“新中學(xué)三角體系”概述及其進(jìn)一步思考

李鋒雷 胡恩良

【摘 要】 “幾何先行，三角跟進(jìn)”，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，先對(duì)三角形做定性研究，引入相似三角形后，注重定量研究，先定性后定量的研究模式符合人們認(rèn)知事物的一般規(guī)律.但正如張?jiān)菏克f，這樣的安排有三個(gè)遺憾：幾何孤軍奮戰(zhàn)，三角壯志未酬，代數(shù)無人問津（具體可以參閱文獻(xiàn)[1]）.張?jiān)菏刻岢龅摹爸貥?gòu)中學(xué)三角體系”對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育具有重要的意義.基于此，對(duì)其又進(jìn)一步的思考——以正弦定理為工具，通過代數(shù)驗(yàn)證三角形全等判定法則.即在幾何與三角的關(guān)系中，充分發(fā)揮代數(shù)的作用，使三角壯志得酬.

【關(guān)鍵詞】 張景中;中學(xué)三角體系;代數(shù);幾何;三角

1 研究背景及其意義

幾何與三角研究的對(duì)象都是圖形，首先是最簡單但內(nèi)容依然豐富的三角形，幾何側(cè)重定性的研究，三角則側(cè)重定量的研究，代數(shù)研究的對(duì)象是更為抽象的數(shù)與式的運(yùn)算規(guī)律和方法，是解決數(shù)學(xué)問題的基本工具，也是幾何和三角的工具[Symbolq@@].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，先對(duì)三角形做定性研究，為三角奠定基礎(chǔ)，引進(jìn)相似三角形后，便注重定量研究.先定性后定量，符合人們認(rèn)知事物的一般規(guī)律，似乎是十分順理成章的安排.但對(duì)比傳統(tǒng)的三角教學(xué)，張景中院士提出的“新中學(xué)三角體系”認(rèn)為：學(xué)生一旦掌握正弦定理，學(xué)習(xí)幾何知識(shí)就如高屋建瓴，更能激發(fā)其主動(dòng)性.現(xiàn)階段課程中，正弦定理在高中階段學(xué)習(xí)，從而正弦定理對(duì)幾何內(nèi)容的展現(xiàn)幾乎沒有[Symbolr@@].

該體系在中學(xué)教學(xué)實(shí)踐中取得了不錯(cuò)的成果（在我國著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生推動(dòng)下， 寧波教育學(xué)院的崔雪芳老師在初一學(xué)生中做實(shí)驗(yàn)，得到很好的效果[Symbols@@]， 隨后，華東師范大學(xué)李俊副教授指導(dǎo)的教育碩士王文俊老師對(duì)高中學(xué)生和老師做了更詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)與調(diào)查， 結(jié)果表明大部分學(xué)生和老師是比較欣賞和認(rèn)可三角函數(shù)新定義體系的[Symbolt@@]，進(jìn)一步研究該體系對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的研究意義.基于此，在張景中院士的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考，得到“新定義體系”下正弦定理對(duì)三角形判定法則的重新審視.即從代數(shù)的角度通過證明方程解的唯一性來證明分析三角形全等判定法則.

2 張景中院士提出的“新中學(xué)三角體系”概述

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材中，三角函數(shù)的教學(xué)從“比值”引入以“數(shù)”為邏輯線索展開，推理嚴(yán)密、層次分明、數(shù)學(xué)抽象性強(qiáng).張景中院士以“用面積方法建立三角學(xué)，用單位菱形面積引入正弦”，并由此得出定義：“有一內(nèi)角為α的單位小菱形的面積為角α的正弦，記作Sα=sinα ”.

由新定義容易得到正弦的幾個(gè)基本性質(zhì)，例如：sinA=sinπ-A，在正弦新定義的基礎(chǔ)上，得到平行四邊形面積公式：SABCD=AB·ADsinA=absinα，進(jìn)一步得到三角形面積公式：S△ABC=12absinC=12bcsinA=12casinB，各項(xiàng)同時(shí)除以12abc，得到正弦定理

sinAa=sinBb=sinCc=2S△ABCabc.基于此，可得到一系列公式和定理：正弦和（差）角公式、勾股定理、余弦定義、正弦的勾股關(guān)系、余弦定理、相似（全等）三角形判定定理等等.有如下體系：

3 “新中學(xué)三角體系”的進(jìn)一步思考——從正弦定理看“三角形有關(guān)定理”

在初中時(shí)，已經(jīng)對(duì)三角形勾股定理、中位線定理、兩邊之和大于第三邊、大角對(duì)大邊等命題進(jìn)行過證明，主要是從幾何的角度進(jìn)行推導(dǎo)證明.事實(shí)上，從數(shù)學(xué)的角度來講這些定理的證明過程是多樣的，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析的不同視角.下述證明均以方程的視角通過正弦定理加以分析.

3.1 勾股定理：a2+b2=c2

假設(shè)a2+b2≠c2.

由正弦定理可知，在Rt△ABC中，有asinA=bsinB=csinC，則有a2sin2A=b2sin2B=c2sin2C.由合分比定理可知a2+b2sin2A+sin2B=c2sin2C=c2，又因?yàn)閍2+b2≠c2，故sin2A+sin2B≠1，又1=sin2B+cos2B，cos2B=sin2A即1=sin2B+sin2A，矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立.

3.2 中位線定理：DE∥BC，DE=12BC（或DE與BC不平行，DE≠12BC）

如圖1所示△ABC，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn).假設(shè)DE∥BC，DE≠12BC（或DE與BC不平行，DE=12BC）.

由正弦定理，△ADE中：AEsin∠2=DEsin∠1，△ABC中：BCsin∠1=ACsin∠3=2AEsin∠3，故sin∠1=DE·sin∠2AE=BC·sin∠32AE，即DE·sin∠2=12BC·sin∠3.當(dāng)DE∥BC時(shí)，∠2=∠3，即sin∠2=sin∠3，從而有DE=12BC，與已知矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立;當(dāng)DE與BC不平行時(shí)，∠2≠∠3，即sin∠2≠sin∠3，從而有DE≠12BC，與已知矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立.

3.3 兩邊之和大于第三邊：a+b>c

如圖2所示，△ABC三邊a，b，c，假設(shè)a+b≤c.

由正弦定理，asinA=bsinB=csinC，由合分比定理可知a+bsinA+sinB=csinC，已知a+b≤c，從而sinA+sinB≤sinC，sinC=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，即有sinA+sinB≤sinAcosB+sinBcosA，又cosB、cosA<1，故sinAcosB+sinBcosA

3.4 大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊

如圖3所示，假設(shè)當(dāng)aB.

由正弦定理可知，asinA=bsinB，當(dāng)△ABC為銳角三角形或直角三角形時(shí)，又函數(shù)y=sinx在0，π2上單調(diào)，又A>B，即sinA>sinB，故a>b，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立;當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，由圖三可知，sinC=sinC′，同理推出矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立.

4 “新中學(xué)三角體系”的進(jìn)一步思考——從正弦定理看“三角形全等判定”

在“新體系”中，以三角為主線將初等數(shù)學(xué)的大量知識(shí)串起來，基于三角知識(shí)用代數(shù)展開幾何.故基于正弦定理用代數(shù)展開全等三角形判定就是“新體系”下的一種探索，這在之前是沒有的，對(duì)進(jìn)一步研究該體系具有重要意義.

4.1 兩邊一角：SAS

如圖4所示，已知B，a，c，求證△ABC唯一.

證明 由正弦定理asinA=csinC ，C=π-A+B，故asinA=csinA+B，又sinA+B=sinAcosB+sinBcosA，整理得tanA=sinBca-cosB ，已知B，a，c，故tanA的值唯一確定，又y=tanx在0，π2，π2，π上均單調(diào)（當(dāng)A=π2，在HL處討論），故A值唯一確定，從而C值一定，再由正弦定理bsinB=csinC，即b=csinBsinC可知b唯一確定，故三邊確定，三角形唯一.

4.2 兩角一邊：ASA、AAS

如圖4所示，已知a，B，C（或b，B，C），求證△ABC唯一.

證明 已知B，C，故A值唯一確定，從而由正弦定理asinA=bsinB=csinC可知，b、c唯一確定，故三邊確定，三角形唯一.

4.3 直角三角形：HL

如圖5所示，已知B=90°，b，c，求證△ABC唯一.

證明 由正弦定理bsinB=csinC ，整理得sinC=csinBb ，已知B=90°，b，c故sinC的值唯一確定，又因?yàn)镃必定為銳角，y=sinx在0，π2上單調(diào)，故C值唯一確定，從而A值一定，再由正弦定理asinA=csinC，即a=csinAsinC可知a唯一確定，故三邊確定，三角形唯一.

4.4 特殊情況的SSA

如圖6所示，在△ABC中， 點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，BD=BE.如果AD=CE， 那么△ADB與△CEB全等嗎？寫出結(jié)論， 并說明理由.

如上圖所示做兩條輔助線，通過兩次證明全等，最后可以得到所求兩三角形全等.最后得出結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)三角形有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)， 如果相等的角是直角或鈍角的時(shí)候， 這兩個(gè)三角形全等， 這就是滿足SSA的兩個(gè)三角形全等的特殊條件[Symbolu@@].即當(dāng)B為鈍角或直角時(shí)，即可滿足特殊情況下的SSA.

由正弦定理asinA=bsinB，整理得sinA=asinBb，已知a、b、B，故sinA值唯一確定，又由正弦函數(shù)在0，π的單調(diào)性可知，此時(shí)A值不唯一確定，且有兩個(gè)解，故一般情況下，SSA不能判定三角形全等.若此時(shí)，已知角B為直角或者鈍角（或已知A的范圍），則所求角A一定為銳角，故就不存在多解的情況.

5 結(jié)語

可以發(fā)現(xiàn)文中用到了正弦函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)然也可以“去函數(shù)化”，結(jié)合單位圓對(duì)正弦的定義，跳過函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用直接得到正弦的多解性.在教學(xué)中，也可以帶領(lǐng)學(xué)生初步接觸正弦函數(shù)的單調(diào)性，幫助他們初步了解方程的解的個(gè)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.故在“新體系”下，對(duì)三角學(xué)的研究有很多可能，也有很多創(chuàng)新，需要進(jìn)一步的完善.

以上以一種不同的視角分析了“三角形判定法則”與有關(guān)定理的證明，說明在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)對(duì)同一數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多角度的思考，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的融匯貫通和深刻理解，這樣才能看到“不一樣的風(fēng)景[Symbolv@@]”.作為“研究型”中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該時(shí)時(shí)跳出以往的數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，從不同的角度來看待所教的數(shù)學(xué)知識(shí)雖然不一定要把這些“異樣”的方法教授給學(xué)生[Symbolw@@]，但可以站在更高的角度去設(shè)計(jì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué).

參考文獻(xiàn)

[1] 張景中.一線串通的初等數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2] 張景中，彭翕成.一線串通的初等數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（02）：15.

[3] 崔雪芳.數(shù)學(xué)中用“菱形面積”定義正弦的教學(xué)實(shí)驗(yàn)[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào)（理工版），2011，24（02）：128132.

[4] 王文俊.高中階段“用面積定義正弦”教學(xué)初探[D] .上海：華東師范大學(xué)，2008.

[5] 彭象華.“失誤”豈能錯(cuò)過探究走出“迷惑”——“滿足‘SSA的兩個(gè)三角形何時(shí)全等”拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)與分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2018（Z3）：6568.

[6] 王佩，趙思林.對(duì)人教A版高中數(shù)學(xué)教材中幾個(gè)問題的商榷[J].教學(xué)與管理，2018（04）：4244.

[7] 溫建紅，王列.從不同視角解析數(shù)學(xué)教科書中的習(xí)題——以“漏壺”問題為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（04）：3336.

作者簡介 李鋒雷，云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生;研究方向：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育.

胡恩良（1975—），男，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究離散數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育;研究方向：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育.