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    模型論中有關(guān)代數(shù)閉域的一個性質(zhì)①

    2013-08-15 00:45:33陳國龍萬展翔
    關(guān)鍵詞:反證法科學(xué)出版社充分性

    張 龍, 陳國龍, 萬展翔

    (淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北235000)

    0 引 言

    一個可以寫成a0+a1x+a2x2+…+akxk(ai∈R,k 是大于或等于零的整數(shù))叫做R 上x 的一個多項式,ai叫做多項式的系數(shù). 在數(shù)學(xué)上,一個域F被稱作代數(shù)閉域,當(dāng)且僅當(dāng)任何系數(shù)屬于F 且次數(shù)大于零的單變量多項式在F 里至少有一個根. 另外,本文在定理的證明過程中會用到較多的字母符號,所以有些字母符號用起來比較隨意,但這些符號的含義明確并不影響讀者的理解.

    1 基本概念

    定義1[1]設(shè)R 為環(huán),I 為R 的非空子集,如果I 滿足

    (i)對任意的r1,r2∈I,r1- r2∈I;

    (ii)對任意的r ∈I,s ∈R,rs,sr ∈I.

    則稱I 為環(huán)R 的一個理想,記作I?R.又如果I ?≠R中,則稱I 為R 的真理想. 若R 為一個交換幺環(huán),R的一個理想M ≠R 而且不在存在理想A 使得M ?≠A ?≠R,則M 叫做R 的一個極大理想.

    定義2[2]n 個元x1,x2,…,xn叫做R 上的無關(guān)未定元,假如任何一個R 上的x1,x2,…,xn的多項式都不等于零,除非這個多項式的系數(shù)都等于零.

    定義3[3]設(shè)μ,β 是語言L 的模型.如果對L中每一語句φ 都有:μ 滿足φ 當(dāng)且只當(dāng)β 滿足φ,則稱μ,β 為初等等價的,記作μ ≡β.

    設(shè)T 是L 中的理論.如果對于T 的任何模型μ,β 都有μ ≡β,則稱T 為完全理論.當(dāng)T 適合下列條件時,稱為模型完全的:對T 的任何模型μ ≡β.若μ?β,則μ ?β.

    定理1[3]令L = {+,·,0,1},令T 為代數(shù)閉域的理論,則T 是模型完全的.

    2 主要結(jié)論

    定理: l1q1+l2q2+… +lkqk= 1 的充分必要條件是q1,q2,…,qk在G 的每一擴域中沒有公共解.其中G 為任意代數(shù)閉域,Q = G[a1,a2,…,an]為G 上n 個不相關(guān)不定元a1,a2,…,an的多項式環(huán),q1,a2,…,qn∈Q.

    證明: 下面先證充分性:

    這里要用反證法來證明,假設(shè)q1,q2,…,qk在G 的每一個擴域中都沒有公共解,但是l1q1+l2q2+… + lkqk不等于1.

    現(xiàn)在用F 來表示q1,q2,…,qk在Q 中生成的理想,即F = {eq1+ e2q2+ …ekqk:e1,e2,…,ek∈Q}.由假設(shè)l1q1+l2q2+…lkqk不等于1 知,1 ?F,所以F 是Q 的真理想. 從而,F(xiàn) 肯定被包含在Q 的一個極大理想N 中. 令M 為剩余類環(huán)Q/A,則M 為一域,并且還可得G ?M.

    下面考慮M 中的元素bi= [ai](這里的bi=[ai]指的是ai所在的剩余類)(i = 1,2,…,n),那么就有qj(b1,b2,…,bn)= [qj(a1,a2,…,an)],(j= 1,2,…,k),但是由qj(a1,a2,…,an)∈F ?A知,[qj(a1,a2,…,an)]= [0](M 的零元).

    所以綜上可得(b1,b2,…,bn)是q1,q2,…,qk在M 中的一組公共解,此和q1,q2,…,qk在G 的每一擴域中無公共解矛盾.因而充分性得證.

    接下來我們證必要性:

    這里還需要用到反證法. 假設(shè)l1a1+ l2q2+ …+ lkqk= 1,但是q1,q2,…,qk在G 的某一擴域B1中有公共解,則它們也在B 的代數(shù)閉包B1中有公共解.所以B1滿足(?x1,x2,…,xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧qk(x1x2…xn)≡0),但是G ?B1都為是閉域,因此由B1滿足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)和代數(shù)閉域理論的模型完全性可知,G 滿足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(這里需要解釋一下,由于每個 qi(a1a2…an) 系 數(shù) 都 在 G 中, 所 以(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(fα1fα2…fαm),其 中α1,α2,…,αm∈G,而(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)為L = {+,·,0,1}中含有自由變量 v1,v2,…,vm的 公 式. 因 此 B1滿 足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)[α1α2…αm],又因為G ?B1,所以有G 滿 足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)[α1α2…αm],也就是G 滿 足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0))但是由l1q1+l2q2+…lkqk等于1 知,q1,q2,…,qk在G 中沒有公共解,所以存在矛盾.因而必要性得證.

    [1] 韓士安,林磊.近世代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2004:134.

    [2] 張禾瑞. 近世代數(shù)基礎(chǔ)[M]. 北京:高等教育出版社,2005:107.

    [3] 王世強..模型論基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,1987:23 -24.

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