等積法在矩形問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

文 吳 強(qiáng)

根據(jù)不同的計(jì)算方法表示同一個(gè)平面圖形的面積，計(jì)算結(jié)果始終相等。利用這一原理證明或計(jì)算某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法稱為等積法。在平面幾何圖形中，我們往往可以根據(jù)同底等高、等底同高、等底等高等發(fā)現(xiàn)面積相等的圖形。無(wú)論這些圖形的形狀如何，但只要面積相等，我們就可以利用這種相等的關(guān)系進(jìn)行一些轉(zhuǎn)化，從而解決問(wèn)題。

本文從2019-2020學(xué)年江蘇省常州市八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷中的一道填空題開(kāi)始，與同學(xué)們一起用等積法來(lái)處理幾個(gè)矩形中的問(wèn)題。

圖1

【分析】從這道題的答題情況看，大部分同學(xué)填的是平行四邊形或者菱形。平行四邊形比較明顯，很多同學(xué)不假思索，輕松掉入出題者的陷阱。填空題答案需要更精確，那就要考慮“兩把完全一樣的直尺”這個(gè)條件有什么用。

上面的問(wèn)題從哪來(lái)呢？它的原型是蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第93頁(yè)第15題：

如圖2，由兩個(gè)等寬的矩形疊合而得到的四邊形ABCD是菱形嗎？證明你的結(jié)論。

圖2

圖3

【分析】等寬的矩形有什么用？如何證明一個(gè)四邊形是菱形？根據(jù)題意，利用矩形兩組對(duì)邊分別平行很容易證明四邊形ABCD是平行四邊形。如果再能夠證明一組鄰邊相等或者對(duì)角線互相垂直，那么就可以得到菱形。如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AR⊥BC于點(diǎn)R，AS⊥CD于S。因?yàn)閮蓚€(gè)矩形等寬，所以AR=AS。由S四邊形ABCD=AR·BC，S四邊形ABCD=AS·CD，得AR·BC=AS·CD，得BC=CD，因此，平行四邊形ABCD是菱形。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定，解題的關(guān)鍵是利用等積法證明一組鄰邊相等，從而證得該平行四邊形是菱形。

【變式】如圖4，兩條寬度分別為1和2的矩形紙條交叉放置，重疊部分為四邊形ABCD，若AB+BC=6，則四邊形ABCD的面積是（ ）。

圖4

圖5

A.4 B.2 C.8 D.6

【分析】根據(jù)題意可以判定四邊形ABCD是平行四邊形。如圖5，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F。利用等積法求得AB與BC的數(shù)量關(guān)系BC=2AB，因?yàn)锳B+BC=6，所以AB=2，BC=4，從而求得該平行四邊形的面積為4。故選A。

下面，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)矩形紙條的折疊問(wèn)題。

例2如圖6，圖7，把矩形紙條ABCD折疊，B、C兩點(diǎn)恰好重合落在AD邊上的點(diǎn)P處，已知∠MPN=90°，且PM=6，PN=8，那么矩形紙條ABCD的面積為（ ）。

圖6

圖7

A.115.2 B.112 C.107.2 D.104

【分析】要求矩形紙條的面積，需要知道它的長(zhǎng)和寬。觀察紙條折疊前后的形狀，不難發(fā)現(xiàn)紙條的長(zhǎng)BC和三角形PMN的周長(zhǎng)相等，寬和三角形PMN的邊MN上的高相等。條件中PM和PN長(zhǎng)已知，由勾股定理可以求出MN的長(zhǎng)，再由等積法求出三角形PMN的邊MN上的高，即可求得矩形ABCD的面積。

解：如圖8，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥MN于點(diǎn)E。

圖8

∵∠MPN=90°，且PM=6，PN=8，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)以及等積法是解決本題的關(guān)鍵。

等積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題思想方法。在解題中，靈活運(yùn)用等積法，可以使思路清晰、過(guò)程簡(jiǎn)潔。