C*代數(shù)值度量空間上的第一類擴(kuò)張映象及不動點(diǎn)定理

麻振華 鄭世良 鄧全才 王占偉

(河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系，張家口 075000；張家口市經(jīng)開區(qū)第一小學(xué)，張家口 075000)

1 引言與基本概念

麻振華等人在2014年次提出C*代數(shù)值度量空間的概念[1]，并研究了相關(guān)不動點(diǎn)定理.隨后幾年，國內(nèi)外諸多學(xué)者研究了該空間上的不動點(diǎn)定理并得到了許多重要結(jié)果[2,3,4].以文獻(xiàn)[1]和[5]為基礎(chǔ)，本文給出了該度量空間上一類擴(kuò)張映象的定義，同時給出了一個相應(yīng)得不動點(diǎn)定理，此定理推廣了一般度量空間的相關(guān)結(jié)論．

我們先回顧與本文有關(guān)的概念：

定義1.1[9]如果集合A滿足以下關(guān)系：

(1)a?a;

(2)a?b,b?a?a=b;

(3)a?b,b?c?a?c,

則在集合A上定義的二元關(guān)系?稱為集合A上的偏序。

注：一個包含偏序的非空集稱為一個偏序集合，簡稱為偏序集，在偏序集A中我們用ab表示a?b且a≠b.

(1)0?d(x,y),?x,y∈X且d(x,y)=0?x=y(非負(fù)性)；

(2)d(x,y)=d(y,x),?x,y∈X(對稱性);

(3)d(x,y)?d(x,z)+d(z,y),?x,y,z∈X(三角不等式)，

注：方便起見，以下我們用θ表示0.

2 主要結(jié)果

我們先給出C*-代數(shù)值度量空間中第一類擴(kuò)張型映象的定義如下：

定義2.1設(shè)(X,A,d)是完備的C*代數(shù)值度量空間，映射T∶X→X滿足以下條件：存在正整數(shù)p,q和A∈A可逆，且‖A-1‖<1，使得

d(Tpx,Tqy)A*d(x,y)A，對任意x,y∈X的成立，

則稱T是C*-代數(shù)值度量值第(1)類擴(kuò)張型映象.

定理2.1設(shè)T∶X→X是C*-代數(shù)值度量空間第第一類擴(kuò)張型映象，且是滿射，則T在X中具有唯一不動點(diǎn).

y0=x0,y1=xq,y2=xp+q,…，

y2n-1=x(n-1)(p+q)+q,y2n=xn(p+q),n=1,2,…，

于是有

y2n-1=TPy2n,y2n=Tqy2n+1,n=1,2,….

事實(shí)上，由于d(y2n-1,y2n)=d(TPy2n,Tqy2n+1)A*d(y2n,y2n+1)A可知，

d(y2n,y2n+1)?(A*)-1d(y2n-1,y2n)A-1.

同理，

d(y2n-1,y2n)?(A*)-1d(y2n-2,y2n-1)A-1.

結(jié)合上面二式，對任意n=1,2,…，可得

d(yn,yn+1)?(A*)-1d(yn-1,yn)A-1?…?[(A*)-1]nd(y0,y1)(A-1)n.

所以，可得

‖d(yn,ym+n)‖≤‖d(yn,yn+1)+d(yn+1,yn+2)+…+d(ym+n-1,ym+n)‖

≤‖[(A*)-1]nd(y0,y1)(A-1)n+[(A*)-1]n+1d(y0,y1)(A-1)n+1+…

+[(A*)-1]m+n-1d(y0,y1)(A-1)m+n-1‖

≤‖[(A*)-1]nd(y0,y1)(A-1)n‖+‖[(A*)-1]n+1d(y0,y1)(A-1)n+1‖+…

+‖[(A*)-1]m+n-1d(y0,y1)(A-1)m+n-1‖

≤‖[(A*)-1]n‖‖d(y0,y1)‖‖(A-1)n‖+‖[(A*)-1]n+1‖‖d(y0,y1)‖‖(A-1)n+1‖

+…+‖[(A*)-1]m+n-1‖‖d(y0,y1)‖‖(A-1)m+n-1‖

≤‖[(A*)-1]‖n‖d(y0,y1)‖‖A-1‖n+‖[(A*)-1]‖n+1‖d(y0,y1)‖‖A-1‖n+1+…

+‖[(A*)-1]‖m+n-1‖d(y0,y1)‖‖A-1‖m+n-1

=‖d(y0,y1)‖‖(A*)-1]‖n‖[A-1‖n(1+‖[(A*)-1]‖‖A-1‖

+‖[(A*)-1]‖m-1‖A-1‖m-1)

因‖A-1‖<1，故‖(A*)-1‖<1.

因此，

兩邊取對數(shù)，有

nln‖[(A*)-1]‖‖A-1‖≤ln(1-‖[(A*)-1]‖‖A-1‖)ε-ln‖d(y0,y1)‖

d(z,y2n)=d(TP(u),Tqy2n+1)A*d(u,y2n+1)A

上式兩端n→∞，得θA*d(u,z)A，故u=z，即z=TP(z)，因而z是TP的不動點(diǎn).

下證唯一性：

如果還存在另一點(diǎn)w∈X是Tq的不動點(diǎn)，則有

d(z,w)=d(TPz,Tqw)A*d(z,w)A

上式成立當(dāng)且僅當(dāng)z=w，故z是Tp和Tq的唯一公共不動點(diǎn)，另外，顯然有

Tz=Tp(Tz),Tz=Tq(Tz)，

故由z的唯一性得知z=Tz.

證畢.

3 結(jié) 論

本文主要是在C*-代數(shù)值度量空間基礎(chǔ)上給出了C*-代數(shù)值度量空間上第(1)類擴(kuò)張映象的定義，并證明了其不動點(diǎn)的存在和唯一性.該定理推廣了一般度量空間上的第(1)類擴(kuò)張映象不動點(diǎn)定理.