經(jīng)歷推理過程，促進(jìn)知識理解

許葛倩

摘要：培養(yǎng)推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，而通過推理過程也可以促進(jìn)知識理解?！俺朔ǚ峙渎伞钡慕虒W(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷推理過程，從而發(fā)展推理能力，并且促進(jìn)知識理解：舉例猜想驗(yàn)證，經(jīng)歷歸納推理;借助幾何直觀，經(jīng)歷類比推理;基于已有知識，經(jīng)歷演繹推理。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)推理;乘法分配律;歸納推理;類比推理;演繹推理

推理是數(shù)學(xué)思維的基本方式，也是發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）數(shù)學(xué)知識的重要途徑。培養(yǎng)推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，而通過推理過程（建立知識聯(lián)系）也可以促進(jìn)知識理解（建構(gòu)）。數(shù)學(xué)推理包括歸納、類比等以經(jīng)驗(yàn)和直覺為依據(jù)的合情推理，以及以邏輯的規(guī)則為依據(jù)的演繹推理。兩種推理協(xié)同發(fā)展，才能真正培養(yǎng)數(shù)學(xué)的探索發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)新）能力。

曹培英教授指出：“與合情推理被張揚(yáng)并存的是，傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，有很多尚待發(fā)掘的演繹推理?！?在“乘法分配律”的教學(xué)中，許多教師往往只引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較幾組等式，便歸納得出運(yùn)算律，而沒有讓學(xué)生通過其他推理方式檢驗(yàn)（說明）。實(shí)際上，這一內(nèi)容的教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷推理過程，從而發(fā)展推理能力，并且促進(jìn)知識理解（建構(gòu)）。

一、舉例猜想驗(yàn)證，經(jīng)歷歸納推理

歸納推理是從特殊例子推出一般規(guī)律或者從個別事實(shí)得到一般結(jié)論的過程。它是人們?nèi)粘Ｉ钪杏玫米疃嗟耐评矸绞?，很符合小學(xué)生的年齡和思維特征。在歸納推理中，教師特別要引導(dǎo)學(xué)生注意例子有沒有全面性和典型性，從而使得出的結(jié)論更科學(xué);關(guān)注有沒有出現(xiàn)反例，從而使得出的結(jié)論更可靠。

在“乘法分配律”的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過舉例猜想驗(yàn)證乘法分配律，從而經(jīng)歷歸納推理。筆者的教學(xué)過程如下：

[教師出示蘇教版教材例題，引導(dǎo)學(xué)生采用兩種方法計算，得到等式（6+4）×24=6×24+4×24。]

師該式子有什么特點(diǎn)？等號兩邊有什么聯(lián)系？

生等號兩邊都有6、4、24，左邊先算6與4的和，再算它與24的積;右邊先分別算6與24、4與24的積，再算它們的和。

師我們可以大致提煉出“三個數(shù)”“先加再乘”“先乘再加”的特點(diǎn)。你能猜想出什么結(jié)論？

生兩個數(shù)相加再乘一個數(shù)等于這兩個數(shù)分別乘那一個數(shù)再相加。

師好的。因?yàn)槲覀儗κ阶拥奶卣饔辛艘稽c(diǎn)感覺，所以可以先猜想一般的結(jié)論。而如果我們對式子的特征沒有感覺，則可以類似地再寫幾組這樣的算式，算一算兩邊是否相等，看看式子相等時具有什么特征。有了猜想，下面要做什么？

生驗(yàn)證。

師怎么驗(yàn)證？

生舉例。

師沒錯，還是舉例。不管是猜想還是驗(yàn)證，都需要舉例，需要舉出更多的例子。我們有四十幾位同學(xué)，如果每人舉一個例子，就有四十幾個例子了。那就請大家根據(jù)剛才的猜想在作業(yè)紙上每人寫一個例子，再看看兩邊是不是相等。開始吧！

（學(xué)生舉例。）

師老師發(fā)現(xiàn)有同學(xué)寫出了三位數(shù)的例子，真好！當(dāng)然，舉例時除了考慮較大的數(shù)，還要考慮一些特殊的數(shù)，如0、1等。

（學(xué)生舉出更多的例子。）

師我們舉出了很多例子，還舉出了一些比較特殊的例子，使例子具有了全面性和典型性;同時，我們沒有發(fā)現(xiàn)反例。因此，可以初步說明猜想是正確的。其實(shí)，這個猜想就是乘法分配律，用字母代替數(shù)字寫成算式是：（a+b）×c=a×c+b×c。

二、借助幾何直觀，經(jīng)歷類比推理

類比推理是根據(jù)兩個對象在某些屬性上相同或相似，通過比較推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的過程。在數(shù)學(xué)中，數(shù)與形有著密切的關(guān)系，是重要的類比對象?？吹匠橄蟮臄?shù)或式，要類比聯(lián)想其幾何意義，借助幾何直觀推理結(jié)論，進(jìn)而理解意義。

在“乘法分配律”的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想兩數(shù)相乘的幾何意義，借助幾何直觀說明乘法分配律，從而經(jīng)歷類比推理。筆者的教學(xué)過程如下：

師還有其他方法說明乘法分配律成立嗎？

（學(xué)生思考。）

師可以從幾何意義的角度考慮：兩個數(shù)相乘在幾何圖形中相當(dāng)于求什么？

生求長方形的面積。

師什么樣的長方形？

生長和寬分別是這兩個數(shù)的長方形。

師很好！我們先來看乘法分配律的一個特殊情況，如（4+5）×3=4×3+5×3，它的左邊相當(dāng)于求什么？右邊呢？畫出圖形，看看左右兩邊相等嗎？

生（出示圖1）左邊的（4+5）×3算的是大長方形的面積;右邊的4×3、5×3分別算的是兩個小長方形的面積，合起來也是大長方形的面積。

師說得真好！其他例子都能放到長方形中說明嗎？

生能。

師那一般情況（a+b）×c=a×c+b×c呢？（出示圖2）我們一起來結(jié)合長方形的面積說一說。

（學(xué)生指圖說明。）

三、基于已有知識，經(jīng)歷演繹推理

由于合情推理得出的結(jié)論具有或然性（不可靠），所以，數(shù)學(xué)研究特別重視演繹推理，從而追求結(jié)論的必然性（可靠）。這也是數(shù)學(xué)研究理性精神最重要的體現(xiàn)。雖然小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，但是在高年段，抽象邏輯思維已經(jīng)開始發(fā)展。因此，教師在教學(xué)中可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生開展演繹推理，即從已有知識（結(jié)論）出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行推理，使學(xué)生走出主要依靠經(jīng)驗(yàn)和直覺的合情推理的局限，更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎紗栴}。

在“乘法分配律”的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生基于乘法的意義以及加法交換律和結(jié)合律，推導(dǎo)乘法分配律，從而經(jīng)歷演繹推理。筆者的教學(xué)過程如下：

師我們能不能從已有的知識出發(fā)，更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评淼玫匠朔ǚ峙渎桑?/p>

（學(xué)生思考。）

師根據(jù)所學(xué)，乘法的意義是什么？

生幾個相同加數(shù)的和。

師沒錯。這樣，乘法就能變成加法。同時，我們還學(xué)過加法的兩個運(yùn)算律，是什么？

生加法交換律、加法結(jié)合律。

師我們能不能試著推理一下？還是先來看（4+5）×3=4×3+5×3這個特殊情況，它的左邊（4+5）×3用乘法的意義能變成什么？

生3個（4+5）相加。

師（出示圖3第一行）沒錯。繼續(xù)用加法交換律和結(jié)合律，把相同的加數(shù)放在一起，能變成什么？

生3個4相加和3個5相加。

師（出示圖3第二行）好的。下面還可以用什么變成什么？

生反過來用乘法的意義，變成4×3+5×3。

師（出示圖3第三行）非常好！這就變出了它的右邊4×3+5×3。（指著圖3）請你看圖再想一想這個過程。如果不能理解，可以借助其中標(biāo)注的圓點(diǎn)。

（學(xué)生思考并理解。）

師現(xiàn)在來看更一般的情況：如果這里的4和5用a和b來表示，那么可以怎么推理？

（學(xué)生活動后，一位學(xué)生出示推理過程并解釋。）

師很好?，F(xiàn)在可以看最一般的情況了：把這里的3也用c來表示。

生我知道了?。ǔ鍪緢D4）（a+b）×c就等于c個（a+b）相加，繼續(xù)變隊(duì)形，c個a排成一隊(duì)，c個b也排成一隊(duì)?？?！就是a×c+b×c。

師非常好?。ㄖ钢鴪D4）另外，從乘法交換律的角度看，（a+b）×c除了表示c個（a+b）相加，還能表示什么？

生（a+b）個c相加。

師很好！那么乘法分配律還可以怎樣證明？

（一位學(xué)生出示圖5并解釋。）

（a+b）×c=c+c+…+c（a+b）個

=（c+c+…+c）a個+（c+c+…+c）b個

=a×c+b×c

最后，需要指出的是，上述教學(xué)中對乘法分配律的推理是在整數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的，因?yàn)橐罁?jù)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的安排，此時（四年級下學(xué)期）學(xué)生尚未學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，也未學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)。而在更大的范圍（有理數(shù)乃至實(shí)數(shù)）內(nèi)推理（尤其是演繹推理）乘法分配律，有一定的難度，未必適合小學(xué)生。對此，教師可以做進(jìn)一步思考。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2] 張琴.在“過程”中推理[J].教育研究與評論（課堂觀察），2020（5）.