度量空間的子序列覆蓋可數(shù)到一映像①

孫秀華， 呂 誠(chéng)

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理系，安徽 合肥230022)

0 引 言

在眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的努力下，度量空間的各類映射像的刻畫得到了系統(tǒng)地研究，并得到大量有意義的結(jié)果，其中包括映像，閉映像、cs 映像，s 映像、緊映像及各類序列覆蓋映像，極大地豐富了一般拓?fù)鋵W(xué)的內(nèi)容［1-3］. 然而關(guān)于度量空間的可數(shù)到一映像所得結(jié)論卻很少，2007 年劉川等學(xué)者引入?0弱基［4］，才得到度量空間的商可數(shù)到一映像這一重要刻畫. 本文旨在通過推廣?0弱基，以進(jìn)一步探討度量空間的子序列覆蓋可數(shù)到一映像.

1 主要結(jié)論

文中所論空間均為T1正則的，映射是指連續(xù)的滿射，N 為自然數(shù). 文中未定義的術(shù)語和記號(hào)可參看文獻(xiàn)［2，5］.

定義1: ρ 稱為收斂序列L = {xn:n ∈N}∪{x0}的cs 網(wǎng)，如果在空間X 中對(duì)任意包含x0的開集U，都存在P ∈ρ 及m ∈N，使得({xn:n ≥m}∪{x0})?P ?U［6］.

定義2: 兩個(gè)序列{xn}n∈N和{yn}n∈N稱為共尾，如果存在n0，m0∈N，使得對(duì)任意i ∈N，有xn0+i= ym0+i［4］.

定義3: 設(shè)映射f:X →Y.

(1)f 稱為商映射，若f-1(U)是X 的開子集，則U 是Y 的開子集.

(2)f 稱為子序列覆蓋映射，若L 是Y 中的收斂序列，那么存在X 中的緊子集K 使得f(K)為L(zhǎng) 的子序列［2］.

定義4: 設(shè)ρ 是空間的一個(gè)覆蓋.ρ 稱為X 的?0-cs*網(wǎng)，如果ρ =∪{ρx(n):x ∈X，n ∈N}滿足:

(1)對(duì)任意x ∈X 和n ∈N，ρx(n)是關(guān)于有限交封閉并且x ∈∩ρx(n);

(2)在X 中，任意包含x 的開鄰域U，對(duì)所有n∈N，都存在P ∈ρx(n)使得P ?U;

(3)對(duì)任意收斂于x 的序列L，都存在n0∈N，使得ρx(n0)為L(zhǎng) 的某子列S 的cs 網(wǎng).

注:顯然?0- cs*網(wǎng)ρ 為X 的cs 網(wǎng).

定理5: 對(duì)于空間X，下列條件等價(jià):

(1)X 是度量空間的子序列覆蓋可數(shù)到一映像;

(2)X 具有點(diǎn)可數(shù)?0- cs*網(wǎng).

證明: (1)?(2).令f:M →X 為從度量空間M 到空間X 的子序列覆蓋可數(shù)到一映射.令β'為M的點(diǎn)可數(shù)基. 對(duì)任意y ∈M，可以選取βy?(β')y為y 在M 中遞減的鄰域基. 記ρy= {By，i:i ∈N}，其中對(duì)任意i ∈N 都有By，i+1?By，i.令β =∪{βy:y∈M}，顯然β ?β'且仍為M 的點(diǎn)可數(shù)基. 對(duì)任意x ∈X，記f-1(x)= {yn:n ∈N}，令ρx(n)= f(βyn)和ρ = f(β)=∪{ρx(n):x ∈X，n ∈N}. 顯然每一ρx(n)關(guān)于有限交封閉.設(shè)U 是X 中點(diǎn)x 的開鄰域，對(duì)每一n ∈N，有yn∈f-1(x)，顯然yn∈f-1(U)并且存在Byn∈βyn使得yn∈Byn?f-1(U). 于是Pyn= f(Byn)∈ρx(n)且x ∈Pyn?U.

又f 為子序列覆蓋映射，對(duì)于X 中收斂于x 的序列L，存在M 中序列K 收斂于yn∈f-1(x)且f(K)為L(zhǎng) 的子序列.由于在M 中βyn為yn的鄰域基，故ρx(n)= f(βyn)為L(zhǎng) 的子序列f(K)的cs 網(wǎng).

再由f 為可數(shù)到一映射及β 的點(diǎn)可數(shù)性，易得知ρ 仍為點(diǎn)可數(shù)的.

綜上，ρ 為X 的點(diǎn)可數(shù)?0- cs*網(wǎng).

(2)?(1).

令ρ =∪{ρx(n):x ∈X，n ∈N}為X 的點(diǎn)可數(shù)?0-cs*網(wǎng)，其中對(duì)任x ∈X，由于ρx(n)對(duì)有限交封閉，不妨設(shè)ρx(n)= {Px(n，m):m ∈N}且對(duì)任m ∈N 有Px(n，m +1)?Px(n，m).顯然對(duì)任意n ∈N，ρx(n)= {Px(n，m):m ∈N}為點(diǎn)x 的網(wǎng).記ρ = {Pα:α ∈I}，賦予I 離散拓?fù)?，且?duì)任意n ∈N，令I(lǐng)i為I 的一個(gè)拷貝. 令M = {α = (αi)∈:存在點(diǎn)xα∈X 及某n ∈N，使得{Pαi}i∈N與ρxα(n)共尾并且{Pαi}i∈N構(gòu)成點(diǎn)xα的網(wǎng)}.于是M作為Iω的子空間，可度量化. 由于X 為T1正則空間，可定義映射f:M →X 使得f(α)= xα. 又由ρx(n)為點(diǎn)x 的網(wǎng)，可知f 為滿射.

f 為連續(xù)映射:在X 中，令U 為xα的開鄰域且f(α)= xα，由α = (αi)及{Pαi}i∈N構(gòu)成xα的網(wǎng)，故存在k ∈N 使得Pαk∈{Pαi}i∈N并且Pαk?U.令V= {γ = (γi)∈Ii:γk= αk}∩M，則V 為α 在M 中的開鄰域且f(V)?Pαk?U.故f 連續(xù).

f 為可數(shù)到一映射，由M 的定義及ρ 的點(diǎn)可數(shù)性易知.

下證f 為子序列覆蓋映射:由于ρ 為?0- cs*網(wǎng)，對(duì)于X 中任意收斂于x 的序列L，都存在子序列S 及n0∈N 使得ρx(n0)= {Px(n0，m):m ∈N}為S 的cs 網(wǎng).不妨設(shè)S = {xk:k ∈N}∪{x}，且xk兩兩不同. 通過以下方式選取可數(shù)個(gè)集族{ρi:i ∈N}:對(duì)i = 1，若S ?Px(n0，1)，則取ρ1= {Px(n0，1)}，否則對(duì)每一xk∈SPx(n0，1)，任取ρxk(nk)，由于空間具有T1正則性，故存在開集U 使得xk∈U 且U ∩(S{xk})= Φ，于是存在Pxk(nk，mk)∈ρxk(nk)使得Pxk(nk，mk)∩(S{xk})= Φ，取ρ1={Px(n0，1)，Pxk(nk，mk)}.

對(duì)i = 2，若SPx(n0，2)的點(diǎn)和i = 1 時(shí)相同，則取ρ2= {Px(n0，2)，Pxk(nk，mk+1)}，若又有新的xt出現(xiàn)，則可類似選取ρxt(nt)及Pxt(nt，mt)，并選ρ2= {Px(n0，2)，Pxk(nk，mk+1)，Pxt(nt，mt)}.依此類推，選出{ρi:i ∈N}并記ρi= {Pγ:γ ∈Γi}，顯然每一Γi僅含有限個(gè)指標(biāo). 令T = {(γi)∈則T 為緊子集的閉子集，故T 為緊子集.任取α = (αi)∈，則(αi)不能與任一ρxk(nk)或ρx(n0)共尾.由{ρi:i ∈N}的取法可知一定有= Φ，故存在i0∈N，使得.令W= {(βi)∈:對(duì)于i ≤i0，有βi= αi}，則W 是中含α 的開子集且W ∩T = Φ.又易證f(T)?S 和S ?f(T)，即f(T)= S.于是f 為子序列覆蓋映射.

引理6: 設(shè)映射f:X →Y.

(1)若Y 為序列空間，f 為子序列覆蓋映射，則f 為商映射;

(2)若X 為序列空間，f 為商映射，則f 為序列商映射［2］.

定理7: 對(duì)于空間X，下列條件等價(jià):

(1)X 是度量空間的商可數(shù)到一映像;

(2)X 具有點(diǎn)可數(shù)?0- cs*網(wǎng)的序列空間;

(3)X 具有點(diǎn)可數(shù)?0弱基.

證明: 由定理5 及引理6 易證(1)?(2)，文獻(xiàn)［4］中已證明(1)?(3).

［1］ 林壽.廣義度量空間與映射［M］. 北京:科學(xué)出版社，1995:30 -41.

［2］ 林壽.點(diǎn)可數(shù)覆蓋與序列覆蓋映射［M］. 北京:科學(xué)出版社，2002:15 -21.

［3］ 呂誠(chéng)，孫秀華. 關(guān)于緊覆蓋映射的注記［J］. 佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，25(5):666 -668.

［4］ Liu Chuan，Lin Shou.On Countable-to-One Maps［J］. Topology Appl.，2007，154:449 -454.

［5］ Engelking R. General Topology［M］. Warsaw:PWN，1977:44-52.

［6］ Lin Shou，Liu Chuan，Dai Mumin. Images on Locally Separable Metric Spaces［J］. Acta Mathematica Sinica，New series，1997，13(1):1 -8.