“對(duì)數(shù)函數(shù)”教學(xué)探微

王雅倩 湯強(qiáng)

【摘要】在簡(jiǎn)單比較中國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和日本《高等學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》中對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)要求的基礎(chǔ)上，選取我國(guó)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A版數(shù)學(xué)必修1和日本高等學(xué)校數(shù)學(xué)課用新編數(shù)學(xué)Ⅱ中有關(guān)“對(duì)數(shù)函數(shù)”的內(nèi)容，對(duì)其內(nèi)容結(jié)構(gòu)、內(nèi)容設(shè)置等方面進(jìn)行深入比較研究，并對(duì)中國(guó)高中數(shù)學(xué)教科書(shū)的編制提出了一些合理化的建議.

【關(guān)鍵詞】中國(guó);日本;高中數(shù)學(xué)教科書(shū);對(duì)數(shù)函數(shù)

1 教學(xué)要求的比較

中日高中數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)要求的比較

在對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)要求上，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求得比較詳細(xì).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在引入時(shí)注重從實(shí)際背景出發(fā)，構(gòu)造函數(shù)模型來(lái)進(jìn)行對(duì)數(shù)函數(shù)概念的教學(xué).在探究對(duì)數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)時(shí)，可以借助計(jì)算機(jī)工具來(lái)畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，從而加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)及其圖像的理解.我國(guó)的教學(xué)還明確要求掌握反函數(shù)的概念.日本在《高等學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》中對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的教學(xué)要求寫(xiě)得比較簡(jiǎn)練，把教學(xué)要求的重點(diǎn)放在掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和對(duì)數(shù)計(jì)算上，也要理解函數(shù)圖像及其性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.

2 內(nèi)容結(jié)構(gòu)的比較

中國(guó)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A版數(shù)學(xué)必修1和日本高等學(xué)校數(shù)學(xué)課用新編數(shù)學(xué)Ⅱ中有關(guān)“對(duì)數(shù)函數(shù)”的內(nèi)容存在一定的差異，包括掌握要求與內(nèi)容安排.

2.1 掌握要求

中國(guó)教科書(shū)中的“對(duì)數(shù)函數(shù)”位于高中數(shù)學(xué)人教A版必修1第二章第二節(jié)第二課時(shí)，屬于高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容，這是我國(guó)高中生必須掌握的基本初等函數(shù)，學(xué)生沒(méi)有選擇的余地;日本教科書(shū)中的“對(duì)數(shù)函數(shù)”位于高中數(shù)學(xué)Ⅱ第五章第二節(jié)第三課時(shí)，屬于高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容（在數(shù)學(xué)6個(gè)科目中，除了數(shù)學(xué)Ⅰ以外都是選修內(nèi)容），學(xué)生有選擇學(xué)習(xí)的余地.

2.2 內(nèi)容安排

中日兩國(guó)教科書(shū)在對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的安排上大致都是先通過(guò)介紹對(duì)數(shù)函數(shù)，然后由特殊到一般，歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，最后對(duì)其內(nèi)容進(jìn)行實(shí)際的應(yīng)用.但是，在內(nèi)容的選取上，兩國(guó)教科書(shū)仍然存在著一定的差異.

3 內(nèi)容設(shè)置的比較

在這兩種教科書(shū)中，這一節(jié)內(nèi)容的設(shè)置都由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)、反函數(shù)這三部分組成，但在內(nèi)容設(shè)置上仍存在著一定的差異.

3.1 定義的引入

3.1.1 中國(guó)對(duì)數(shù)函數(shù)的引入

中國(guó)必修1中對(duì)數(shù)函數(shù)的引入是通過(guò)利用學(xué)生已經(jīng)掌握了的對(duì)數(shù)的概念與函數(shù)概念的知識(shí)，讓學(xué)生利用函數(shù)的概念來(lái)判斷對(duì)于每一個(gè)碳14含量P，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系t=log573012P，是否都有唯一確定的生物死亡年數(shù)t與之對(duì)應(yīng)，從而得出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.這樣從對(duì)數(shù)過(guò)渡到對(duì)數(shù)函數(shù)的方式很自然，學(xué)生不僅容易接受，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也與現(xiàn)代認(rèn)知主義理論，建構(gòu)主義思想相一致.這樣的情境創(chuàng)設(shè)是從對(duì)數(shù)函數(shù)的形式出發(fā)，幫助學(xué)生掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，從而有利于幫助學(xué)生判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù).

3.1.2 日本對(duì)數(shù)函數(shù)的引入

日本數(shù)學(xué)Ⅱ中對(duì)數(shù)函數(shù)的引入沒(méi)有情景的設(shè)置，而是直接給出了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.這樣的引入方式是基于學(xué)生在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算內(nèi)容時(shí)，已經(jīng)熟練掌握了對(duì)數(shù)式的形式，因此，學(xué)生學(xué)習(xí)此節(jié)內(nèi)容并不是很困難，應(yīng)該能夠輕松掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，然后從對(duì)數(shù)函數(shù)的形式出發(fā)得出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.但是，從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程看，中國(guó)必修1中對(duì)數(shù)函數(shù)的引入方式比較恰當(dāng)，比較符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.

3.2 函數(shù)圖像及其性質(zhì)

中國(guó)必修1和日本數(shù)學(xué)Ⅱ這兩種教科書(shū)都是先通過(guò)研究y=log2x和y=log12x，y=log13x的圖像及其性質(zhì)，然后再?gòu)奶厥獾揭话?，歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì).不過(guò)，這兩種教科書(shū)在細(xì)節(jié)內(nèi)容上的設(shè)置仍然存在著一定的差異.

3.2.1 函數(shù)圖像及其性質(zhì)的探究

在中國(guó)必修1中，教師先讓同學(xué)們運(yùn)用列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)的方法在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=log2x和log12x的函數(shù)圖像，然后讓學(xué)生運(yùn)用相同的方法畫(huà)出log13x的圖像.讓學(xué)生親自動(dòng)手作圖不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，而且對(duì)深刻理解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)有著一定的促進(jìn)作用.教師還可以充分利用信息技術(shù)，讓學(xué)生隨意地取a的值，并在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖像.學(xué)生可以通過(guò)觀(guān)察對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，從特殊到一般，歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并順理成章地討論底數(shù).在數(shù)學(xué)必修1中還把y=log12x，y=log2x這兩個(gè)函數(shù)圖像放在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)其函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，強(qiáng)調(diào)其對(duì)稱(chēng)性.

在日本數(shù)學(xué)Ⅱ中，也是先讓同學(xué)們根據(jù)y=log2x的對(duì)應(yīng)表值畫(huà)出其函數(shù)圖像，再讓同學(xué)們自己動(dòng)手操作畫(huà)出log12x的函數(shù)圖像，從而歸納總結(jié)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì).但在日本數(shù)學(xué)Ⅱ中，沒(méi)有討論對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x和y=log12x的對(duì)稱(chēng)性，反而重點(diǎn)討論了y=log2x和y=2x關(guān)于函數(shù)y=x對(duì)稱(chēng)，從而為學(xué)習(xí)反函數(shù)做鋪墊.

3.2.2 函數(shù)圖像及其性質(zhì)的總結(jié)

在中國(guó)數(shù)學(xué)必修1和日本數(shù)學(xué)Ⅱ兩種教科書(shū)中給出的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像相同，都分為了01兩種情況.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)都有三條，但在內(nèi)容與表述方法上也有一定的差異.在中國(guó)必修1中，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域通過(guò)正實(shí)數(shù)域（0，+∞），值域是通過(guò)實(shí)數(shù)集R來(lái)表示.而在日本數(shù)學(xué)Ⅱ中，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域都是通過(guò)文字直接表述出來(lái)的，沒(méi)有體現(xiàn)出數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)便性.在表述對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性時(shí)，中國(guó)必修1直接給出了兩種情況下的單調(diào)性;日本數(shù)學(xué)Ⅱ則利用不等式非常形象、直觀(guān)地表明了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

3.3 例題的選取

中國(guó)必修1和日本數(shù)學(xué)Ⅱ中的對(duì)數(shù)函數(shù)都設(shè)置了比較大小的題目，其主要目的是想幫助學(xué)生靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較對(duì)數(shù)的大小.其不同點(diǎn)在于中國(guó)必修1中的例題每組給出的數(shù)據(jù)只有兩個(gè)，而日本數(shù)學(xué)Ⅱ中的例題每組給出的數(shù)據(jù)有三個(gè)，給出三組數(shù)據(jù)更容易幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)每組數(shù)據(jù)的規(guī)律，從而能靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行比較，也體現(xiàn)出了日本教科書(shū)更加注重學(xué)生學(xué)習(xí)的自豪感和成就感.

3.4 反函數(shù)

中日兩種教科書(shū)在對(duì)數(shù)函數(shù)這一節(jié)內(nèi)容中都對(duì)y=logax（a>0且a≠1）與y=ax（a>0且a≠1）互為反函數(shù)進(jìn)行了一定的介紹，但在內(nèi)容設(shè)置上也存在著一定的差異.

3.4.1 中國(guó)反函數(shù)的內(nèi)容設(shè)置

中國(guó)必修1教科書(shū)對(duì)反函數(shù)內(nèi)容的介紹放在本節(jié)內(nèi)容的最后，把對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)探究完后再進(jìn)行反函數(shù)的學(xué)習(xí).反函數(shù)的內(nèi)容所占篇幅很少，教科書(shū)中逐漸縮減反函數(shù)所占的比重.教師通過(guò)探究指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，歸納出反函數(shù)的概念;通過(guò)指數(shù)函數(shù)圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的關(guān)系，總結(jié)出互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系是關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思維過(guò)程，加深對(duì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的理解.介紹完反函數(shù)之后，教科書(shū)中也沒(méi)有安排例題來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)一步加深理解反函數(shù).

3.4.2 日本反函數(shù)的內(nèi)容設(shè)置

日本數(shù)學(xué)Ⅱ教科書(shū)對(duì)反函數(shù)內(nèi)容的介紹放在畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x圖像之后.在通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)的方法畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)之后，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=2x的圖像.通過(guò)觀(guān)察對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像，歸納總結(jié)出反函數(shù)的概念和互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系是關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的.在日本教科書(shū)中還畫(huà)出了當(dāng)a>1和0

總之，日本的教學(xué)要求中雖然沒(méi)有明確提出掌握反函數(shù)，但在教科書(shū)中反函數(shù)所占比例較大，在探究對(duì)數(shù)函數(shù)圖像時(shí)就給出了反函數(shù)的概念，總結(jié)出了反函數(shù)的性質(zhì).

4 小 結(jié)

通過(guò)對(duì)中日高中教科書(shū)對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行比較，我得出了一些結(jié)論與啟示，并對(duì)中國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)這一節(jié)內(nèi)容的編制提出一些建議.

4.1 內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，教科書(shū)應(yīng)更注重基礎(chǔ)

日本教科書(shū)在對(duì)數(shù)函數(shù)圖像內(nèi)容講解時(shí)，插入了很多圖片供學(xué)生直觀(guān)觀(guān)察，從而有利于學(xué)生更輕松地掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)，這正是值得我們借鑒的;在對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的表述中，日本教科書(shū)把有些數(shù)學(xué)關(guān)系符號(hào)化是很關(guān)鍵的，這樣的符號(hào)能夠形象地描述比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系，能夠幫助學(xué)生更好地理解記憶.

4.2 內(nèi)容設(shè)置上，教科書(shū)應(yīng)更注重知識(shí)銜接

在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，教師要注意把對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、不等式、方程聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生形成更好的學(xué)習(xí)網(wǎng).把學(xué)習(xí)的知識(shí)全部串聯(lián)起來(lái)，更加深刻地理解所學(xué)內(nèi)容.教師將這種串聯(lián)起來(lái)的內(nèi)容設(shè)置為例題進(jìn)行講解，也可以設(shè)置為課后習(xí)題供學(xué)生自主研究.

4.3 習(xí)題設(shè)置上，教科書(shū)應(yīng)更注重能力培養(yǎng)

習(xí)題的設(shè)置也不能只是基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，也應(yīng)該設(shè)置一些富有綜合性、挑戰(zhàn)性、新穎性的題目來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.習(xí)題內(nèi)容的選擇可以是數(shù)學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充或延伸，但也應(yīng)該考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平和掌握知識(shí)的能力，其目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和開(kāi)發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維.習(xí)題內(nèi)容的選擇也可以是下一節(jié)所學(xué)內(nèi)容的鋪墊，從而幫助學(xué)生更輕松地進(jìn)入下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí).

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