有關(guān)環(huán)的有限可公理化問題①

萬展翔， 陳國龍， 張 龍

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000)

1 預(yù)備知識

下面定義1 來自文獻(xiàn)［1 ～3］的整理:

定義1 設(shè)L = {+，·，0，1}，+，·是二元函數(shù)符號，0，1 是常量符號，μ 是L 的一個(gè)模型，Γ 是由下列語句組成的理論:

(1)(x +y)+z ≡x +(y +z)(加法結(jié)合律);

(2)(x·y)·z ≡x·(y·z)(乘法結(jié)合律);

(3)y(x + y ≡0 ∧y + x ≡0)(有逆元);

(4)x + y ≡y + x(加法交換律);

(5)x +0 ≡x ∧0 +x ≡x(0 是加法單位元);

(6)1·x ≡x·1(1 是乘法單位元);

(7)x·(y + z)≡x·y + x·z;(y + z)·x ≡y·x + z·x(乘法對加法的分配律);

(8)x·y ≡0 →x ≡0 ∨y ≡0;

(9)x·y ≡y·x(乘法交換律);

(10)1 ≠0;

(11)(x ≠0 →?y(x·y ≡1));

(12)存 在 素 數(shù) p， 使 p · 1 ≡ 0， 即

(13)任意素?cái)?shù)p，都有p·1 ≠0.

若μ 滿足(1)～(8)，則稱μ 是無零因子幺環(huán);若μ 滿足(1)～(9)，則稱μ 是整環(huán);若(1)～(11)中，除了(9)外，μ 都滿足，則稱μ 是除環(huán);若μ 滿足(1)～(11)則稱μ 是域;若μ 滿足(1)～(12)，則稱μ 是特征為p 的域，否則若(1)～(13)中，除了(12)外，μ 都滿足，則稱μ 是特征為0 的域.仿此可以定義特征為0(或p)的整環(huán)、除環(huán)、無零因子幺環(huán)模型.

定義2［2］稱語句集Σ 是理論T 的一組(非邏輯的)公理，如果Σ├T，且T├Σ.由完全性定理，若Σ 是T 的公理，則Σ ╞T 且T ╞Σ，即Σ 與T 有相同的模型.如果T 有一公理集Σ，而Σ 有限，則稱T 有限可公理化.

引理1［4］語句φ 在任意一個(gè)特征為零的無零因子幺環(huán)中真，則對任意n ＜ω，存在素?cái)?shù)p ＞n，使得φ 在特征為p 的無零因子幺環(huán)中真.

引理2［1］語句φ 在任意一個(gè)特征為零的整環(huán)中真，則對任意n ＜ω，存在素?cái)?shù)p ＞n，使得φ 在特征為p 的整環(huán)中真.

引理3［1］語句φ 在任意一個(gè)特征為零的除環(huán)中真，則對任意n ＜ω，存在素?cái)?shù)p ＞n，使得φ 在特征為p 的除環(huán)中真.

引理4［1］語句φ 在任意一個(gè)特征為零的域中真，則對任意n ＜ω，存在素?cái)?shù)p ＞n，使得φ 在特征為p 的域中真.

2 主要成果及證明

定理1 設(shè)L = {+，·，0，1}，則無零因子環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

證明 假設(shè)無零因子幺環(huán)的特征為零能在L中有限公理化.設(shè)L 的語句φ 表示無零因子幺環(huán)的性質(zhì)“特征為零”，Γ 是無零因子幺環(huán)的公理集，令T = Γ ∪{φ}，則由假設(shè)，T 可有限公理化.設(shè)μ ╞T，則μ ╞T 當(dāng)且僅當(dāng)μ 是特征為零的無零因子幺環(huán)模型.又μ ╞φ，從而φ 在任意特征為零的無零因子幺環(huán)中真.由引理1 知，存在充分大的素?cái)?shù)p，使得φ 在特征為p 的無零因子幺環(huán)中真.這與T 可有限公理化矛盾，從而無零因子幺環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

推論1 設(shè)L = {+，·，0，1}，則整環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

證明 假設(shè)整環(huán)的特征為零能在L 中有限公理化.設(shè)L 的語句φ 表示整環(huán)的性質(zhì)“特征為零”，Γ 是整環(huán)的公理集，令T = Γ ∪{φ}，則由假設(shè)，T可有限公理化.設(shè)μ ╞T，則μ ╞T 當(dāng)且僅當(dāng)μ 是特征為零的整環(huán)模型.又μ ╞φ，從而φ 在任意特征為零的整環(huán)中真.由引理1 知，存在充分大的素?cái)?shù)p，使得φ 在特征為p 的整環(huán)中真.這與T 可有限公理化矛盾，從而整環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

推論2 設(shè)L = {+，·，0，1}，則除環(huán)的特征為零不能在L 中有限公理化.

推論3 設(shè)L = {+，·，0，1}，則域的特征為零不能在L 中有限公理化.

注:推論2 與推論3 的證明與定理1，推論1 的證明相似.

［1］ 段彥峰，陳國龍，武成偉，等.緊致性定理在近世代數(shù)中的應(yīng)用［J］.長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)理工，2012，9(5):9 -10.

［2］ 沈復(fù)興.模型論導(dǎo)引［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1995:71 -81.

［3］ 韓士安，林磊.近世代數(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2004:122 -129.

［4］ 段彥峰，陳國龍，武成偉，等. 模型論在環(huán)論中的應(yīng)用［J］. 淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，33(3):32 -33.