信號(hào)，PD控制器在有定值擾動(dòng)存在時(shí)跟蹤誤差較大，而所設(shè)計(jì)的反步控制器動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能均優(yōu)于PD控制器。

圖7 加入擾動(dòng)時(shí)關(guān)節(jié)時(shí)變信號(hào)軌跡跟蹤仿真圖Fig.7 Tracking position of joint with disturbance under time-varying signal

4 結(jié)論

本文針對(duì)SCARA 機(jī)器人的時(shí)變軌跡跟蹤問題，使用反步法設(shè)計(jì)了二自由度SCARA機(jī)器人的一種新型軌跡跟蹤控制器。設(shè)計(jì)了閉環(huán)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理和拉薩爾不變集定理，證明了所設(shè)計(jì)的控制律保證二自由度機(jī)器人軌跡控制閉環(huán)系統(tǒng)是一致全局漸近穩(wěn)定的。仿真結(jié)果表明，所提出的控制律對(duì)跟蹤給定值信號(hào)和時(shí)變信號(hào)都取得了滿意的控制效果，驗(yàn)證了控制律的有效性。在進(jìn)一步的研究工作中，將解決軌跡跟蹤控制中的不確定干擾問題。